2021-2022学年江西省高三（下）核心模拟数学试卷（理科）（三）（Word解析版）

2021-2022学年江西省高三（下）核心模拟数学试卷（理科）（三）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，是虚数单位，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知公比为的等比数列的首项，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 如图，在平行四边形中，是的中点，点是线段上的一点，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大排列得到数列，记数列的前项和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数为奇函数，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在直棱柱中，底面是矩形，，则直线与平面所成的角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是右支上异于顶点的一点，的内切圆圆心为，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若有四个不同的零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若数列满足，，则______．
14. 已知，，则______．
15. 若，，，则的最小值为______．
16. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点点位于第一象限内，点关于轴的对称点为，若直线的斜率是，则直线的斜率是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 如图，在中，，点在边上，，．
    若，求线段的长度；
    若，求线段的长度．

18. 如图所示，梯形所在的平面与正方形所在的平面互相垂直，，，，，点是线段上的一点，且．
    求证：；
    求二面角的余弦值．

19. 为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了条客户信息进行分析，把一年旅游消费金额不少于千元的称为“高消费”，否则称为“低消费”这些客户一年的旅游消费金额如表：

完成列联表，并判断能否有的把握认为旅游消费高低与年龄有关？

按年龄用分层抽样的方法从这人中随机抽取人进行电话回访，再从这人中随机抽取人发放旅游优惠券，设表示选出的人中年轻人的个数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
临界值表：

20. 已知椭圆：的右焦点为，且过点．
    求的方程；
    若点是上的一点，过作直线与相切，直线与轴的正半轴交于点，过与平行的直线交轴于点，且，求直线的方程．
21. 已知函数．
    若，求曲线在处的切线方程；
    若在上恒成立，求实数的取值范围．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
    求的普通方程；
    已知点的直角坐标为，为上的动点，点满足，求点的轨迹的极坐标方程．
23. 已知函数．
    当时，求不等式的解集；
    若，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
则，
故选：．
由题意，解分式不等式求出，利用对数函数的定义域求得，再利用两个集合的并集的定义，求出．
本题主要考查分式不等式的解法，对数函数的定义域，求集合的并集，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
则，解得，，
所以，
故选：．
根据复数的运算性质以及复数相等的定义建立方程即可求出，的值，再根据复数模的求解公式即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及复数模公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
公比为的等比数列的首项，利用等比数列的通项公式即可判断出关系．

【解答】

解：公比为的等比数列的首项，则．
若，则，充分性成立．
若，则，解得或，必要性不成立．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选A．

4.【答案】 

【解析】解：，是的中点，
，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象知，，
，
，，
过点，
，，且，
，
．
令，，即，，
的单调递增区间为，．
故选：．
由图象可得函数周期，利用周期公式可求，由于过点，可求的值，可求函数解析式，进而由正弦函数的图象与性质即可求得单调递增区间．
本题主要考查由部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为的四棱锥体；
如图所示：

故．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，代入原式，左侧，
右侧，
令，代入原式，得，
故，
故选：．
令，代入原式，再进行求解即可．
本题考查二项式定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意数列是首项为，公差为的等差数列，，
数列是首项为，公差为的等差数列，，
数列与的公共项从小到大排列得到数列，
故数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以．
故选：．
根据题意数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为，公差为的等差数列，数列与的公共项从小到大排列得到数列，计算即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数为奇函数，则有，变形可得，
又由，则，
则有，
故，
故选：．
根据题意，分析可得，进而可得，由此分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的对称性，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所成直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，

设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成的角的大小为，
则，
．
直线与平面所成的角的大小为．
故选：．
以为坐标原点，所在直线为轴，所成直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的大小．
本题考查线面角的求法，考查法向量求线面角余弦公式等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，则，点是线段的中点，

又点是线段的中点，所以
．
故选：．
延长交于点，则，点是线段的中点，又点是线段的中点，利用中位线知识即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，，；
当时，，，，
所以为偶函数．
又因为有四个不同的零点，
即有两个解；
即有两个解，
两边取自然对数得：．
即的图象与的图象有两个交点．
当直线与的图象相切时，设切点为，
又因为，
所以，解得．
所以实数的取值范围是
故选：．
先判断出偶函数，由函数有个零点，可得有两个零点，将问题转化为的图象与的图象有两个交点，求出直线与的图象相切时的值即可得答案．
本题考查了函数的奇偶性、导数的几何意义及转化思想，难点在于将问题转化为的图象与的图象有两个交点，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，又，
，，，
数列的周期为，
，
故答案为：．
由数列递推关系式，采用归纳推理，归纳出数列周期，再用周期性求解．
本题考查由数列递推关系式归纳通项的周期性，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以两边平方，可得，，
两边相加，可得，
所以，
则．
故答案为：．
将已知两个等式平方后相加，可得，进而根据诱导公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式以及两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
．
又，．
．
．
当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
利用对数运算法则找到和之间的关系，再利用基本不等式求值即可．
本题主要考察对数运算法则，以及基本不等式中的代换．属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意知，的焦点为，则直线，
设，，，则，
由得，所以，
所以直线的斜率．
故答案为：．
由题意知，的焦点为，则直线，设，，，则，直线与抛物线联立后即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
由，得，
即，解得． 

【解析】在中，由余弦定理得的值，利用诱导公式可求的值，进而在中，由余弦定理即可求解的值．
在中，由余弦定理得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角的正弦公式可求的值，由，利用三角形的面积公式即可求解的值．
本题考查了余弦定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连接，如图所示，

因为正方形，所以，又，又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为正方形，所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，

所以，，，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，，
所以，
易得平面的一个法向量为，
所以，．
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 

【解析】由已知可证，进而证明，平面，可证结论成立；
以为坐标原点，，，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求两平面，平面的一个法向量，可求二面角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
 

19.【答案】解：由题意得列联表：

，
所以没有的把握认为旅游消费高低与年龄有关；
年轻人有人，中老年人有人，
则的可能取值为，，，，
，，，，
的分布列为：

． 

【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
求得的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的定义求分布列及期望即可．
本题考查独立性检验的应用以及离散型随机变量的概率分布列和期望，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意知解得，，
所以的方程为．
由题可知，直线的方程为，即．
显然直线的斜率存在且不为，设点，
设直线的方程为，即，

由消去，得．
因为过作直线与相切，
所以，
整理得，即，
所以直线的方程为．
令，得，所以．
因为，所以，
所以直线的方程是，
即．
令，解得，所以．
因为，所以，
即，所以，
又因为，所以，
解得，因为，所以，
所以，．
所以直线的方程是，即． 

【解析】根据题干中的已知条件，结合椭圆的定义即可求解．
由题可知直线的方程，设点坐标，可设直线的方程，与椭圆方程联立，由直线与椭圆相切得，可解得点的坐标；利用，得直线的方程，求解点坐标，进而求解直线的方程，利用即可求得点坐标，进而得出直线的方程．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：当时，，
则，
所以，，
此时，曲线在处的切线方程为，
即；
在上恒成立，且，所以，，
因为，
所以．
当时，，此时函数在上单调递增，则，不合乎题意；
当时，令，则，
此时函数在上单调递减．
若，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时，函数在上单调递减，则，合乎题意；
若，即当时，
取，则，则，
此时，
所以，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
则，不合乎题意；
当时，因为，与题设矛盾，不合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是 

【解析】当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
分析可知，不等式在上恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，综合可得出实数的取值范围．
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于计算得出，结合端点效应将问题转化为恒成立，然后借助导数分析函数在上的单调性求解即可，属于难题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；
由于点的直角坐标为，
设，
由于点满足，
设，
所以，
所以，
利用，
整理得：． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用向量的坐标运算的应用求出曲线的极坐标方程．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，即为，解得；
当时，即为，此时无解；
当时，即为，解得；
综上，所求不等式的解集为；
，当且仅当时等号成立，
，解得或，
实数的取值范围为． 

【解析】将代入，分类讨论去掉绝对值符号，解不等式即可；
利用绝对值不等式的性质可得，结合题意可得，解出即可．
本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．