2021-2022学年福建省漳州市漳浦一中、双十中学联考高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年福建省漳州市漳浦一中、双十中学联考高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省漳州市漳浦一中、双十中学联考高二（下）期末数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知圆台的侧面展开图的面积为，上、下底面圆的半径分别为和，则该圆台的高为(    )A.  B.  C.  D. 小王每天在：至：出发去上班，其中在：至：出发的概率为，在该时间段出发上班迟到的概率为；在：至：出发的概率为，在该时间段出发上班迟到的概率为，则小王某天在：至：出发上班迟到的概率为(    )A.  B.  C.  D. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩高于分的人数占总人数的，数学考试成绩在分到分含分和分之间的人数为人，则可以估计参加本次联考的总人数约为(    )A.  B.  C.  D. 定义：，函数，下列选项正确的是(    )A. 函数为偶函数 B. 函数不是周期函数
C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于对称已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 已知抛物线的焦点为，其准线与其对称轴的交点为，点在抛物线上，满足，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，则，，的大小为(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 在中，若，则角的值可以为(    )A.  B.  C.  D. 已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是(    )A. 点到平面的距离为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 若，分别是，的中点，直线平面，则
D. 为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值已知，，则(    )A. 函数在上有两个极值点
B. 函数在上的最小值为
C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D. 若，则的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，共20分）从一批含有件正品，件次品的产品中不放回地抽次，每次抽取件，设抽取的次品数为，则______．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．已知偶函数在可导，且满足，且，则函数在处的切线方程为______．在如图所示的直四棱柱中，，，点在侧面内含边界运动，若点到直线与直线的距离相等，则直线与直线所成角的正弦值的最大值为______．
   四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．
当时，求；
若是的充分条件，求实数的取值范围．已知函数．
求的最小正周期以及在上的单调递减区间；
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在中，，，分别是角，，的对边，若，，，求的值．每年的月日是中华人民共和国国庆日，很多人通过短视频或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，将年龄不低于岁的人称为中老年，低于岁的人称为青少年．通过不同途径调查了数千个通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出人．经统计这人中通过微信、微博表达对祖国祝福的有人，且在这人中中老年占．
若这人中通过短视频表达对祖国祝福的青少年有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为通过短视频或微信、微博表达对祖国的祝福与年龄有关？ 通过短视频表达祝福通过微信、微博表达祝福合计青少年   中老年   合计   已知某社区中老年人中通过微信、微博表达对祖国祝福的占，以上述样本数据中的频率作为概率，估计若从该社区中随机选一人，此人为中老年人的概率．
附：，其中．已知平面四边形，，，如图所示，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，如图所示．
求证：平面；
若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
为迎接年北京冬奥会，践行“更快、更高、更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略．某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．

为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据这个散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的回归方程系数和的最终结果精确到，并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？月份体重超标人数在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、、三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：控球队员接球队员概率若传球次，队员控球次数的期望值队员控球次数的期望值的两倍，求实数的值．
附：线性回归方程：中，，；
参考数据：，，，．已知函数，为的导函数，函数．
当时，求函数的最小值；
已知有两个极值点，且，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
．
故选：．
进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于容易题．
 2.【答案】 【解析】解：设圆台的母线长为，
圆台的侧面展开图的面积为，上、下底面圆的半径分别为和，
，解得，

设圆台的高为，则，
，解得．
故选：．
由圆台侧面积的公式求出母线长，再由勾股定理求出圆台的高．
本题考查圆台侧面积的公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意得，在：至：出发上班迟到的概率为．
故选：．
在：至：出发上班迟到，可能是：至：迟到，也可能是：至：迟到，根据全概率的公式计算即可解得．
本题考查全概率的公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：设学生考试成绩为随机变量，则，
，
，
估计参加本次联考的总人数约为人，
故选：．
根据正态分布曲线的对称性求出数学考试成绩在分到分的概率，进而可求出总人数．
本题主要考查了正态分布曲线的特征，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：画出函数的图象如图所示；

由图可知：
函数图象不关于轴对称，故A不正确；
函数是最小正周期为的函数，故B不正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故C不正确；
函数的对称轴为，当时，，故D正确．
故选：．
画出函数的图象，通过函数图象可以直观的看出何时取到最值，对称轴以及周期性等问题．
本题考查了分段函数的定义、图象与性质的应用问题，也考查了画图与识图的能力，是中档题．
 6.【答案】 【解析】解：根据得，
由切线的方程可得切线的斜率为，
可得切点的横坐标为，切点为，
代入，得，
、为正实数，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为，
故选：．
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得，再由乘法和基本不等式，即可得到所求最小值．
本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：设抛物线方程为：，由题意如图：过作垂直抛物线的准线交于，
由抛物线的定义可知，
所以，可得，可得，所以，，
所以．
故选：．
设抛物线方程，利用已知条件画出图形，结合抛物线的性质以及正弦定理转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，正弦定理的应用，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 9.【答案】 【解析】解：根据随机变量服从两点分布，其中，，故A正确；
，故B正确；
则，故C错误；
，则，故D错误．
故选：．
根据随机变量服从两点分布推出，再根据公式计算出，由此分别计算其他选项得到结果．
本题主要考查均值与方差的计算，均值与方差的性质等知识，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：因为，
则，即，
则由余弦定理可得：，
所以，又，
则，
故选：．
根据余弦定理化简已知关系式，再根据正弦函数的性质即可求解．
本题考查了余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：正方体的棱长为，
如图所示：

对于：利用等体积转换法：，所以，解得，故A正确；
对于：设直线与平面所成角为，由得：，所以，故，故B错误；
对于：若，分别是，的中点，直线平面，如图上图所示：
利用平行线等分线段定理：，解得，故C正确；
对于；以，，为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
设，其中，，
所以，，则，整理得；
所以，则点到平面的距离，
由于为等边三角形，
所以，
所以利用，故D正确；
故选：．
对于：直接利用等体积转换法求出点到平面的距离；对于：利用的结论，进一步利用线面的夹角的公式求出结果，对于：利用平行线等分线段定理的应用求出的值；对于：直接利用空间直角坐标系和等体积转换法的应用求出结果为定值．
本题考查的知识要点：等体积转换法，空间直角坐标系，空间向量的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以只有一个极值点，故A错误；
对于：，
令，得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，故B正确；
对于：由上可知在上单调递增，
因为，
所以，
所以，
当，，
所以，故C正确；
对于：因为，，
所以，
因为，即，
所以，，
由选项B可知，
又时，；时，，
在在上单调递减，在上单调递增，
所以存在，使得，
所以在上，；在上，，
因为，
所以，，
又在上单调递增，
所以，
又得，
所以，，
令，，
，
令，得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故D正确，
故选：．
对于：求导，分析的单调性，即可得出答案，即可判断是否正确；
对于：求导得，分析的单调性，进而可得，即可判断是否正确；
对于：由上可知在上单调递增，由，得，推出，即可判断是否正确；
对于：根据题意可得，，，结合的单调性，可得，又得，则，，令，，求导计算最小值，即可判断是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：依题意得，可能的取值为：，，，
，，，
于是，
故E．
故答案为：．
，列出的分布列后，求出即可．
本题主要考查随机变量均值的计算，随机变量的性质等知识，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题意得：函数，的定义域为，
且，
当时，即时，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在取得极大值，满足题意；
当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；
当时，即时，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在处取得极小值，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：．
求得分和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极大值点的定义进行判定，即可求解．
本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：因为偶函数在可导，故，显然，
由得：，
，
得：，故，
对于，令，得，结合，解得，
由得：，令得，
由得，故，
故函数在处的切线方程为：．
故答案为：．
首先求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据导函数的奇偶性、周期性求出和处的导数，则问题可解．
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性以及利用导数研究切线方程的方法，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意，设于，于，于，如图连接，
由题意，，即，
以为坐标原点，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系，

由，可得的轨迹方程为，即双曲线在正方形中的部分，
由双曲线的一条渐近线为，即对角线，
故当在上时，取最大值，此时最大，，，
，又，故直线与直线所成角为，

即直线与直线所成角的正弦值的最大值为．
故答案为：．
设于，于，于，根据题意可得，再以为坐标原点，在平面上建立平面直角坐标系，分析点的轨迹方程，结合直线与直线所成角为，根据双曲线的性质求解最大值即可．
本题考查直线与直线所成角的正弦值的最大值的求法，属中档题．
 17.【答案】解：由，有，
，或，
当时，，
或．
若是的充分条件，则，
当时，，则，，
当时，，则，，
综上所述，实数的取值范围是． 【解析】先求出函数定义域得到，再利用集合的基本运算求解即可．
分类讨论的值，再利用充要条件的定义列出不等式，求解即可．
本题考查了函数定义域的求法，集合的基本运算，充要条件的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：，
的最小正周期为；
，
，
由，解得，
所以的最小正周期为，在上的单调递减区间为．
，
又，
，
，
，，
，即，
又，，由余弦定理得，
，解得或． 【解析】化简得，进而可求得的最小正周期以及在上的单调递减区间；
依题意，可得，进一步可求得，利用余弦定理可得，解之即可．
本题考查三角函数中的恒等变换及函数的图象变换，考查正弦函数的性质及解三角形的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由题意得列联表如下：  通过短视频表达祝福通过微信、微博表达祝福合计青少年中老年合计，
所以有的把握认为通过短视频或微信、微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
设事件“从该社区中任选一人，此人是通过微信、微博表达对祖国的祝福”，“从该社区中任选一人，此人为中老年人”，则依题有，，，
因为，
所以，
所以从该社区中随机选一人，此人为中老年人的概率为． 【解析】完成列联表，再利用公式求值，从而查表可得；
根据古典概型公式计算即可．
本题考查了独立性检验的问题，是基础题．
 20.【答案】证明：因为，，
所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面．
解：如图所示以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，．
所以，，
设，
则，
平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，有，
即．
设二面角的平面角为，
则，
解得，即为中点．
此时，
又因为，
所以． 【解析】易证，再由平面平面，得到平面，进而得到线面垂直；
以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据二面角的的余弦值为，求得为线段的中点，然后由求解．
本题主要考查线面垂直的证明，锥体体积的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
 21.【答案】解：由得，
由题意得，，
所以，，
所以，即关于的经验回归方程为，
令，
所以，解得，
由于，所以，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至人以下．
设随机变量、分别表示、队员的控球次数，
由题意得的可能取值为，，，
，
，，
所以的分布列为： 所以，
同理可得的分布列为： 所以，
因为队员控球次数的期望值队员控球次数的期望值的两倍，
所以，则，解得． 【解析】根据已知条件，结合最小二乘法，以及对数公式，求出，令，解出的取值范围，再结合为正整数，即可求解．
根据已知条件，结合期望公式，分别求出、队员的控球次数的期望，再结合队员控球次数的期望值队员控球次数的期望值的两倍，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式以及最小二乘法，属于中档题．
 22.【答案】解：，
当时，，，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以．
综上在上为减函数，在上为增函数，
所以．
依题有：方程有两个不同的根，，
方程可化为，
令，则，
所以在和都是增函数，
因为时，；时，且，
所以且，
所以

，
令，则，
所以在上为减函数，又因为，
所以，
所以． 【解析】当时，根据题意可得，求导得，分析的单调性，进而可得．
问题可化为，有两个根，，令，则，求导分析单调性，又时，；时，且，推出且，分析的单调性，又，推出，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．