2021-2022学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，，分别是角，，的对边，若，则的形状(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

3. 用半径为的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为(    )

A.  B.  C.  D.

4. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于的偶数都可以写成两个质数也称为素数，是一个大于的自然数，除了和它自身之外，不能被其它自然数整除的数叫做质数之和，也就是我们所谓的“”问题．它是年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩．若将拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，点是边上一点，，，，则边的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的场比赛中的得分情况如下：
   甲：，，，，，，，，，，，；
   乙：，，，，，，，，，，．
   则运动员甲得分的百分位数与运动员乙得分的百分位数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了年月至年月期间月销售商品单位：万件的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法正确的是(    )

A. 月销售商品数量逐月增加
B. 各年的月销售商品数量高峰期大致在月
C. 年月至月月销售数量的众数为
D. 各年月至月的月销售数量相对于月至月，波动性大，平移性低

10. 一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出个球．甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是(    )

A. 甲与丁互斥 B. 乙与丙对立 C. 甲与丙互斥 D. 丙与丁独立

11. 如图，在边长为的正方形中，，分别为，的中点，为的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是(    )

A. 四面体的体积为
B. 平面
C.
D. 四面体外接球的半径为

12. 我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为：，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知复数满足，则的最大值为______．
14. 如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率均为，则系统能正常工作的概率为______．
15. 已知，且，则的值为______．
16. 在正四面体中，点，分别在棱，上，满足，，面，则棱长为，以点为球心，为半径作一个球，则该球球面与正四面体的表面相交所得到的曲线长度之和为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知平面向，．
    求的值：
    若向量与夹角为，求实数的值．
18. 如图，在正方体中，
    求证：平面；
    求直线和平面所成的角．

19. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了名学生的成绩，技照成绩为，，，分成了组，制成了如图所示的频率分布直方图假定每名学生的成绩均不低于分．
    求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
    若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有人被抽到的概率．

20. 如图，扇形的半径为，圆心角为点在扇形的弧上，点在半径上，且，且，为垂足，设．
    若，求的长；
    试用表示出梯形的面积，并求的最大值．

21. 如图，在正三棱柱中，点为中点．
    若，证明：平面平面；
    若，且二面角的正切值为，求三棱柱的体积．

22. 在；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
    在中，，，分别是角，，的对边，已知_____．
    求角的大小；
    若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围．
    注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为是实数，
所以，
所以．
故选：．
先对复数结合的四则运算进行化简，然后结合复数的概念可求．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：利用正弦定理，边角转换得，
又因为，
所以，
所以，
因为中，，
所以，
又，
所以，
所以为直角三角形，
故选：．
由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合的范围可求为直角，即可判断三角形的形状．
本题考查了利用正弦定理，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆锥筒的底面半径为，则，即，
由已知可得圆锥筒的母线长为，则圆锥的高为．
故选：．
由已知列式求得圆锥筒的底面半径，再由勾股定理求高．
本题考查圆锥的侧面展开图，考查勾股定理的应用，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：拆成两个正整数的和的所有情况有：，，，共种情况，
其中两个加数全为质数的有，共种情况，所以所求概率为．
故选：．
利用列举法求解，先列出把拆成两个正整数的和的所有情况，再找出两个加数全为质数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由余弦定理得，
是三角形的内角，，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，
故选：．
先在中根据余弦定理求出的值，即可得到的值，最后在中根据正弦定理即可解出边的长．
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，灵活运用正余弦定理是解本题的关键，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
故选：．
根据平面向量基本定理，只需，即可解出．
本题考查了平面向量基本定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
故运动员甲得分的百分位数为从小到大排列的第和第个数的平均数，即为；
又，
故运动员甲得分的百分位数为从小到大排列的第个数，即为，
所以．
故选：．
根据百分位数的计算规则进行求解，即可得到答案．
本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义以及求解方法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，，
利用三角函数线可以证明为锐角时，，
如图，在单位圆中，以为始边，为顶点，作出角，其终边与单位圆交于点，

过单位圆与轴正轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点，
则，劣弧的长为，
扇形的面积为，面积为，
由图形得到，即，，
，，
．
故选：．
由二倍角公式、诱导公式、正弦函数的性质比较，大小，再利用三角函数线证明为锐角时，，可比较，大小，由此判断，，的大小关系．
本题考查三个数的大小的判断，二倍角公式、诱导公式、正弦函数的性质、三角函数线、单位圆等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：月销售商品数量从月到月是减少的，故A错误；
各年的月销售商品数量高峰期大致在月，故B正确；
年月至月月销售数量为的有月，月，月，月，有个，其他均低于个，故众数为，故C正确；
各年月至月的月销售数量相对平稳，波动性小，故D错误．
故选：．
由折线图，结合数字特征及曲线的分布特征可以看出选项错误，选项正确．
本题考查简单的合性推理，考查折线图，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，故A正确，
对于选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，故B错误，
对于选项，甲与丙不能同时发生，甲与丙互斥，故C正确，
对于选项，分别记事件丙、丁为、，
将个白球分别记为、、，个黑球记为、，
从上述个球中任意摸出个，所有的基本事件为：、、、、、、、、、，共种，
其中事件包含的基本事件为：、、、、、，共种，
事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，共种，
所以，，，故丙与丁不独立，故D错误．
故选：．
利用互斥事件的定义可判断选项；利用对立事件的定义可判断选项；利用独立事件的定义可判断选项．
本题主要考查互斥事件和独立事件的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：翻折前，，，故翻折后，，，
又，平面，故B正确；
则，故A正确；
平面，平面，故，故不可能成立，故C错误；
由于，，，故该四面体的外接球与以，，为长宽高的长方体的外接球相同，
故外接球半径为，D正确；
故选：．
根据翻折前后图形之间的关系可得，，再由直线与平面垂直的判定可得平面，进而判断，，，根据四面体的外接球与，，为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：记，，则，
所以，即，故A正确；
由正方形性质可知，，显然不平行，所以不垂直，B错误；
因为，所以，故C正确；
过作，垂足为，，即，
所以，所以，
则，
所以，故D正确．

故选：．
根据各边长的关系直接可判断；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断；利用投影表示数量积可判断；作，求出、长，然后由向量加法可判断．
本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，，，
，，
即，表示以为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离，
的最大值为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：系统能正常工作需要元件和元件至少有一个正常工作，同时元件正常工作，
“元件和元件至少有一个正常工作”的对立事件为“元件和元件都不能正常工作”，所以元件和元件至少有一个正常工作的概率，
所以系统能正常工作的概率．
故答案为：．
利用对立事件的概率求出元件和元件至少一个正常工作的概率，再由相互独立事件同时发生的概率公式求系统能正常工作的概率即可．
本题考查求相互独立事件的概率和对立事件概率，灵活运用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，且，为锐角，
，
故答案为：．
由题意，利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得的值．
本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：平面，平面，平面平面，
，
正四面体中每个面都是等边三角形，是等边三角形，
，
球面与正四面体的四个面都相交，所得交线分成两类：
一类与三个侧面，，的交线，
与侧面交线为，在过球心的大圆上，
，，，
，
与侧面，的交线与等长，
另一类交线是与底面的交线，
过作平面，

，
，，
与底面刚好相交于底面各边中点外，
形成的交线此时是底面的内切圆，
内切圆半径为，
弧长为，
该球球面与正四面体的表面相交所得到的曲线长度之和为：
．
故答案为：；．
根据平面，可得，进而也是等边三角形，求出，将球面与正四面体的四个面所得交线分成两类，一类与侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质能求出结果．
本题考查线面平行的判定与性质、正四面体的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：，．
．
．
由题意知：，．
与夹角为．
．
解得：或． 

【解析】直接根据向量的模长公式求解即可．
根据向量的夹角公式构造方程，求解即可．
本题主要考查向量的模长公式和数量积公式，属于基础题．
 

18.【答案】证明：，平面，平面，
平面．
解：连接交于，连接，
四边形是正方形，，
，，，
平面，
，
又，
平面，
为直线和平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，
，
，
直线和平面所成的角为． 

【解析】由即可得出平面；
连接交于，连接，证明平面可得为直线和平面所成的角，设正方体棱长为，在中求出B.
本题考查了线面平行的判定定理，面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
平均分为．
由频率分布直方图得到成绩位于和上的人数比为，
抽取的人中成绩位于上的有人，编号为，，，，
位于上的有人，编号为，，
从这人中任人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中这组中至少有人被抽到的基本事件有，，，，，，，，，共个，
这组中至少有人被抽到的概率为． 

【解析】由频率分布直方图中所有频率和为，能求出值，利用每组区间的中点值乘以相应频率，再相加能求出平均值．
由频率分布直方图得到成绩位于和上人数，并编号，用列举法写出随机抽取的人的所有基本事件，由古典概型概率公式能求出这组中至少有人被抽到的概率．
本题考查频率、平均数、概率、古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：由题意，，，，
故，
在中，根据正弦定理得，
，
因为，故有，
则，
，，
在中，根据正弦定理得，
可得，
，
在中，
，．
故




，其中，，
依题意得，，
故，
故当时，取得最大值，最大值为． 

【解析】利用正弦定理可求．
用含有的式子表示，，，再利用三角函数求解．
本题考查了正弦定理，三角函数等相关知识，属于中档题．
 

21.【答案】证明：为等边三角形，点为中点，故BD，
因为平面平面，其交线为，
故BD平面，
平面，故平面平面；
解：过作平面交于，故是的四等分点靠近的位置，
过作交于，所以即为二面角的平面角，
，
在中，，
故三棱柱的体积为：． 

【解析】根据面面垂直的性质即可证明线面垂直，进而可证明线面垂直；根据几何法找二面角的平面角，求出三棱柱的高，进而可求体积．
本题考查了面面垂直的证明和三棱柱的体积计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：若选，
由正弦定理可得，
即，又，所以，即，
因为，所以；
若选，即，
即，
所以，即，所以，即，
因为，所以；
解：依题意，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
所以，解得，
所以，
则，

因为，所以，
又为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，即，即，所以，
当为锐角，则，即，
即，即，即，即，所以，
综上可得，
又，则，
因为，所以，而在上单调递减，所以，
即，即，所以，则． 

【解析】若选利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．
本题考查了正弦定理和平面向量的综合应用，属于中档题．