2021-2022学年贵州省毕节市高二（下）期末数学试卷（理科）-普通用卷

2021-2022学年贵州省毕节市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 抛物线：的焦点到其准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设函数，则下列函数中为偶函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，是两个不重合的平面，，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知为函数的极大值点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 近年来，越来越多的市民喜欢在周末带着帐篷到户外开展活动，帐篷的造型多种多样，从中抽象出两种帐篷模型，模型；正三棱柱，如图所示；模型：半圆柱体，如图所示，定义“，其中表示帐篷的体积，表示帐篷的表面积不包括阴影部分”，记模型的值分别为，，则参考数据，(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

11. 在中，，，点，在边上移动与，不重合，且，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若关于的不等式是自然对数的底数在上恒成立，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若，满足约束条件，则的最大值为______．
14. 已知，，，则与的夹角为______．
15. 已知，则______．
16. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，点，，在双曲线上，且四边形为等腰梯形，，，则双曲线的离心率为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知等比数列的前项和为，，是与的等差中项．
    求的通项公式；
    设，求数列的前项和．
18. 第届冬季奥运会于年月日在北京开幕，本次冬季奧运会共设个大项，个分项，个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，被调查的男、女生人数均为，其中对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数是女生人数的倍．将频率视为概率，从被调查的男生和女生中各选一人，两人对冬季奥运会项目了解都不够全面的概率为．
    完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取人，记其中对冬季奥运会项目了解比较全面的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，．

19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点．
    证明：平面．
    若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．

20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为．
    求椭圆的焦距；
    若，求椭圆的方程．
21. 已知函数．
    若的最小值为，求的值；
    证明：当时，有两个不同的零点，，且．
22. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
    求曲线的极坐标方程；
    若射线与曲线和曲线分别交于，两点异于点，求．
23. 已知函数．
    若，求不等式的解集；
    若，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
求解一元二次不等式化简，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为．
故选：．
将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
由此分析选项：
对于，，是偶函数，符合题意；
对于，，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于，，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于，，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数解析式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是两个不重合的平面，，，，则不一定垂直于，故“”不是“”的充分条件；
，是两个不重合的平面，，，，则不一定垂直于，故“”不是“”的必要条件；
所以，故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据充要条件的定义，逐一判断即可．
本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，
再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象．
故选：．
由题意利用函数的图象变换即可求解．
本题考查了函数的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
令得，或，
当时，，的单调递增，
当时，，的单调递减，
当时，，的单调递增，
的极大值点为，即，
故选：．
根据运用导数求极值点的步骤直接求解．
本题考查了运用导数求函数的极值点，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
，

当时，；
当时，，则．
故选：．
利用两角和的正弦公式，以及二倍角公式，即可解出．
本题考查了三角函数的求值，二倍角公式，两角和的正弦公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：数对所有的可能的结果有：
，，，，，，，，，共个，
其中满足的数对有：，，，共个，
所有数对中满足的概率为．
故选：．
列举出数对所有可能的结果，并确定满足的数对的个数，根据古典概型公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设三棱柱的体积为，表面积为，半圆柱的体积为，表面积为，
则，，
，，
则，
．
，
故选：．
设三棱柱的体积为，表面积为，半圆柱的体积为，表面积为，由已知分别求得，，，的值，代入公式求解，，则答案可求．
本题考查空间几何体体积与表面积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由已知，设，
在中，有，，，所以，
同理结合，可得，
故CD，
当且仅当时取等号．
故选：．
设，然后结合正弦定理用表示出，的长度，则即可转化为关于的三角函数的值域问题．
本题考查正弦定理，同时考查了三角函数的最值问题，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为在上恒成立，
所以的图象恒在直线的上方，
作出的图象，
又因为直线恒过定点，
当直线与，相切时，设切点，
求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
可得，由，解得，
则切线的斜率为．
当直线与相切时，即直线与半圆相切，
由，解得，
故的取值范围是．
故选：．
在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，利用导数求出当时，函数的单调区间，作出函数的图象，分别求出和时，直线与相切时的值，结合图象即可得出答案．
本题考查了转化思想、数形结合思想及导数的几何意义和综合运用，作出图象是关键点，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设与的夹角为，，
，
，
，，
，
，解得，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，则．
令，则，
故，
故答案为：．
利用赋值法，即可直接解出．
本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，可设，则，
，，
设，则，，，
将，坐标代入双曲线方程得：
，
整理可得：，，双曲线的离心率．
故答案为：．
设，利用向量线性运算可构造方程组得到，将，坐标代入双曲线方程，可求得，由此可得离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：由解得
所以的公比，
故．
由可知，，设数列的前项和为，
则，，
所以，故． 

【解析】根据条件列出方程组，求出，的值，可得公比，代入通项公式求解即可；
利用错位相减法求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式以及错位相减求和的问题，属于中档题．
 

18.【答案】解：设对冬季奥运会项目了解比较全面的女生人数为，则对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数为．
因为从被调查的男生和女生中各选一人，两人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率为，
所以，
根据题意，完成列联表：

所以，
故有的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关．
从全校学生中随机抽取一人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率．
因为随机变量，
所以，，，，
所以的分布列为

所以． 

【解析】根据题意进行数据分析，完成列联表，套公式计算，对照参数下结论；
根据题意判断出随机变量，求出概率，写出分布列，求出数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，
又底面为菱形，所以，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：连接，
因为平面，，平面，
所以，，
因为四边形为菱形，，
所以为等边三角形，
因为为的中点，
所以，
因为，
所以，
所以，，两两垂直，
所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，
则，
设平面的法向量，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】取的中点，连接，，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，
由已知可得，，两两垂直，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可．
本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的求解，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意知直线的方程为，
因为到直线的距离为，所以，解得：，
所以椭圆的焦距为；
由知直线的方程为，设，，
联立方程组，消去得，
所以，，
因为，所以，
所以，，
消去得，
解得：，从而，
所以椭圆的方程为． 

【解析】设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；
联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，所以．
若，则在上恒成立，故在上单调递增，不存在最小值．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故，解得或舍去．
证明：因为，所以由可知，，，
令函数，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，即，
所以有两个不同的零点，．
不妨令，则．
由，解得，
则，
所以要证，即证，
即证．
令，令函数，
则，
所以在上单调递增，故，
所以，即． 

【解析】通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最小值即可推出结果．
通过推出，令函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出，有两个不同的零点，求解，然后利用分析法，结合构造函数，利用函数的导数转化求解即可．
本题考查函数导数的应用，构造法以及二次导函数的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
消去参数得，，
把，代入得，，
化简得，
曲线的极坐标方程为．
把代入得，，，
把代入得，，，
． 

【解析】先消去参数，把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式即可得到曲线的极坐标方程．
把分别代入曲线和曲线的极坐标方程，求出点，的极坐标，即可求出的值．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，即为，解得；
当时，即为，解得；
当时，即为，解得；
综上，所求不等式的解集为；
即为，即，
而，当且仅当时等号成立，
，解得或．
实数的取值范围为． 

【解析】将代入，分类讨论去掉绝对值符号，解不等式即可；
问题可转化为，进一步由绝对值不等式的性质转化可得，解该不等式即得答案．
本题考查绝对值不等式的性质及其解法，考查分类讨论思想及转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．