2021-2022学年云南省下关第一中学高二下学期段考（一）数学试题（A卷）（解析版）

2021-2022学年云南省下关第一中学高二下学期段考（一）数学试题（A卷）

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质求出集合B，再根据交集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：C.

2．若命题：，，则命题的否定为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】将任意改为存在，再否定结论即可得到答案.

【详解】由题意知，命题的否定为，.

故选：C.

3．若复数，则（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】先求出复数，在根据模长的公式求解.

【详解】，则.

故选：A.

4．设，，，则a，b，c大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指数运算法则，对数运算法则及中间值比大小.

【详解】，，；又，则．

故选：A

5．设等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A．63 B．36 C．45 D．27

【答案】C

【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.

【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，

即，，成等差数列，所以，所以.

即.

故选：C

6．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意将条件变形为，然后弦化切即可求得答案.

【详解】由题意，.

故选：A.

7．已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

8．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.

【详解】任取，

，

即函数在上单调递减，

若，使得，则

即

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：

(1)，，使得成立等价于

(2)，，不等式恒成立等价于

(3)，，使得成立等价于

(4)，，使得成立等价于

二、多选题

9．下列不等式成立的是（       ）

A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则

【答案】AD

【解析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.

【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；

对于B，当，时，，显然B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，，

因为，，所以，，所以

所以，即成立，故D正确．

故选AD．

【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.

10．已知函数下列说法正确的是（　　）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在上单调递减

D．图象右移个单位可得的图象

【答案】BD

【分析】根据正弦函数的对称性，可判定A错误，B正确；根据正弦函数的单调性，可判定C错误；根据三角函数的图象变换，可判定D正确.

【详解】对于A中，令，可得，

所以不是函数的对称中心，所以A错误；

对于B中，令，可得，

所以函数关于对称，所以B正确；

对于C中，当，则，

根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，所以C错误；

对于D中，当向右平移个单位后可得，

所以D正确.

故选：BD.

11．已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（       ）

A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为

C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线

【答案】BCD

【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可.

【详解】由双曲线的定义可得，

因为，所以，故A错误；

因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，

所以，所以的面积为，故B正确；

由勾股定理得，即，所以，故C正确

因为，所以，即

所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确

故选：BCD

12．已知正方体的棱长为1，点，，分别为棱，，的中点，下列结论正确的是（       ）

A．四面体的体积等于

B．平面

C．平面与平面夹角余弦值为

D．平面

【答案】ABC

【分析】计算四面体体积判断A，在正方体中利用线面垂直的判定、性质定理推理可判断B，建立空间直角坐标系计算可判断CD.

【详解】对于A，四面体的体积为，故A正确；

对于B，正方体中，∵，，又，

∴平面，∵平面，∴，

同理，，又，∴平面，故B正确；

对于C，以为原点，建立空间直角坐标如图，

，，，，，

设平面的法向量，

则

取，得，

又平面的一个法向量，

设平面与平面的夹角为，

则

∴平面与平面的夹角的余弦值为，

故C正确；

对于D，，，，

由C选项可知，平面的一个法向量，

∵，∴与平面不平行，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．设，向量，，且，则______．

【答案】2

【详解】因为，所以

点睛：

(1)向量平行：，,

(2)向量垂直：，

(3)向量加减乘：

14．已知点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__________.

【答案】8

【分析】根据点在函数图象上先写出满足的关系式，在运用基本不等式求解最值即可.

【详解】解：因为点在一次函数的图象上，则，

又，所以，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8.

故答案为：8.

15．已知点在圆上，为的中点，则的最大值为__________.

【答案】

【分析】设，求出，再换元求函数的最值即得解.

【详解】解：设，因为为的中点，所以，

所以，

因为点在圆上，则，不妨令，

则，令，则，

所以当且仅当时，取是大值，故.

故答案为：.

四、双空题

16．在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．

【答案】     6    

【分析】（1）设直线与平面所成的角为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值；

（2）取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解.

【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，

如图所示，则，

所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以．

因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

取的外接圆的圆心为，则圆的半径．

连接，作于点，

则点为的中点，所以，

故三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：6；.

【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

五、解答题

17．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：

（1）求出表中，及图中的值；

（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；

（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．

【答案】(1)；；；(2) 60人．(3)

【分析】（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；

（2）该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；

（3）设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，写出任选2人的所有基本事件，利用对立事件求得答案.

【详解】（1）由分组内的频数是10，频率是0.25知，，

∴．

∵频数之和为40，

∴，，．

∵是对应分组的频率与组距的商，

∴；

（2）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，

∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．

（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，

设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．

则任选2人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，

∴所求概率为．

【点睛】本题以图表为背景，考查从图表中提取信息，同时在统计的基础上，考查古典概型的计算，考查基本数据处理能力.

18．如图，在四棱柱中，底面是为菱形，，平面，E为的中点．

（1）证明：；

（2）若与平面所成角为，且，求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由线面垂直知是在面上的射影，结合菱形的性质即可证结论.

（2）若交于，构建为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，根据已知确定相关点的坐标，再求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求角的大小.

【详解】（1）由平面，易知是在面上的射影，

∵底面是为菱形，

∴，

∴.

（2）若交于，如下图，构建为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

令，由，面是为菱形，E为的中点且，

∴，，，，

∴，，，

若是面的一个法向量，则，令，即，而面的一个法向量为，

∴，故锐二面角的大小为.

19．已知在数列中，，且满足.

(1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）两边同除以可得，利用等差数列的定义可得答案；

（2）利用错位相减求和可得答案.

【详解】(1)，两边同除以，，

又是以1为首项，公差为2的等差数列，

，

数列的通项公式为：.

(2)由（1）可知：，

，①

，②

①-②得

，

20．在中，内角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识求得.

（2）利用正弦定理将转化为用来表示的式子，结合三角函数的值域的求法，求得的取值范围.

【详解】(1)，

由正弦定理得：.

，故，即，

于是得，所以或.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，于是有，

且，从而得，

而，由正弦定理得，

则，

则有

而，则，即，

所以的取值范围为.

21．已知函数为实数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在上恒成立，求的范围；

【答案】（I）见解析；（Ⅱ）

【分析】(Ⅰ) 求得函数的导数令，解得或，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．

（II ）依题意有在上的恒成立，

转化为在上的恒成立，设，，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．

【详解】(Ⅰ) 由题意，函数，

则

令，解得或，

①当时，有，有，故在上单调递增；

②当时，有，随的变化情况如下表：

由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；

③同②当时，有，

有在和上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减．

（II ）依题意有在上的恒成立，

即在上的恒成立，

故在上的恒成立，

设，，则有…（）

易得，令，有，，

随的变化情况如下表：

由上表可知，

又由（）式可知，

故的范围为．

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

22．知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标．

【答案】（1）；（2）的面积最大值为，此时点的坐标为或或或．

【分析】（1）先设椭圆的标准方程，再根据题意建立方程，．，最后求椭圆的标准方程即可；

（2）先得到方程和，再用表示出、、，最后求最大时点的坐标即可.

【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，

由题意得，，．

因为，所以，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设动直线的方程为．

由直线与圆相切得，即．

由，得，

其中．

设，，，

则，从而，．

所以

．

因为，所以．

当时，上式等号成立，此时．

故的面积最大值为，

此时点的坐标为或或或．

【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、椭圆内三角形的面积问题，是偏难题.