2021-2022学年江西省九江市六校高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年江西省九江市六校高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数：，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 用反证法证明“若的三边长，，的倒数成等差数列，则”时，“假设”应为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在一组样本数据，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，若，则(    )

A.  B.
C.  D.

6. 我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则曲线在处的切线经过点(    )

A.  B.  C.  D.

9. 为保障北京冬奥会某个项目顺利进行，从名男医生和名医生选名医生组成一个医疗小组，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(    )

A. 种． B. 种． C. 种 D. 种

10. 某地因疫情防控需要人员有序流动，一大型商场共设置了处编号为号的进出口，进入商场需提前网上预约，由电脑随机发放进出口凭证．设表示事件预约凭证为进口数字为”，表示事件预约凭证为”出口数字为”，表示事件预约凭证为“进出口数字和为”，表示事件预约凭证为”进出口数字和为”，则(    )

A. 与相互独立 B. 与相互独立
C. 与相互独立 D. 与相互独立

11. 函数的部分图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知直线与曲线相交于、两点，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 的展开式的系数为______．
14. 年月日，某市物价部门对本市的家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，则______．

15. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件“两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件“两枚骰
    子朝上的点数之和均为奇数”，则______．
16. 已知函数的图象经过点，其导函数图象如图，则的图象与轴围成封闭图形的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知复数，．
    若复数为纯虚数，求的值；
    若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求的取值范围．
18. 年月教育部发布了第八次全国学生体质与健康调研结果，根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平有所增加．但在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质有所下滑．某市为了调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质检测样本的统计数据单位：人如下．

记体质检测结果为优秀、良好或及格的学生为体质达标，否则为体质不达标．根据所给数据，完成下面列联表．

依据的统计结果判断，是否有的把握认为该市学生体质检测是否达标与性别有关？请说明理由．
附：

19. 已知函数的极小值为．
    求实数的值；
    若过点的直线与曲线相切，求直线的方程．
20. 年某学校组织“一路一带”知识竞赛活动，经过几次选拔，甲、乙两个班级最后进入决赛．决赛规定：通过完成一项活动作为夺冠的依据，从每个班级出名选手，再从名选手中随机抽取人分别完成该项活动．已知甲班的人中有人可以完成该项活动，乙班的人能正确完成该项活动的概率均为甲、乙两班每个人对完成该活动是相互独立、互不影响的．
    求从甲、乙两个班级的选手中抽取的人都能完成该项活动的概率；
    设从甲、乙两个班级抽取的选手中能完成该项活动的人数分别为、，求随机变量、的期望、和方差、，并由此分析由哪个班级更有希望夺冠．
21. 已知函数．
    求的单调区间；
    讨论方程零点的个数．
22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，两点，的极坐标分别为，以为直径的圆记为．
    求的直角坐标方程；
    若直线经过点与相交于，两点，求证：．
23. 已知函数．
    求满足的最大整数的值；
    在的条件下，对于任意正数，，若，求证：
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：小于的反面是大于大于，
“假设”应为．
故选：．
考虑命题的反面，即可得出结论．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

3.【答案】 

【解析】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点
都在一条直线上，
那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为．
故选：．
根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为，得出结果．
本题考查了线性相关的判断问题，也考查了线性相关系数的应用问题，是基础题目．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
由，且，故，
由且，故，
由且，故，，
故选：．
运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．
本题考查了作差比较两数大小的基本方法，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，整理得：．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查合情推理归纳、类比推理，属于基础题．
类比点到直线的距离，可知在空间中，．
类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想．
【解答】
解：类比点到直线的距离，
可知在空间中，点到直线的距离
点到平面的距离．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：在复平面内对应的点为，，
，
，化简得．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，所以当时，，
所以由，得，
所以切线的斜率，又，
所以处的切线方程为，
根据选项可知，符合题意．
故选：．
对求导，求出切线的斜率，再求出切线的方程，然后结合选项判断即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
选出的人为男女，有种选法，
选出的人为男女，有种选法，
则有种选法，
故选：．
根据题意，分种情况讨论：选出的人为男女，选出的人为男女，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
与为互斥事件．，与不相互独立．
故选：．
先分别求得、、、的概率，然后利用相互独立事件的概率求得，，结合相互独立事件的概率的性质即可判断出答案．
本题主要考查相互独立事件，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，对应点在第二象限，当时，，对应点在第一象限，又，
所以A正确，
故选：．
利用特殊值的对应点的位置，判断选项的正误即可．
本题考查函数图象的判断，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，则，
故时，递增，时，递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于、两点，
所以与图像有个交点，
所以，，
故．
在图像取一点，
则直线与曲线交于两点如图所示，

此时，，
综上可知ABC正确，D错误
故选：．
构造函数，利用导数法可判断，作出图像与可判断结果．
本题考查命题真假的判断，考查构造法、导数性质、对数函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式的系数即为展开式中的系数为：．
故答案为：．
的展开式的系数等于展开式中的系数，再利用二项式展开式通项公式即可求出答案．
本题考查了二项式定理展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由表中数据可得，，
，
线性回归方程是，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：两枚质地均匀的骰子抛掷一次，样本空间所含全部的样本点个数为，
事件“两枚骰子朝上的点数之积为偶数”包含样本点个，
其中事件“两枚骰子朝上的点数之和为奇数”包含样本点个，
，，
．
故答案为：．
根据条件概率的定义进行求解即可．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为函数的导函数的图象为一次函数，
则函数为二次函数，设，
则，由图可知，过点，，
则，解得，，
则，又函数过点，
所以，解得，
所以，由，解得或，
则函数与轴围成的封闭图形的面积为，
故答案为：．
因为函数的导函数的图象为一次函数，则函数为二次函数，设，然后求出函数的导数，利用数形结合求出导数的解析式，进而求出函数的解析式，再根据定积分的几何意义以及运算性质化简即可求解．
本题考查了定积分的运算性质以及几何意义，涉及到导数与原函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
因为复数为纯虚数，则，解得，
故．
因为复数在复平面内所对应的点位于第三象限，
所以，解得，
故的取值范围是． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：列联表如下：

由中列联表数据可得，，
所以没有的把握认为该市学生体质检测是否达标与性别有关． 

【解析】根据题目所给的数据填写列联表即可；
计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

19.【答案】解：因为函数的定义域为，且．
当时，恒成立且不恒为零，故函数在上单调递增，无极值；
当时，由，可得，
在，为增函数，在上为减函数，
所以，函数的极小值为，解得．
解：由知：，，
设与曲线切于点，
切线方程为，即，
又因为切线过点，则，
所以，，解得或．
当时，的方程为；当时，的方程为．
故直线的方程为或． 

【解析】求得，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的等式，即可解得的值；
设与曲线切于点，写出切线的方程，将点的坐标代入切线的方程，求出的值，即可得出切线的方程．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：甲班抽取的人能完成该项活动的概率为：，
乙班抽取的人能完成该项活动的概率为：，
故从甲、乙两个班级的选手中抽取的人都能完成该项活动的概率为：．
甲班抽取的选手中能完成该项活动的人数分别为，
则的取值为，，
，，
则，，
乙班抽取的选手中能完成该项活动的人数分别为，则的取值为，，，
由已知，
所以，，
因为，，
故甲班更有希望夺冠． 

【解析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两个班级抽取的人都能正确回答的概率．
根据已知条件，分别求出甲班，乙班的期望与方差，通过比较大小，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，考查计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，
令，
，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以，
时，，
又，
所以在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为．
，
函数的零点个数为方程的根的个数，
即的根的个数，
即与交点的个数，
，
令，，
，
所以在上单调递增，
所以，
所以存在，使得，即，
所以在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
所以，
把代入上式，可得，
所以当时，与交点有个，
当时，与交点有个，
当时，与没有交点．
综上所述，当时，函数有个零点，
当时，函数有个零点，
当时，函数无零点． 

【解析】求导得，分析的正负，进而可得的单调性．
根据题意可得函数的零点个数为方程的根的个数，即与交点的个数，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由已知设任上一点，则．
故，
即极坐标方程为；
即，
所以
根据，所以的直角坐标方程为：，
即．
证明：由已知的直角坐标为，且．
设直线的倾斜角为，则其参数方程为为参数，
代入化简得．
由已知，设该方程的两根分别为，，则．
由参数的几何意义知：
故． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次次方程根和系数的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：因为，
所以等价于或或，
解得或或，
故的解集为，
故满足的最大整数；
证明：由可知，故，
因为，当且仅当时取等号，所以，
，
故． 

【解析】利用零点分段法去掉绝对值，分段求解最后求并集可得不等式的解集，从而可得；
根据的结论及基本不等式求出的最值，对式子化简即可求解．
本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．