2021-2022学年河南省安阳市滑县高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省安阳市滑县高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 复数表示虚数单位的共轭复数在复平面内对应的点为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，集合满足，则这样的集合的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，满足约束条件，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 北京年冬奥会期间，某大学派出了名志愿者，为了解志愿者的工作情况，该大学学生会将这名志愿者随机编号为，，，，再从中利用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本进行问卷调查，若所抽中的最小编号为，则所抽中的最大编号为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知圆锥的底面半径为，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. “田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知高等级的马比低等级的快，田忌每个等级的马都比齐王同等级的马慢．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌失败的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知命题，都是非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的充要条件；命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知曲线在处的切线为，数列的首项为，点为切线上一点，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 双曲正弦函数是高等数学中重要的函数之一，已知，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知空间直角坐标系中，正四面体的棱长为，点，，，则的值不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，则在方向上的投影为______．
14. 已知锐角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则角的弧度数为______．
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则双曲线的离心率为______．
16. 已知函数，则下面结论中正确的个数是______
    是奇函数；
    的最小正周期为；
    的最大值为；
    在区间上单调递增．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知三棱柱中，，，平面，为的中点，为上一点．
    求证：；
    当为的中点时，求三棱锥的表面积．

18. 在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且．
    求角的大小；
    若，求面积的最大值．
19. 逐梦星辰大海，探索永无止境，年月日，神舟十四号载人飞船发射取得圆满成功，这意味着中国离实现载人航天工程“三步走”发展战略越来越近．为了让师生关注中国航天事业发展，某校对高二年级全体学生进了相关知识测试，然后从中随机抽取了名学生的成绩百分制，并对成绩进行了整理和分析，得到如下表格．

若从成绩在的同学中随机抽取名同学去参加航天知识培训，求这名同学的成绩都在内的概率；若某同学的成绩，则称这位同学成绩“优秀”；若成绩，则称这位同学成绩“非优秀”，某数学老师为了判断学生竞赛成绩的优秀和学生性别是否有关，统计了高二年级名学生在本次测试中的成绩，得到如下列联表，请补全列联表，并判断是否有的把握认为学生成绩的优秀和学生性别有关？

附：，

20. 已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．
    求的方程；
    已知点，若不过点的直线与交于，两点，且，证明：直线过定点．
21. 已知函数．
    讨论函数的单调性；
    当时，设函数，若，求证：．
    二选考题：共分．请考生在第、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
    求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
    射线与曲线的交点为，与直线的交点为，记点的直角坐标为，求的面积．
23. 已知函数．
    求不等式的解集；
    设函数的最小值为，正实数，，满足，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故在复平面内对应的点为，
故选：．
直接由已知的复数化简，再求共轭复数，从而得到其在复平面内对应点的坐标得到答案．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：集合 ，集合满足，
，
，，，．
满足条件的集合有个．
故选：．
已知得，从而，，，．
本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的并集的性质的合理运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由，解得，即，
由图可知，当经过点时，最小，
，
故选：．
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，样本的抽样间隔为，
若所抽中的最小编号为，
则最大编号为．
故选：．
根据已知条件，先求出系统抽样的抽样间隔，再结合系统抽样的定义，即可求解．
本题主要考查系统抽样的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在上为增函数，
，，
又，
，
故选A．
利用指数运算将转化为，对数运算将转化为，利用与特殊值比较可解．
本题考查了指、对数的运算，以及函数单调性相关知识，属于简单题．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面展开图是一个半圆，从而圆锥的母线长，
所以圆锥的高，所以圆锥的体积，
故选：．
由圆锥侧面展开图得圆锥母线，高，再由体积公式计算．
本题考查了圆锥的体积计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，所以准线为，
又因为，设点的坐标为，
则有，解得：，
将代入解析式得：，
所以点到轴的距离为．
故选：．
设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：记齐王的三匹马分别为上等马，中等马，下等马，
田忌的三匹马分别为上等马，中等马，下等马．
若与比赛，记为，齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
，，；，，；，，；，，；，，；，，，
其中田忌获胜的情况只有一种：，，，
所以田忌失败的概率为．
故选：．
记齐王的三匹马分别为上等马，中等马，下等马，田忌的三匹马分别为上等马，中等马，下等马利用列举法能求出田忌失败的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：当与同向共线时，，此时夹角为，不是锐角，故命题为假命题；
若函数为奇函数，则，
则，
则，解得，故命题为假命题，
所以真命题为，
故选：．
根据向量的数量积的性质即可判断命题的真假，根据奇函数的定义即可判断命题的真假，然后根据命题的真值表即可判断求解．
本题考查了复合命题的真假判断，涉及到平面向量的数量积以及奇函数的定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又时，，则切点为，斜率为，
切线方程为，
点为切线上一点，，
又，，得，
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程，把点代入，可得数列为等差数列，则其前项和可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查等差数列前项和的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，函数定义域为，关于原点对称，
，
为上的奇函数，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，即，
所以，．
解得：．
故选：．
先判断函数奇偶性、单调性，根据单调性求解．
本题主要考查解不等式，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，取边的中点，连接，故，

又，，则点，分别在，轴上运动，
因为，，，故点在以为球心，为直径的球面上运动，
所以，即，
因为，
故的值不可能是，
故选：．
取边的中点，连接，由题意可知点在以为球心，为直径的球面上运动，则，对照选项即可求解．
本题考查了空间中两点间距离的计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
则．
所以向量在方向上的投影为．
故答案为：．
根据平面向量的坐标表示可得和，利用投影向量的公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，即弧度的角在第二象限，
，，
点在第一象限，
角的终边在第一象限，
，，
，
，，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设所作的圆与一条渐近线在第一象限交于点，
则由题意可得，解得，即，
所以由对称性可得四边形的面积为，
所以由题意得，故，
．
故答案为：．
根据题意可得，从而可得，的关系，进而可求出离心率．
本题考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由定义域为，关于原点对称，且，故函数是奇函数，正确；
由结合诱导公式可知：，所以函数的最小正周期为，错误；
由函数的奇偶性和周期性知，我们只需研究区间上函数的最值即可，
显然，因为在上单调递增，在上单调递减，所以时，，的最大值为，故正确；
因为为奇函数，，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，故错误．
故答案为：．
利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断；再根据周期性研究函数在区间上的最值、以及单调性，判断．
本题考查命题真假的判断以及三角函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，属于中档题．
 

17.【答案】证明：平面，平面，，
又，是的中点，，
，平面，
又平面，；
解：，，
在中，边上的高，，
又，，
棱锥的表面积为． 

【解析】先由平面证，再证平面，即可证；
分别求出三棱锥各棱长，利用各表面三角形特征，分别求面积即可求表面积．
本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的表面积计算，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
即，，则．
，；
由余弦定理得，
，当且仅当时等号成立，
，，
面积的最大值为． 

【解析】由三角形面积公式及余弦定理即可求的值．
由余弦定理得，结合基本不等式可得，可求面积的最大值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，考查基本不等式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．
 

19.【答案】解：设成绩在内的同学为，，成绩在内的同学为，，．
从这名同学中随机抽取名，有，，，，，，，，，，共种情况，其中这名同学的成绩都在内的有，，，共种情况，
设事件：“从成绩在内的同学中随机抽取名，他们的成绩都在内”，
故．
列联表如下所示：

的观测值，
有的把握认为学生成绩的优秀和学生性别有关． 

【解析】根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可知解得，，
椭圆的方程为：；
证明：，
可得，即，，
，为下顶点，
直线的斜率显然存在，设为，则可设直线的方程为，
设，，
联立，整理可得，
，即，
，，
由，即，得，
整理可得，
即，
所以，
则，
整理得，解得或舍，
直线的方程为，
可证得直线恒过定点 

【解析】由离心率及的周长及，，之间的关系，求出，的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，由向量的关系，可得，整理，将两根之和及两根之积代入，可得直线恒过的定点的坐标．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，
当时，，单调递增，
当时，令，得，
令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：当时，，，
，
在上单调递增，
令，则，
，
在上单调递增，
又，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
，
，
，
，
，从而得证． 

【解析】求导得，，分两种情况：当时，当时，分析的正负，进而可得的单调性．
当时，，，求导分析的单调性，令，求导分析单调性得最值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由为参数，消去参数，可得曲线的普通方程为，
极坐标方程为；
由，得，
又，，得直线的直角坐标方程为；
分别将代入曲线和直线的极坐标方程，得，，．
又点到的距离，
． 

【解析】由曲线的参数方程可得普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，可得极坐标方程；利用两角和的正弦把直线的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；
分别将代入曲线和直线的极坐标方程，求得与的极径，可得的长度，再求出到直线的距离，利用三角形面积公式求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】解：，
当时，由，得，则，；
当时，由，得，则，；
当时，由，得，则，．
综上，不等式的解集为；
由得，在上单调递减，在上单调递增，
则，，

，
当且仅当，，，时，等号成立，． 

【解析】写出分段函数解析式，然后对分段求解，取并集得答案；
由求得，然后利用柯西不等式证明．
本题考查绝对值不等式的解法，训练了柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，是中档题．