重庆市北碚区西南大学附属中学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份重庆市北碚区西南大学附属中学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共40页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市北碚区西南大学附属中学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）在下列数值tan45°、﹣1、﹣π、0中最小的是（　　）
A．﹣π B．﹣1 C．tan45° D．0
2．（4分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）计算：|﹣2|+3sin30°﹣2﹣1﹣（2022﹣π）0等于（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．0
5．（4分）估计×（2+）的值应在（　　）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE．已知点A（2，0），B（6，0），则△ABC与△BDE的面积比是（　　）

A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：2
7．（4分）一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度，设在静水中的速度为x海里/时，水流速度为y海里/时，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）下列命题是真命题的是（　　）
A．的算术平方根是4
B．若是完全平方式，则k＝1
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．若二次函数y＝ax2﹣（a+1）x+1图像与x轴只有一个交点，则a＝1
9．（4分）一条公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间τ（h）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．甲每小时比乙多骑行8km
B．相遇后，乙又骑了15min或55min时两人相距2km
C．出发1.25h后两人相遇
D．A，C两村相距40km
10．（4分）若关于y的分式方程有非负整数解，且关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1顶点在第四象限，则符合条件的整数a的值之和为（　　）
A．﹣16 B．﹣13 C．﹣21 D．﹣12
11．（4分）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE＝CD，双曲线y＝（k≠0，x⟩0）的图象过点E，则k为（　　）

A． B． C． D．
12．（4分）已知a1、a2、a3、an，•••（n为正整数）满足an+1＝，则下列说法：
①a1a2a3＝1；
②a5＝a20；
③若a1＝﹣，则a1m+a2m+⋯+a864m+a865n+a866n+⋯+a1421n＝912m+586n；
④若a1＝x，y＝pa1a3﹣（p为非零常数），当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同；
则p的最小值为﹣3；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）2022年新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括奋斗者号载人潜水器最深下潜约至10900米，其中数据10900用科学记数法表示为 　 　米．
14．（4分）若α是锐角三角形的一个内角，且满足|cosα﹣，则α的取值范围是 　 　．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，则线段GH的长度为 　 　．

16．（4分）某文具店九月初进行开学大酬宾活动，将A、B、C三种学习文具以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，现甲，乙两种方式分别在成本价基础上提高20%，40%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲，乙两种方式的销售量之比为 　 　．
三、解答题：（本大题共9小题，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）（x+y）（x−2y）+（x−y）2；
（2）（a+1﹣3a﹣1）÷．
18．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B．
（1）请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AB＝AC+CD，请完成下面的证明过程：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝　 　．
在△EAD与△CAD中

∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴　 　＝∠C，DE＝DC，AE＝AC，
∵∠AED＝∠BDE+　 　．且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴BE＝　 　．
∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．

19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
20．（10分）反比例函数与一次函数y2＝ax+b（a≠0）交于A（4，1），B（﹣1，m）两点．
（1）求反比例函数y1和一次函数y₂的解析式，并在网格中画出一次函数y的图象：
（2）当y1≤y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）若y₂与x轴交于点C，点A关于y轴的对称点为点D，求S△BCD面积．

21．（10分）小王准备测量铁塔DE的高度，从点A处沿着斜坡AB向上走，已知斜坡AB的坡比为3：4，走到B点后，沿着水平方向继续向右走了10.8米到了点C，此时测得顶端D的仰角为50度，E的俯角为30度，已知AE是水平的，AE＝（18.8+6）米，DE垂直于AE，人的身高忽略不计．
（1）铁塔DE的高度约为多少？（精确到0.1，≈1.73）
（2）已知小王从点A到B上坡的速度为每秒0.5米，从B到C速度为每秒1.2米，从C到E下坡的速度为每秒1.5米，则小王从A到E花的时间是多少秒．

22．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，超市在端午节前购进一批红豆粽和腊肉粽，每个腊肉粽的售价比红豆粽多2元，一位顾客购买了15个红豆粽和8个腊肉粽，付款200元．
（1）红豆粽、腊肉粽的单价分别为多少元每个？
（2）端午节前一天超市售出红豆粽150个，腊肉粽100个，为尽快将储存的粽子售出，端午节当天超市决定调整价格，每个红豆粽的售价降低a元，每个腊肉粽的售价降低a元，结果当天红豆粽的销量在前一天的基础上增加了3a个，腊肉粽的销量在前一天的基础上增加了2a个，销售额比前一天增加了12a元，求a的值．
23．（10分）材料一：如果一个三位正整数满足十位数字大于个位数字，且十位数字与个位数字之和等于百位数字，那么称这个数为“下降数”．例如：m＝321，满足2＞1，且1+2＝3，所以321是“下降数”；n＝542，满足4＞2，但4+2≠5，所以542不是“下降数”．
材料二：对于一个“下降数”m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，且a，b，c为整数），交换其百位和十位得到m′＝100b+10a+c，规定F（m）＝，例如：321是“下降数”，m'＝231，F（m）＝＝55．
（1）判断：743 　 　“下降数”，523 　 　“下降数”（填“是”或“不是”）；
（2）设m为任意一个“下降数”，求证：F（m）能被11整除；
（3）若s，t都是“下降数”，其中s＝100x+10y+51，t＝100a+40+b（1≤x，y，a，b≤9，且x，y，a，b均为整数），若＝117，求满足条件的s和t的值．
24．（10分）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．

（1）求抛物线C1的解析式；
（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；
（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．
①直接写出P点坐标；
②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．
25．（10分）△ABC是等边三角形，在△CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD，BE．

（1）如图1，若E是线段AB上一点，sin∠ACD＝，CE＝3，则AD长度为多少？
（2）如图2，取BE中点为F，连接AF，DF，DE与AF的交点为G．若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系；
（3）如图3，若AB＝2，E是线段AB上一点，点M是线段CD上一点，将△CBE绕点C顺时针旋转90°得到△CB′E′，连接DE′、B′M，E′M，请直接写出当△CDE′面积最大时，B′M2+E′M2的最大值．

重庆市北碚区西南大学附属中学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）在下列数值tan45°、﹣1、﹣π、0中最小的是（　　）
A．﹣π B．﹣1 C．tan45° D．0
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：tan45°＝1，
∵﹣π＜﹣1＜0＜tan45°，
∴在数值tan45°、﹣1、﹣π、0中最小的是﹣π．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（4分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：从正面看有两层，底层三个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：C．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
3．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．
【解答】解：，
解①，得x≤2，
解②，得x＞﹣1．
所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
故符合条件的选项是C．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．
4．（4分）计算：|﹣2|+3sin30°﹣2﹣1﹣（2022﹣π）0等于（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2+3×﹣﹣1
＝2+﹣﹣1
＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（4分）估计×（2+）的值应在（　　）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【分析】先计算出原式得6+，再根据无理数的估算可得答案．
【解答】解：原式＝+＝6+，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴9＜6+＜10．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE．已知点A（2，0），B（6，0），则△ABC与△BDE的面积比是（　　）

A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【分析】根据位似图形的概念得到AC∥BE，证明△OAC∽△OBE，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵点A（2，0），B（6，0），
∴OA＝2，OB＝6，
∵△ABC与△BDE是位似图形，
∴AC∥BE，
∴△OAC∽△OBE，
∴＝＝，
∴△ABC与△BDE的面积比为1：9，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（4分）一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度，设在静水中的速度为x海里/时，水流速度为y海里/时，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据路程＝速度×时间，可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．（4分）下列命题是真命题的是（　　）
A．的算术平方根是4
B．若是完全平方式，则k＝1
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．若二次函数y＝ax2﹣（a+1）x+1图像与x轴只有一个交点，则a＝1
【分析】利用算术平方根的定义、完全平方式的定义、不等式的性质及二次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、的算术平方根是2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、若是完全平方式，则k＝±1，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、若a＜b，则ac2≤bc2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、若二次函数y＝ax2﹣（a+1）x+1图像与x轴只有一个交点，则a＝1，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、完全平方式的定义、不等式的性质及二次函数的性质，难度不大．
9．（4分）一条公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间τ（h）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．甲每小时比乙多骑行8km
B．相遇后，乙又骑了15min或55min时两人相距2km
C．出发1.25h后两人相遇
D．A，C两村相距40km
【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可．
【解答】解：当0≤t≤1.25时，易得一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，故甲的速度比乙的速度快8km/h，故A正确；
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故C正确；
相遇后，15min后两人相距8×＝2（km），
当t＝2时，乙距C地6km，所以乙的速度是＝12（km/h），
相遇55min后，乙距C地的路程是6﹣12×（﹣0.75）＝4（km），故B错误；
设B、C两村相距xkm，
则﹣＝8，
解得x＝30，
10+30＝40（km），故D正确，
故选：B．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是读懂图象，根据图象的数据进行解题．
10．（4分）若关于y的分式方程有非负整数解，且关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1顶点在第四象限，则符合条件的整数a的值之和为（　　）
A．﹣16 B．﹣13 C．﹣21 D．﹣12
【分析】由关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1顶点在第四象限，求出a的范围，表示出分式方程的解，由解为非负整数确定出a的值，求出之和即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣a+1＝（x﹣3）2﹣a﹣8，
∴顶点为（3，﹣a﹣8），
∵关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1顶点在第四象限，
∴﹣a﹣8＜0，
∴a＞﹣8，
分式方程去分母得：4y﹣4+5﹣2y＝﹣a，
解得：y＝，
∵分式方程的解为非负整数，y≠1，
∴整数a＝﹣7或﹣5或﹣1，
则符合条件的所有整数a的值之和为﹣7﹣5﹣1＝﹣13．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的性质，以及分式方程的解，熟练掌握二次函数的性质与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
11．（4分）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE＝CD，双曲线y＝（k≠0，x⟩0）的图象过点E，则k为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可求出点D、点C的坐标，再根据平行线分线段成比例可求出点E坐标即可．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，过C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A（1，0），点B（0，2），
即OA＝1，OB＝2，
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝，
∴∠OAB+∠GAD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠GAD，
∵∠AOB＝∠DGA＝90°，
∴△AOB≌△DGA（AAS），
∴OA＝DG＝1，OB＝GA＝2，
同理OA＝BF＝1，OB＝FC＝2，
∴点C（2，3），D（3，1），
∵CE＝CD，CM∥EN∥DG，
∴MN＝MG＝（3﹣2）＝，
∴ON＝OM+MN＝2+＝，
∴EN＝（3﹣1）+1＝，
∴点E（，），
又∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝×＝，
故选：D．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线分线段成比例定理，是正确解答的前提．
12．（4分）已知a1、a2、a3、an，•••（n为正整数）满足an+1＝，则下列说法：
①a1a2a3＝1；
②a5＝a20；
③若a1＝﹣，则a1m+a2m+⋯+a864m+a865n+a866n+⋯+a1421n＝912m+586n；
④若a1＝x，y＝pa1a3﹣（p为非零常数），当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同；
则p的最小值为﹣3；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由所给的式子分别求出a2＝，a3＝，a4＝a1，从而确定式子的循环规律，并得到a1a2a3＝﹣1；再进行判断即可．
【解答】解：①a2＝，a3＝＝，
∴a1a2a3＝﹣1；
故不正确；
②a4＝＝a1，
∴每3个结果循环一次，
∵20÷3＝6…2，5÷3＝1…2，
∴a5＝a20；
故正确；
③∵a1＝﹣，
∴a2＝，a3＝3，
∴a1+a2+a3＝，
∴a1m+a2m+⋯+a864m+a865n+a866n+⋯+a1421n
＝m（a1+a2+⋯+a865）+n（a866+⋯+a1421）
＝m（×288）+n（×186﹣3）
＝912m+586n，
故正确；
④y＝pa1a3﹣＝p×﹣，
∵a1＝x，
∴a2＝，
∴y＝p（x﹣1）﹣x2，
∵当x的值取m2和2m﹣2，
∴p（m2﹣1）﹣m4＝p（2m﹣2﹣1）﹣（2m﹣2）2，
∴p＝（m+1）2﹣3，
∴当m＝﹣1时，p有最小值为﹣3，
故正确；
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过所给的式子，探索出式子的循环规律，并得到a1a2a3＝﹣1是解题的关键．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）2022年新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括奋斗者号载人潜水器最深下潜约至10900米，其中数据10900用科学记数法表示为 　1.09×104　米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10900＝1.09×104．
故答案为：1.09×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（4分）若α是锐角三角形的一个内角，且满足|cosα﹣，则α的取值范围是 　0°＜α≤30°　．
【分析】直接利用绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出α的取值范围．
【解答】解：∵|cosα﹣|＝cosα﹣，
∴cosα﹣≥0，
∴cosα≥，
∴0°＜α≤30°．
故答案为：0°＜α≤30°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E为边AD的中点，将三角形ABE沿BE折叠使点A与恰好落在点F处，又将点C折叠使其与BF上的点M重合，且折痕GH与BF平行交CD于点H，则线段GH的长度为 　3.75　．

【分析】延长BF交CD于点N，连接EN，根据正方形的性质可得∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝BC＝CD＝6，根据线段中点的定义可得AE＝DE＝3，再根据折叠的性质可得AB＝BF＝6，AE＝EF＝3，∠BAD＝∠BFE＝90°，从而可得DE＝EF＝3然后证明Rt△EFN≌Rt△EDN，从而利用全等三角形的性质可得DN＝FN，再设DN＝FN＝x，则BN＝6+x，CN＝6﹣x，从而在Rt△BCN中，根据勾股定理进行计算可求出BN的长，最后根据折叠的性质可得OC＝OM，再结合已知可证GH是△BCN的中位线，进行计算即可解答．
【解答】解：延长BF交CD于点N，连接EN，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝BC＝CD＝6，
∵点E为边AD的中点，
∴AE＝DE＝AD＝3，
由折叠得：
AB＝BF＝6，AE＝EF＝3，∠BAD＝∠BFE＝90°，
∴DE＝EF＝3，∠EFN＝180°﹣∠BFE＝90°，
∵EN＝EN，
∴Rt△EFN≌Rt△EDN（HL），
∴DN＝FN，
设DN＝FN＝x，
∴BN＝BF+FN＝6+x，CN＝DC﹣DN＝6﹣x，
在Rt△BCN中，BC2+CN2＝BN2，
∴36+（6﹣x）2＝（6+x）2，
∴x＝1.5，
∴BN＝7.5，
由折叠得：
OC＝OM，
∵GH∥BM，
∴BG＝CG，CH＝NH，
∴GH是△BCN的中位线，
∴GH＝BN＝3.75，
故答案为：3.75．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（4分）某文具店九月初进行开学大酬宾活动，将A、B、C三种学习文具以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，现甲，乙两种方式分别在成本价基础上提高20%，40%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲，乙两种方式的销售量之比为 　16：15　．
【分析】根据甲、乙两种方式各种文具的个数配比，以及已知条件“每支C比每支A成本价低2元；甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，”可以得到乙种方式的成本为32元，再设两种方式销售量分别是未知数，列方程解方程即可．
【解答】解：∵两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，
∴乙种方式每袋成本价比甲种方式每袋成本高2元，
∵甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，
∴乙种方式（含包装袋）每袋成本为32元，
设甲、乙两种方式的销量分别为x袋、y袋．根据题意得，
30×0.2x+32×0.4y＝（30x+32y）×0.3，
化简整理得，16y＝15x，
∴x：y＝16：15．
故答案为：16：15．
【点评】考查商品销售问题，关键运用方程思想把销售问题转化成方程问题，列二元一次方程，灵活解出比值．
三、解答题：（本大题共9小题，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）（x+y）（x−2y）+（x−y）2；
（2）（a+1﹣3a﹣1）÷．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可解答；
（2）先算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）（x+y）（x−2y）+（x−y）2
＝x2﹣2xy+xy﹣2y2+x2﹣2xy+y2
＝2x2﹣3xy﹣y2；
（2）（a+1﹣3a﹣1）÷
＝（﹣2a）•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B．
（1）请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AB＝AC+CD，请完成下面的证明过程：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝　∠DAE　．
在△EAD与△CAD中

∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴　∠AED　＝∠C，DE＝DC，AE＝AC，
∵∠AED＝∠BDE+　∠B　．且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴BE＝　CD　．
∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据SAS证明△EAD≌△CAD，推出DE＝DC，∠C＝∠AED，再证明BE＝DE，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE，
在△EAD与△CAD中
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠AED＝∠C，DE＝DC，AE＝AC，
∵∠AED＝∠BDE+∠B．且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CD，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+CD．
故答案为：∠DAE，∠AED，∠B，CD．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
20．（10分）反比例函数与一次函数y2＝ax+b（a≠0）交于A（4，1），B（﹣1，m）两点．
（1）求反比例函数y1和一次函数y₂的解析式，并在网格中画出一次函数y的图象：
（2）当y1≤y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）若y₂与x轴交于点C，点A关于y轴的对称点为点D，求S△BCD面积．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）通过观察图象即可求得；
（3）求得D（﹣4，1），即可求得AD＝8，然后根据S△BCD＝S△ABD﹣S△ACD，利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，1），B（﹣1，m）在反比例函数的图象上，
∴k＝4×1＝﹣1×m．
∴k＝4，m＝﹣4，
∴反比例函数表达式为y1＝，点B的坐标为（﹣1，﹣4）．
∵点A（4，1）和B（﹣1，﹣4）在一次函数y2＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数表达式为y2＝x﹣3；
在网格中画出y2的图象如图：

（2）当y1≤y2时，x的取值范围为﹣1≤x＜0或x≥4；
（3）∵A（4，1），
∴D（﹣4，1），
∴AD＝8，
∴S△BCD＝S△ABD﹣S△ACD＝＝16．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
21．（10分）小王准备测量铁塔DE的高度，从点A处沿着斜坡AB向上走，已知斜坡AB的坡比为3：4，走到B点后，沿着水平方向继续向右走了10.8米到了点C，此时测得顶端D的仰角为50度，E的俯角为30度，已知AE是水平的，AE＝（18.8+6）米，DE垂直于AE，人的身高忽略不计．
（1）铁塔DE的高度约为多少？（精确到0.1，≈1.73）
（2）已知小王从点A到B上坡的速度为每秒0.5米，从B到C速度为每秒1.2米，从C到E下坡的速度为每秒1.5米，则小王从A到E花的时间是多少秒．

【分析】（1）过点B作BG⊥AE，垂足为E，延长BC交DE于点F，则BG＝FE，BF＝GE，∠FCE＝30°，∠DCF＝50°，根据斜坡AB的坡比为3：4，可设BG＝FE＝3x米，则AG＝4x米，然后在Rt△CFE中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出FB，GE的长，再根据AE＝（18.8+6）米，列出关于x的方程，进行计算可求出EF，CF的长，最后在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABG中，根据勾股定理求出AB的长，在Rt△CEF中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BG⊥AE，垂足为E，延长BC交DE于点F，

则BG＝FE，BF＝GE，∠FCE＝30°，∠DCF＝50°，
∵斜坡AB的坡比为3：4，
∴＝，
∴设BG＝FE＝3x米，则AG＝4x米，
在Rt△CFE中，CF＝＝＝3x（米），
∵BC＝10.8米，
∴BF＝GE＝（10.8+3x）米，
∵AE＝（18.8+6）米，
∴AG+GE＝18.8+6，
∴4x+10.8+3x＝18.8+6，
∴x＝2，
∴EF＝3x＝6（米），CF＝3x＝6（米），
在Rt△CDF中，DF＝CF•tan50°≈6×＝（米），
∴DE＝EF+EF＝6+≈18.5（米），
∴铁塔DE的高度约为18.5米；
（2）在Rt△ABG中，AG＝8米，BG＝6米，
∴AB＝＝＝10（米），
在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，EF＝6米，
∴CE＝2EF＝12（米），
∴++＝20+9+8＝37（秒），
∴小王从A到E花的时间是37秒．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，超市在端午节前购进一批红豆粽和腊肉粽，每个腊肉粽的售价比红豆粽多2元，一位顾客购买了15个红豆粽和8个腊肉粽，付款200元．
（1）红豆粽、腊肉粽的单价分别为多少元每个？
（2）端午节前一天超市售出红豆粽150个，腊肉粽100个，为尽快将储存的粽子售出，端午节当天超市决定调整价格，每个红豆粽的售价降低a元，每个腊肉粽的售价降低a元，结果当天红豆粽的销量在前一天的基础上增加了3a个，腊肉粽的销量在前一天的基础上增加了2a个，销售额比前一天增加了12a元，求a的值．
【分析】（1）设红豆粽的单价为x元，腊肉粽的单价为y元，由题意：每个腊肉粽的售价比红豆粽多2元，一位顾客购买了15个红豆粽和8个脂肉粽，付款200元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由端午节当天的销售额比前一天增加了12a元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设红豆粽的单价为x元，腊肉粽的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：红豆粽的单价为8元，腊肉粽的单价为10元；
（2）由题意得：（8﹣a）（150+3a）+（10﹣a）（100+2a）＝8×150+10×100+12a，
解得：a＝30或a＝0（舍去），
答：a的值为30．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（10分）材料一：如果一个三位正整数满足十位数字大于个位数字，且十位数字与个位数字之和等于百位数字，那么称这个数为“下降数”．例如：m＝321，满足2＞1，且1+2＝3，所以321是“下降数”；n＝542，满足4＞2，但4+2≠5，所以542不是“下降数”．
材料二：对于一个“下降数”m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，且a，b，c为整数），交换其百位和十位得到m′＝100b+10a+c，规定F（m）＝，例如：321是“下降数”，m'＝231，F（m）＝＝55．
（1）判断：743 　是　“下降数”，523 　不是　“下降数”（填“是”或“不是”）；
（2）设m为任意一个“下降数”，求证：F（m）能被11整除；
（3）若s，t都是“下降数”，其中s＝100x+10y+51，t＝100a+40+b（1≤x，y，a，b≤9，且x，y，a，b均为整数），若＝117，求满足条件的s和t的值．
【分析】（1）根据下降数的定义判断即可；
（2）设m为任意一个下降数，令m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9），且a，b，c为整数），根据定义证明即可；
（3）根据整数的分解，构建方程组以及不等式求解即可．
【解答】（1）解：对于743，满足4＞3，且3+4＝7，所以743是下降数．
对于523．不满足2＞3，所以523不是下降数；
故答案为：是，不是；

（2）证明：设m为任意一个下降数，令m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9），且a，b，c为整数），
则m′＝100b+10a+c，
∴F（m）＝＝＝11（a+b），
∵a，b为整数，
∴F（m）能被11整除；

（3）解：∵s，t为下降数，
定义s＝100x+10y+51＝100x+10（y+5）+1，
显然，当6≤y≤9时，s＝100（x+1）+10（y﹣5）+1，
∴F（s）＝11（x+1+y﹣5）＝11（x+y﹣4），
又∵F（t）＝11（a+4），
∴＝（x+y﹣4）（a+4）＝117，
∵1≤x，y，a≤9，
∴117＝9×13，
∴①或②，
又∵s，t为下降数，可得，，
解方程组①，方程组②都无解，
此时不存在满足题意的s，t．
当1≤y≤4时，s＝100x+10（y+5）+1，
此时F（s）＝11（x+t+5），F（t）＝11（a+4），
∵＝（x+y+5）（a+4）＝117＝9×13，
∴③或④，
又∵s，t为下降数，可得，，
解方程组③无解，解方程组④得，此时s＝761，t＝541，
综上所述，满足条件的s＝761，t＝541．
【点评】本题考查因式分解的应用，方程组，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
24．（10分）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．

（1）求抛物线C1的解析式；
（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；
（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．
①直接写出P点坐标；
②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；
（3）①设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论．
【解答】解：（1）∵点在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，
∴c＝．
∵该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，
∴b＜0，b2﹣4××＝0．
∴b＝﹣．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x+．
（2）∵y＝﹣x+＝，
又∵抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为y＝＝x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴E（0，2）．
∴OE＝2．
令y＝0，则﹣x+2＝0，
解得：x＝1或3，
∴C（1，0），D（3，0）．
∴OC＝1，OD＝3，
∴CD＝2．
∵点M在抛物线C2上，
∴设M（m，﹣m+2），
设直线ED的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线ED的解析式为y＝﹣x+2．
∵MN∥y轴交线段DE于点N，
∴N（m，﹣m+2），
∵点M在线段ED的下方，
∴MN＝﹣x+2﹣（﹣m+2）＝﹣+2m，
∵S△EMD＝S△EMN+S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2+3m，OE×m＝m，
∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；
（3）①点P的坐标为（，），理由：
设直线EP与x轴交于点G，如图，

∵抛物线C2的解析式为y＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴F（2，0）．
∴OF＝2．
∵OC＝1，
∴CF＝OF﹣OC＝1．
EC＝＝＝，
∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，
∴∠CEF＝∠G．
∵∠ECF＝∠GCE，
∴△ECF∽△GCE，
∴．
∴CE2＝CF•CG，
∴CG＝5，
∴OG＝OC+CG＝6，
∴G（6，0）．
设直线EG的解析式为y＝ax+2，
∴6a+2＝0，
∴a＝﹣．
∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，
∴，
解得：或，
∴P（，）；
②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：
过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，

∵P（，），
∴OK＝，PK＝，
∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，
∴DP＝＝＜1，
∵DF＝1，
∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；
当HP＝HD时，设H（2，h），则HF＝h，
过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，

则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，
∵HP＝HD，
∴＝．
∴12+h2＝+，
解得：h＝，
∴H（2，）．
综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
25．（10分）△ABC是等边三角形，在△CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD，BE．

（1）如图1，若E是线段AB上一点，sin∠ACD＝，CE＝3，则AD长度为多少？
（2）如图2，取BE中点为F，连接AF，DF，DE与AF的交点为G．若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系；
（3）如图3，若AB＝2，E是线段AB上一点，点M是线段CD上一点，将△CBE绕点C顺时针旋转90°得到△CB′E′，连接DE′、B′M，E′M，请直接写出当△CDE′面积最大时，B′M2+E′M2的最大值．
【分析】（1）如图1中，延长DE交CA的延长线于点R，过点D作DM⊥EC于点M，DN⊥AB于点N，设AD交CE于点O．证明∠DAC＝30°，求出DN，可得结论；
（2）结论：DF＝AG．如图2中，延长DF到J，使得FJ＝DF，连接BJ，EJ，AJ．将△BCD绕C顺时针旋转60°得到△ACH，连接EH．证明△ADJ是等边三角形，可得结论；
（3）在△DCE′中，∠DCE′＝30°+90°＝120°，CB＝CE′＝2，推出当CD的长最大时，△DCE′的面积中点，观察图象可知当点E与A重合时，CD的值最大，如图4中，延长AD交BC于点T，过点E′作E′Q⊥BC交BC的延长线于点Q，E′P⊥CB′于点P，过点M作MW⊥CT于点W，MZ⊥E′Q于点Z，交PC于点S，则四边形WCSM，四边形WMZQ，四边形CPE′Q都是矩形．利用勾股定理构建方程，构建关系式，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，延长DE交CA的延长线于点R，过点D作DM⊥EC于点M，DN⊥AB于点N，设AD交CE于点O．

∵DE＝DC，∠CDE＝120°，DM⊥CE，
∴EM＝CM＝，∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴CD＝CE＝＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，
∴∠EAC+∠CDE＝180°，
∴∠AEC+∠ACD＝180°，
∵∠DEN+∠AED＝180°，
∴∠DEN＝∠∠ADC，
∴sin∠DEN＝sin∠CAD＝，
∴DN＝DE×＝2，
∵∠R＝∠R，∠EAR＝∠CDR＝120°，
∴△RAE∽△RDC，
∴＝，
∴＝，
∵∠R＝∠R，
∴△RAD∽△REC，
∴∠ADR＝∠ECA，
∵∠DOE＝∠AOC，
∴∠DEO＝∠CAO＝30°，
∴∠DAN＝30°，
∴AD＝2DN＝4；

（2）结论：DF＝AG．
理由：如图2中，延长DF到J，使得FJ＝DF，连接BJ，EJ，AJ．将△BCD绕C顺时针旋转60°得到△ACH，连接EH．

∵EF＝FB，FD＝FJ，
∴四边形BDEJ是平行四边形，
∴BJ＝DE，BJ∥DE，
∴∠ABJ＝∠AKE，
∵∠CDK+∠CAK＝180°，
∴∠AKD+∠ACD＝180°，
∵∠AKE+∠AKD＝180°，
∴∠AKE＝∠ACD，
∴∠ABG＝∠ACD，
∵CD＝CH，∠CDH＝60°，
∴∠CDE+∠DCH＝180°，
∴DE∥CH，
∵DE＝CD，
∴BJ＝DE＝CH＝CD，
∵AB＝CA，
∴△BAJ≌△CAD（SAS），
∴AG＝AD，∠BAJ＝∠CAD，
∴∠DJA＝∠BAC＝60°，
∴△DJA是等边三角形，
∴FG＝DF，∠ADF＝60°
∴AF⊥DF，
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠EDF＝∠DAG＝30°，
∴GA＝GD，
∵cos∠FDG＝＝，
∴DG＝DG＝AG，
∴DF＝AG．

（3）在△DCE′中，∵∠DCE′＝30°+90°＝120°，CB＝CE′＝2，
∴当CD的长最大时，△DCE′的面积中点，
观察图象可知当点E与A重合时，CD的值最大，如图4中，
延长AD交BC于点T，过点E′作E′Q⊥BC交BC的延长线于点Q，E′P⊥CB′于点P，过点M作MW⊥CT于点W，MZ⊥E′Q于点Z，交PC于点S，则四边形WCSM，四边形WMZQ，四边形CPE′Q都是矩形．

由勾股定理，可得B′M2+E′M2＝MS2+B′S2+E′Z2+MZ2
＝WC2+（B′C﹣SC）2+（CP﹣MW）2+（WC+E′P）2
＝WC2+（2﹣WC）2+（WC+）2+（1﹣WC）2
＝WC2+8，
∵WC≤CT＝1，
∴B′M2+E′M2的最大值＝+8＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．