初中数学青岛版八年级上册第3章 分式综合与测试单元测试复习练习题

青岛版初中数学八年级上册第三单元《分式》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 使分式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且．

2. 下列各式：，，，，中，是分式的共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列各分式中，是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发，经过几小时相遇(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

6. 下列分式中是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 分式的最简公分母是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 若关于的分式方程有增根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛，班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费元，荧光棒共花费元，缤纷棒比荧光棒少根，缤纷棒单价是荧光棒的倍若设荧光棒的单价为元，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 当______时，分式的值为．
14. 分式与的最简公分母是______．
15. 已知，则的值为______．
16. 如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点、、、、都在横格线上，且线段，交于点，则：等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 阅读下面的解题过程：

已知：，求的值．

解：由知，所以，即．

所以故的值为．

该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：

已知：，求的值．

18. 阅读下列材料：

定义：任意两个实数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为，的“如意数”．

若，，则，的“如意数”_________．

若，，试说明，的“如意数”．

已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示．

19. 小明解答题目“当为何值时，分式有意义”的过程如下：
    解：因为，所以当分母时，原分式有意义．
    他的解法对吗如果对，请说明理由如果不对，请改正．
20. 许老师讲完分式的乘除这节后，给同学们出了这样一道题：当时，求代数式的值．一会儿，小明说：“老师，这道题目中的是多余的．”请你判断小明的说法是否正确．
21. 通分：，；，
22. 我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”，如：，假分式也可以化为带分式的形式，即为整式与“真分式”的和的形式，如：，．
    分式是分式______填“真”或“假”．
    请将分式化为带分式的形式，问当的值为整数时，求整数的所有可能值．
23. 我们定义：顶角等于的等腰三角形为黄金三角形．如图，中，且，则为黄金三角形．
    尺规作图：作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法
    请判断是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

24. 如图，直线、与、、分别相交于点、、和点、、若：：，求的长．

25. 为开展“光盘行动”，某学校食堂规定：每天午餐“光盘”的学生，餐后可获得奖品香蕉和橘子．两天时间里，学校食堂采购奖品香蕉和橘子分别花费了元和元，已知这两天食堂所采购的香蕉比橘子少千克，香蕉单价是橘子单价的．
    橘子和香蕉的单价分别是每千克多少元？
    若每千克香蕉有根，每千克橘子有只，且第一天每人可获得根香蕉和只橘子，第二天每人可获得根香蕉和只橘子，则这两天分别有多少学生获得奖品？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零，据此列不等式，解不等式即可．

【解答】

解：根据题意，得，

解得．

故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子
叫做分式。根据分式的定义进行判断。
【解答】
解：下列各式：，，，，中，是分式为：，，
所以一共有个分式。
故选C。  

3.【答案】 

【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.是最简分式，符合题意；
D.，不符合题意；
故选：．
根据分式的分子分母都不含有公因式的分式是最简分式，可得答案．
本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
 

4.【答案】 

【解析】略
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了列代数式分式，解答此题可将，两地的距离看成单位，然后根据时间，可得甲的速度为，乙的速度为，然后根据相遇问题求出相遇的时间即可．
【解答】
解：设，两地间的距离为单位“”，
故相遇的时间为：小时．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简分式，符合题意；
故选：．
根据最简分式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
 

7.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：分式中各项的分母分别是、、，
所以其最简公分母是．
故选：．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母．确定最简公分母的方法一定要掌握．

8.【答案】 

【解析】解：当，，时，







．
故选：．
对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的加减法，分式的值，解答的关键是对所求的式子进行转化，使其含有已知条件的形式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
选项计算正确；
，
选项计算正确；
，
选项计算错误；
，
选项计算正确．
综上，计算错误的是．
故选：．
利用分式的加减法法则和分式的基本性质对每个选项进行逐一的判断即可得出结论．
本题主要考查了分式的加减法，分式的基本性质，正确利用上述法则进行计算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B错误，符合题意；
，
，
，，
，
，
故C正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
故D正确，不符合题意．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
，
故选：．
方程两边同时乘，将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程得到方程的解，根据方程有增根，得到，列出方程计算出的值即可．
本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，
根据题意可得：．
故选：．
若设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少根”可列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
根据分式值为零的条件可得且，再解即可．
【解答】
解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：分式与的最简公分母是．
故答案为．
根据最简公分母的定义求解．
本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
．
原式．
故答案为：．
先根据题意得出，再代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

16.【答案】： 

【解析】解：如图，过点作于点，于点，则、、三点共线，

练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
，
故答案为：：．
过点作于点，于点，则、、三点共线，根据平行线分线段成比例可得即可，
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
 

17.【答案】解：，且，

，

，

．

，

．

【解析】本题考查分式的运算，完全平方式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．
根据题意给出的解题思路即可求出答案．
 

18.【答案】解：；


，
，
；
，且，的“如意数”为，
，
，
，
．
． 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查了新定义问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据“如意数”的定义即可判断；
利用完全平方公式即可解决问题；
根据“如意数”的定义，构建方程求出即可；
【解答】
解：由题意可得：
见答案；
见答案．  

19.【答案】解：他的解法不对，错在先约分再求的取值范围．
改正：由分母，得且，所以当且时，原分式有意义． 

【解析】见答案
 

20.【答案】解： 
即当的取值使代数式有意义时，该代数式的值都是，所以小明的说法是正确的． 

【解析】略
 

21.【答案】解：；

；

．

【解析】本题考查通分，解答的关键是熟练掌握通分的一般步骤．

先确定最简公分母为，再利用分式的基本性质通分即可；

首先把分母因式分解，确定最简公分母为，再利用分式的基本性质通分即可．

22.【答案】假 

【解析】解：分子次数高于分母次数，
改分式是“假分式”．
故答案为：假．
原式．
原分式的值是整数，
是因数，
，，
是整数，
，．
根据真分式和假分式的定义判断即可．
先化为带分式，再求值．
本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求；
是黄金三角形，理由如下：
，，
，
是的平分线，
，
又，
，
，
是黄金三角形． 

【解析】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
作的角平分线，交于点；
由角平分线的定义得，再由等腰三角形的性质得，然后证证，则，即可得出结论．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
，
． 

【解析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
 

25.【答案】解：设橘子单价为每千克元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
元，
答：橘子每千克元，香蕉每千克元；
设第一天有人获得奖品，第二天有人获得奖品，
根据题意，得，
解得，
答：第一天有人获得奖品，第二天有人获得奖品． 

【解析】设橘子单价为每千克元，根据这两天食堂所采购的香蕉比橘子少千克，列分式方程，求解即可；
设第一天有人获得奖品，第二天有人获得奖品，根据题意列二元一次方程组，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意找出等量关系是解题的关键．