2021-2022学年湖南省永州市宁远县七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省永州市宁远县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列方程中，属于二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知方程组，则值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知能被之间的两个整数整除，则这两个整数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，直线，被所截，则与是(    )

A. 同位角
B. 内错角
C. 同旁内角
D. 邻补角

8. 两个全等的正六边形如图摆放，与面积不同的一个三角形是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 甲、乙、丙、丁四名学生次数学测验成绩的平均数相同，方差分别是，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

10. 如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 计算：______．
12. 若实数，满足方程组，则______．
13. 已知，，则______．
14. 因式分解：______．
15. 如图，为了把河中的水引到处，可过点作于，然后沿开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是______．

16. 如图，直线，被所截，若，，，则______度．

17. 若，，的平均数为，则，，的平均数为______．
18. 两边都平行的两个角，其中一个角的度数是另一个角的倍少，这两个角的度数分别是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 解方程组：
    ；
    ．
20. 分解因式：
    ；
    ．
21. 已知中，不含项和项，求，的值．
22. 完成下面的证明
    如图，平分，平分，且，求证：．
    完成推理过程
    平分已知，
    ______
    平分已知，
    ______
    
    ______
    已知，
    ______
    ______

23. 如图所示，的顶点分别为，，．
    作出关于轴对称的图形；
    写出、、的坐标；
    求的面积．
     

24. 为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买包口罩和包酒精湿巾共需元，购买包口罩和包酒精湿巾共需元．
    求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；
    妈妈给了小明元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾且都要购买，请问小明有哪几种购买方案？
25. 某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共人，各类学生人数比例见扇形统计图．
    参加这次夏令营活动的初中生共有多少人？
    活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款．结果小学生每人捐款元，初中生每人捐款元，高中生每人捐款元，大学生每人捐款元，问平均每人捐款是多少元？
    在的条件下，把每个学生的捐款数额以元为单位一一记录下来，则在这组数据中，众数是多少？

26. 如图，，，，求的度数．
    
    小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
    按小明的思路，求的度数；
    问题迁移
    如图，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
    问题应用
    在的条件下，如果点在、两点外侧运动时点与点、、三点不重合，请直接写出与、之间的数量关系并画出相应的图形．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意；
B.是三元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C.是一元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D.方程左边不是整式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义逐一判断即可．
本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：方法一：，
得：
，
，
把代入得：
，
，
则，
方法二：得到：，
故选：．
此题首先解方程组求解，然后代入、得出答案．
此题考查的是解二元一次方程组，关键是先解方程组，再代入求值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、图形有条对称轴，
B、图形不是轴对称图形，
C、图形有条对称轴，
D、图形有条对称轴，
所以，是轴对称图形且对称轴条数最多的是选项图形．
故选：．
根据轴对称图形的性质确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
 

6.【答案】 

【解析】解：
能被至之间的两个整数整除，
可得：，．
故选：．
将利用分解因式的知识进行分解，再结合题目能被至之间的两个整数整除即可得出答案．
本题考查因式分解的应用，难度不大但技巧性很强，同学们要注意掌握解答此题时所运用的思想．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
由内错角的定义两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答．
【解答】
解：两条直线、被直线所截形成的角中，与都在、直线的之间，并且在直线的两旁，所以与是内错角．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意，，

与之间的距离等于与之间的距离，
，
的面积的面积，
故选B．
由题意，，且与之间的距离等于与之间的距离，推出，由此即可判断．
本题考查正多边形与圆、平行线的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是掌握六边形的性质，灵活应用所学知识解决问题，属于中考基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
这四名学生的数学成绩最稳定的是丁，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得．
【解答】
解：四边形为矩形，
，
，
又由折叠的性质可得，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
得，，
将代入得，，
，
，
故答案为：．
用加减消元法二元一次方程组的解，再求代数式的值即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入法和消元法解二元一次方程组是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：
，
当，时，
原式．
故答案为．
首先把已知多项式分解因式然后代值计算即可求解．
本题主要考查了因式分解的应用，提取公因式即可解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

15.【答案】垂线段最短 

【解析】解：过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了平行线的性质，解此题的关键是过点作．
 

17.【答案】 

【解析】解：由，，
所以

．
故填．
本题考查的是一组数据经过变化后得到一组新数据，其平均数有一定的规律，也可以直接利用平均数的计算公式．
本题考查的是平均数的求法．灵活应用公式是解决本题的关键．
 

18.【答案】，或， 

【解析】解：两个角的两边都平行，
此两角互补或相等，
设其中一个角为，
其中一个角的度数是另一个角的倍少，
若两角相等，则，解得：，
若两角互补，则，解得：，
两个角的度数分别是，或，．
故答案为：，或，．
由两个角的两边都平行，可得此两角互补或相等，然后设其中一个角为，分别从两角相等或互补去分析，由其中一个角的度数是另一个角的倍少，列方程求解即可求得答案．
此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握若两个角的两边都平行，则此两角互补或相等，注意方程思想的应用．
 

19.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
，
得：，
解得：，
得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

20.【答案】解：原式；
解：原式． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；
先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

21.【答案】解：原式

由题意得，，，
解得，． 

【解析】根据多项式与多项式相乘的法则和合并同类项法则计算即可．
本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
 

22.【答案】角平分线的定义  角平分线的定义  等量代换  等量代换  同旁内角互补两直线平行 

【解析】证明：平分已知，
角平分线的定义．
平分已知，
角平分线的定义
等量代换
已知，
等量代换．
同旁内角互补两直线平行．
故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求；

由图象知的坐标为，的坐标为，的坐标；
的面积． 

【解析】根据轴对称的定义作出三顶点关于轴的对称点，顺次连接可得；
根据所作图形可得、、的坐标；
利用割补法求解，用长方形的面积减去个直角三角形的面积．
此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

24.【答案】解：设每包口罩的单价为元，每包酒精湿巾的单价为元，
依题意得：，
解得，
答：每包口罩的单价为元，每包酒精湿巾的单价为元．
设小明购买口罩包，酒精湿巾包，
由题意得：，
，
、为正整数，
或或，
小明有种购买方案：
购买口罩包，酒精湿巾包；购买口罩包，酒精湿巾包；购买口罩包，酒精湿巾包． 

【解析】设每包口罩的单价为元，每包酒精湿巾的单价为元，由题意：购买包口罩和包酒精湿巾共需元，购买包口罩和包酒精湿巾共需元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设小明购买口罩包，酒精湿巾包，由题意：小明元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾且都要购买，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

25.【答案】解：参加这次夏令营活动的初中生共有人；

小学生、高中生和大学生的人数为，，，
所以平均每人捐款元；

因为初中生最多，所以众数为元． 

【解析】参加这次夏令营活动的初中生所占比例是：，就可以求出人数．
小学生、高中生和大学生的人数为，，，根据平均数公式就可以求出平均数．
因为初中生最多，所以众数为初中生捐款数．
本题为统计题，考查了扇形图、加权平均数和众数的含义．提高了学生的综合应用能力，解题时要细心．
 

26.【答案】解：过点作，
，
，
，，
，，
，，
．
，
理由：如图，过作交于，

，
，
，，
；
如图所示，当在延长线上时，
；

，
，
是的一个外角，
，
；
如图所示，当在延长线上时，
；

，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：或者． 

【解析】通过平行线性质可得，，再代入，可求即可；
过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
分两种情况：在延长线上；在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．