2021-2022学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转后得到的图片是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，数轴上所表示关于的不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，添加如下一个条件，使四边形为平行四边形不添加任何辅助线，其中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 要把分式方程化为整式方程，方程两边应同乘(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列命题的逆命题是假命题是(    )

A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 平行四边形的对边平行且相等
C. 如果，那么或 D. 如果两个角是对顶角，那么它们相等

10. 如图，已知平行四边形中，，点是和的角平分线的交点，过点作，分别交、于、两点，连接、则下列结论：；点是的中点；；，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 分解因式：______．
12. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______．

13. 已知，则的值为______．
14. 分式方程的解是______．
15. 如图，在▱中，，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为__________．

16. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为          ．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且轴，现将点、绕点同时逆时针匀速旋转，当点绕点旋转到达轴上的点时，点刚好绕点旋转了到达轴上的点处．则当点旋转一周回到时，点所在的位置坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

18. 先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 解不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集．
20. 如图，已知，，，与交于点．
    求证：≌；
    若，求的度数．

21. 如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求四边形的周长．

22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商城用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．
    求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
    现在商城准备一次性购进这两种家电共台，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，总利润不低于元，一共有多少种合理的购买方案？
23. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
    例：“两两分组”：
    解：原式
    
    例：“三一分组”：
    解：原式
    
    归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
    分解因式：；
    ；
    已知的三边，，满足，试判断的形状．
24. 已知是等边的边上的点．
    
    如图，过点作，交于点，求证：；
    如图，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过点作，交延长线于点求证：；
    在的条件下，猜想，，之间的数量关系，并证明．
25. 如图，在▱中，于点，，，连接，点以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到达点即停止运动，，分别是，的中点，连接设点运动的时间为．
    判断与的位置关系和数量关系，并求出的长；
    若．
    求点由点向点匀速运动的过程中，线段所扫过区域的面积；
    若是等腰三角形，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图所示：“小鸭子”图片按逆时针方向旋转后得到的图片是：．
故选：．
直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：关于的不等式组的解集是：．
故选：．
根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一个多边形的每一个外角都等于，
多边形的边数为．
故选：．
多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是．
 

5.【答案】 

【解析】解：分式方程化为整式方程，两边乘以．
故选：．
找出两分母的最简公分母即可得到结果．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

6.【答案】 

【解析】解：不符合因式分解的意义，因此选项A不符合题意；
B.是利用平方差公式进行的因式分解，因此选项B符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义，利用提公因式法、公式法分解因式后，并逐项进行判断即可．
本题考查因式分解，提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：中，边的中垂线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：．
由中，边的中垂线分别交、于点、，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集是．
故选：．
写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，故A不符合题意；
“平行四边形的对边平行且相等”的逆命题是：对边平行且相等的四边形是平行四边形，逆命题是真命题，故B不符合题意；
“如果，那么或”的逆命题是：如果或，那么，逆命题是真命题，故C不符合题意；
“如果两个角是对顶角，那么它们相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角，逆命题是假命题，故D符合题意；
故选：．
分别写出各命题的逆命题，再判断其真假即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是能求出一个命题的逆命题，并会判断逆命题的真假．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
，
，所以正确；
，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，即点为的中点，所以正确；
，
设，，
，，
，
，
，所以正确；
而，
，
，，
，
，
，
，
，所以正确．
故选：．
利用平行四边形的性质得到，，，，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，则，于是可对进行判断；利用平行线的性质证明，得到，，再证明四边形为平行四边形得到，所以，则可对进行判断；设，，则，，，，则可对进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到，，，，，得出，从而可对进行判断．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定，三角形面积．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可得：，
，
是等边三角形，
，
，，
．
故答案为：．
由将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上，可得，又由，可证得是等边三角形，继而可得，则可求得答案．
此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
原式．
故答案为：．
先根据题意得出，再代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．根据作图过程可得平分；再根据角平分线的定义和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【解答】
解：根据作图的方法得：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形与含度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
由，推出，所以，由，，推出，所以，，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半即可得的长．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
在中，
因为，
所以．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：由题意，是等腰直角三角形，
，
，，
当点旋转一周回到时，点第三象限，此时，
故答案为：．
由题意，是等腰直角三角形，判断出点的位置，可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，坐标确定位置，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：原式
，
，
原式． 

【解析】先化简，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，化简此分式是解题的关键．
 

19.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
由知≌，
．
，
． 

【解析】根据证明两个三角形全等；
根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

21.【答案】证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：，，四边形是平行四边形，
，
是的中点，，
，
，
，
平行四边形的周长． 

【解析】证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形；
由得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，
根据题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元．
设购进电冰箱台为正整数，这台家电的销售总利润为元，
则，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
，，，，，，，
一共有种合理的购买方案． 

【解析】设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意：商城用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
设购进电冰箱台为正整数，由题意：购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，总利润不低于元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准数量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：原式
；
原式
；
，
，
，
、、是的三边，，
，
，
的形状是等腰三角形． 

【解析】前两项和后两项分别提取公因式，再提取公因式即可；
将第一、三、四项组成一个完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可；
根据平方差公式和提取公因式分解因式，再提取公因式，得到，根据、、是的三边，，得到，从而，的形状是等腰三角形．
本题考查了因式分解的应用，阅读型，掌握，是解题的关键．
 

24.【答案】证明：
，，
，
；

证明：过点作交于，
则，，
，
，
是外角平分线，所以，
，
又，，

又，
，
在和中，
，
≌，
；

；
证明：过点作于，
≌，
，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，

． 

【解析】根据平行线的性质和等边三角形的性质可得，，在根据等角对等边可得；
过点作交于，然后证明≌，再根据全等三角形的性质可得；
过点作于，再证明≌可得，因为可得．
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．
 

25.【答案】解：如图，设，
在中，，
，
，
，
，分别是，的中点，
；
，
如图，取的中点，当与重合时，是的中点，是的中点，则线段所扫过区域是▱，
，，
，
过作于，
，，
∽，
，即，
，
线段所扫过区域的面积；
分两种情况：
当时，如图，连接，
，
是的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
由勾股定理得：，
，
；
当时，如图，同理得：，
，
，
综上，的值是秒或秒． 

【解析】如图，设，根据勾股定理可得的长，根据三角形中位线定理可得结论；
如图，取的中点，先确定线段所扫过区域是▱，作高线，由面积法可得的长，根据平行四边形的面积公式可得线段所扫过区域的面积，代入计算可得结论；
分两种情况：当时，如图，连接，根据勾股定理列方程可得的值；当时，如图，根据，得结论．
本题是四边形的综合题，涉及动点运动问题，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形相似的性质和判定，第问中，根据数形结合的思想确定线段所扫过区域是什么几何图形是关键，需要分类讨论；解题时需要全面分析，认真计算．