青岛版初中数学九年级上册期末测试卷（标准难度）（含答案解析）

青岛版初中数学九年级上册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在四边形中，对角线平分，点在上，分别连接、若，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，点是上一点，连结若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 中，，，，为的中点，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为参考数据：，，，，结果保留整数(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，如果，，那么图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，五边形内接于，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

12. 一元二次方程根的判别式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，正方形中．点，分别在，上，是等边三角形、连接交于点过点作于点，若，则等于______．

14. 如图，在中，，，，则的长为______．
15. 如图，、是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则______

16. 某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去张贺卡，则该学习小组______有名成员．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图是由小正方形组成的的网格，已知的顶点，均在格点上，顶点在小正方形的边上不在格点上仅用无刻度的直尺在给定格中完成画图，画图过程用虚线表示．
    在图中画出线段的中点，画出平行四边形；
    在图中过点作一条直线交线段边于点，使与面积比为：；
    在图中作的边上的高．
     

18. 年月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
    如图为“弦图”的一部分，在正方形中，，．
    求证：；
    连接，若，求证：．

19. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．
    求证：∽；
    若，，，求的长．

20. 如图，小睿为测量公园的一凉亭的高度，他先在水平地面点处用高的测角仪测得，然后沿方向向前走到达点处，在点处用高的测角仪测得求凉亭的高度．三点共线，，，，结果精确到
    参考数据：，，，，，

21. 小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为在直线上运动现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．
    
    点坐标为______，段关于的函数解析式为______；
    小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；
    若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．参考数据：，，
22. 如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，．
    求证：是的切线；
    若的半径长为，，求的长．

23. 如图，矩形与交于点，点为上一点，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图保留作图痕迹．
    若、分别、是的一个三等分点，请在图中作出过点的切线；
    在图中作一个圆周角，使这个角的正切值为．
     

24. 年月日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届冬奥会所不同的是，这届冬奥会大家都被吉祥物---冰墩墩吸引了，导致市场大量缺货，为满足市场需求，温州某玩具加工厂打算紧急招聘名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产件普通款或件升级款，根据市场行情，普通款每件利润为元，升级款每件利润为元，为保证全部售出，每生产件升级款就将升级款的售价降低元每件利润不低于元，设每天生产升级款件．
    根据信息填表：

当取多少时，工厂每日的利润可达到元？

25. 年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家月份生产万个“冰墩墩”，月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份开始扩大产量，月份产量达到万个．已知月份和月份产量的月平均增长率相同．
    求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
    按照中的月平均增长率，预计月份的产量为多少个？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．
根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【解答】
解：，
，
，
即，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

平分，，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，，再根据垂直定义可得，从而证明∽，然后利用相似三角形的性质可得，最后再根据含度角的直角三角形，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
根据旋转可知：
，，，

根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得：
，
，，
∽，
，即，
．
故选：．
根据旋转可得，，由勾股定理求出，进而可得的值，再根据勾股定理可得的长，最后证明三角形相似可得结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形相似的性质和判定，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：过点作于，

，，
，，
，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作于，由锐角三角函数的定义可得，再解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，进而求解的长．
本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，作于，
，，为的中点，
，平分，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，

，
，
故选：．
连接，作于，根据三线合一得到垂直于，为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形中，利用三角函数求得，然后利用角所对的直角边等于斜边的一半得到的长，再利用三角形相似求出的长，根据三角形面积公式求得结果．
此题考查了含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意可知：，，，，
，，
，
故选：．
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图，

在中，由勾股定理得：，
则，
，，
，
要使与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意；
故选：．
连接交于，根据勾股定理求出，求出和，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出的范围即可．
本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，扇形面积的计算，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，属于中档题．
连接，，根据等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：连接，，

，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
五边形是圆内接五边形，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故选：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．求出根的判别式的值再进行判断即可．

【解答】

解：一元二次方程中，
变形为：，
，
所以有两个相等的实数根 ．
故选C．

12.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用判别式的定义，计算即可．
本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，．
等边三角形，
，．
．
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
通过条件可以得出≌，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，得到，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题的关键是运用勾股定理的性质．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出与之间的关系是解题的关键．
过点作，垂足为点，设，则，在中，通过解直角三角形可得出，的长，在中，利用勾股定理可得出的长，由结合可求出的值，此题得解．
【解答】
解：过点作，垂足为点，如图所示．

设，则
在中，，
；
在中，，，

，
．
故答案为．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于点，连接，

与相切于点，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
故答案为：．
连接并延长交于点，连接，根据切线的性质可得，从而求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设这个小组有名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设这个小组有名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共张，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图中，点，平行四边形即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，线段即为所求．
 

【解析】利用网格特征，平行四边形的判定画出图形即可；
利用平行线分线段成比例定理，画出图形即可；
作出点关于的对称点，连接交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
；
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】利用正方形的性质可得，，从而可得，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而可证≌，进而可得，，即可解答；
利用的结论可得，，从而可得，进而可得∽，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，．
又，
．
∽；
∽，
，
四边形是平行四边形，
．
．
．
． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出，．
由平行四边形的性质可知，所以，，又因为又，进而可证明：∽；
由可知：∽，所以，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算即可．
 

20.【答案】解：由题意得：
，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
凉亭的高约为． 

【解析】根据题意可得，，，然后设，则，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】    

【解析】答如图，过点作于点，

，
，
，斜坡的坡度：：，
，，
点坐标为，
设段关于的函数解析式为，
代入，，
解得：，
段关于的函数解析式
，
故答案为：；．
在中，，，
，
，
，，
在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，
小明在斜坡上跑步的时间为：，
小明在斜坡上的跑步速度是：，
，，
，
，
设段关于的函数解析式为：代入，，
得：，
解得：，
段关于的函数解析式为；
故答案为：．
在段上无人机与小明之间的距离为时，
则有：，
解得：，
无人机飞行的时间为；
在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，
解得：，
无人机飞行的时间为，
无人机与小明之间距离不超过的时长为：．
通过三角函数值和已知题意信息可以解出点坐标，再通过点坐标和原点进而确定段的函数解析式．
通过段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和问得到小明所走的路程，进而解出小明在段的速度，由，点确定段解析式．
通过段和段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过的时长．
考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．
 

22.【答案】证明：连接，
则，又，
，
，，
∽
，
又是直径，

与相切；
解：设，
，，，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，，，
，
，
由知，，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，首先得出∽，进而推出，即可得到结论；
先判断出，得出，最后用勾股定理求出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图中，直线即为所求；
如图中，即为所求．
 

【解析】连接，交于点，作直线，直线即为所求可以证明是的中位线，推出．
延长交于，连接交于，即为所求可以证明，满足
本题考查作图复杂作图，矩形的性质，圆周角定理，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】       

【解析】解：普通工人每人每天可以生产件普通款或件升级款，且每天生产升级款件，
安排人生产升级款冰墩墩，安排人生产普通款冰墩墩，
每天生产件普通款冰墩墩．
又普通款每件利润为元，升级款每件利润为元，
填表如下：

故答案为：；；；；
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
当时，，符合题意．
答：当取时，工厂每日的利润可达到元．
根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；
利用工厂每日的利润每件可获得的利润每天的产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：设“冰墩墩”产量的月平均增长率为，根据题意，得
．
解得舍去，，
答：“冰墩墩”产量的月平均增长率为；
万个．
答：预计月份的产量为万个． 

【解析】设“冰墩墩”产量的月平均增长率为，根据月份及月份的产量，列出方程即可求解；
结合按照这个增长率，根据月份产量达到万个，即可求出预计月份平均日产量．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．