青岛版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

这是一份青岛版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

青岛版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N.若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是(    )

A. B.
C. D.
2. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为(    )


A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1
3. 已知任意四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，若只增加下列条件中的一个：①AO=BO；②AC=BD；③AOOC=DOBO；④∠OAD=∠OBC，一定能使∠BAC=∠CDB成立的可选条件是(    )
A. ② B. ①② C. ③④ D. ②③④
4. 如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为(    )

A. 5 B. 3 C. 52 D. 32
5. 如图，点G为△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，连结CG并延长交AB于点D，作DE⊥CB于点E，过点G作GF //AD交AC于点F，则GFDE的值为(    )


A. 1 B. 43 C. 32 D. 233
6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE=3，CD=6，∠FED=30°，∠FDE=45°，则BC的长度为(    )

A. 3+63 B. 6+33 C. 42+33 D. 3+62
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=14，分别以点A，点B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，连接MN交AC于D，交AB于E，连接BD，若cos∠BDC=35，则BC的长为(    )
A. 8
B. 7
C. 4
D. 3


8. 如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是(    )
A. 12
B. 2
C. 52
D. 55
9. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan∠ADB=34，则tan∠CAD的值(    )

A. 34 B. 14 C. 33 D. 13
10. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为(参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数)(    )

A. 188 m B. 269 m C. 286 m D. 312 m
11. 如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2，∠BOC=α，则OA2的值为(    )

A. 4tan2α−4 B. sin2α−4 C. 4sin2α−4 D. tan2α−4
12. 如图，AD是△ABC的高．若BD=2CD=6，tanC=2，则边AB的长为(    )

A. 32 B. 35 C. 62 D. 37
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在▱ABCD中，已知AD=10cm，tanB=2，AE⊥BC于点E，且AE=4cm，点P是BC边上一动点．若△PAD为直角三角形，则BP的长为______

14. 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得到△DCF，连接EF，分别交BD，CD于点M，N.若AEDN=25，则tan∠EDM=______．

15. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BP⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④PGAE=3−2，其中正确的结论是______.(只填序号)
16. 如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG=2，则S△ABC=______．



三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上).已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，求树高CD．

18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC．
(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若BA=3,∠ABC=60°，求CE长．

19. 如图，是由边长为1的小正方形构成6×6的网格，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、D是格点，E是AD与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示．
(1)直接写出图中AE的长=______；
(2)在图①中画出等腰Rt△EBG，使∠EBG=90°；
(3)在图②中先平移线段AB至DC(A对应D，B对应C)，再在线段DC上画一点H；使得EH=AE+CH．


20. 如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，作EF⊥AB交CD于F，连结AF，BF，作FG⊥BF交AC的延长线于G，AC与EF交于点O．
(1)设∠AFE=α，用含α的代数式表示∠G的度数．
(2)求证：AO=GC．
(3)如图，若△AFG的面积为15，求正方形ABCD的边长．

21. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB=AD．
(1)求证：△BFD∽△CAB；
(2)求证：AF=DF；
(3)EFFB的值等于______.(直接写出结果，无需解答过程)

22. 求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α=1．
要求：
①如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC(保留作图痕迹，不写作法)．
②根据①中所画图形证明该命题．

23. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转(旋转角小于90°)，在图中求作点D的对应点E，使得BE=12BC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57，求EFCF的值．

24. 第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图1)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG//BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数)．
(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)

25. 随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC=8，CD=2，∠D=135°，∠C=60°，且AB//CD，求出垂尾模型ABCD的面积．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)



答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：过点O分别作OF⊥AB于F，OE⊥BC于E，
∵∠POQ=∠EOF=90°，
∴∠NOF=∠MOE，
∵∠NFO=∠MEO=90°，
∴△NOF∽△MOE，
∴NFOF=MEOE，
∵AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，
∴NF=2−y，ME=3−x，OF=3，OE=2，
∴2−y3=3−x2，
∴y=32x−52，
∵0≤y≤4，
∴0≤32x−52≤4，
∴53≤x≤133，
∴y=32x−52(53≤x≤133)，
故选：C．
过点O分别作OF⊥AB于F，OE⊥BC于E，易证明△NOF∽△MOE，利用相似比作为相等关系即可得到关于x，y的方程，整理即可得到函数关系式从而判断图象．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．

2.【答案】D 
【解析】解：如图所示，

由网格图可知：BF=2，AF=4，CH=2，DH=1，
∴AB=AF2+BF2=25，
CD=CH2+DH2=5．
∵FA//CG，
∴∠FAC=∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF=BFAF=24=12，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD=HDCH=12，
∴tan∠BAF=tan∠HCD，
∴∠BAF=∠HCD，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF，∠ACD=∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB//CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比=ABCD=255=2．
故选：D．
利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出∠BAF=∠HCD，进而得到∠BAC=∠DCA，则AB//CD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：①由AO=BO，只能得出△AOB为等腰三角形，不一定能使∠BAC=∠CDB成立；
②AC=BD，再由AB=CD，BC=BC，可证△ABC≌△DCB，则∠BAC=∠CDB，能使∠BAC=∠CDB成立；
③AOOC=DOBO，可证AD//BC，可再由AB=CD推出ABCD等腰梯形，一定能使∠BAC=∠CDB成立；
④∵∠OAD=∠OBC，∴A，B，C，D四点共圆，一定能使∠BAC=∠CDB成立．
故选：D．
根据三角形全等的判定方法，相似判定来综合分析，逐条排除即可．
本题是三角形全等，相似判定的综合运用，需要对题目的条件，添加条件及图形条件进行综合分析，得出结论．

4.【答案】A 
【解析】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，

∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF//BC，
∴EO//AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴BEAB=OEAF=BOBF=12，
∴BE=12AB=AE．
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF．
∴EF=2.5，
∵EF//BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴EGBC=AGAC=AEAB=12，∠AGE=∠ACB=90°，
∴EG=12BC=1.5，AG=12AC=2，
∴GF=EF−EG=1．
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴AF=AG2+GF2=22+12=5．
故选：A．
连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G.根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，再证明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再证明△AGE−△ACB，EG=12BC=1.5，AG=12AC=2，从而再由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定及性质，含30°角的直角三角形的性质，证明△CFG∽△CAD是解题的关键，根据重心的定义即可得出点D为AB的中点，进而得出BD=AD，利用GF //AD，得出△CFG∽△CAD，即可得出FGAD=CGCD，进而得出FGAD=CGCD=23，然后得出GF=23AD，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE=12BD，即可得出结论．
【解答】
解：∵点G为△ABC的重心，
∴点D为AB的中点，
∴BD=AD，
∵GF //AD，
∴△CFG∽△CAD，
∴FGAD=CGCD，
∵点G为△ABC的重心，
∴FGAD=CGCD=23，
∴GF=23AD，
∵∠B=30°，
∴DE=12BD=12AD，
∴GFDE=23AD12AD=43．
故选B．  
6.【答案】A 
【解析】解：作FN⊥BD，延长DE、CB交于点M，如图：

则∠FNE=∠FND=90°，
∵∠FDE=45°，
∴△NFD为等腰直角三角形，
由题意得：AB=CD=6，∠A=∠ABC=∠ABM=∠FNM=90°，BC=AD，
设NF=x，则DN=x，FE=2x，
∴EN=EF2−FN2=3x，
∴DE=(3+1)x，
∵BE=3，AB=6，
∴AE=BE=3，
又∵∠AED=∠BEM，
∴△AED≌△BEM(ASA)，
∴AD=BM，ME=DE=(3+1)x，
∴MN=(23+1)x，
又∵∠M=∠M，∠ABM=∠FNM=90°，
∴△MBE∽△MNF，
∴BMMN=BEFN，即BM(23+1)x=3x，
解得：BM=63+3，
BC=AD=BM=63+3，
故选：A．
作FN⊥BD，延长DE，CB交于点M，设NF=x，根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了矩形的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质作出辅助线构造出全等三角形．

7.【答案】B 
【解析】解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∵AC=CD+AD=CD+BD=14，
∴BD=14−CD，
在Rt△BCD中，cos∠BDC=CDBD=35，
∴CD14−CD=35，
解得：CD=214，
∴BD=14−214=354，
∴BC=BD2−CD2=(354)2−(214)2=7，
故选：B．
由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，得到BD=AD，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：连接OD，

∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴OD=12AB=1，
∴OD=OA=OE=OD，
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC=∠AED，
∴tan∠AED=tan∠ABD=12，
故选：A．
连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求∠AED的正切值转化为求∠ABC的正切值．
本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．

9.【答案】B 
【解析】解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，

在Rt△BAD中，tan∠ADB=34，
∴ABAD=34，
设AB=3a，AD=4a，
则BD=AD2+AB2=16a2+9a2=5a，
∵CE⊥AE，BA⊥AD，
∴△BAD∽△CED，
∴ADED=ABCE，
∵DC=12BD，
∴DE=12AD=2a，CE=12AB=32a，
∴在Rt△AEC中，tan∠CAD=CEAE=32a6a=14．
故选：B．
过点C作CE垂直AD的延长线于E，因为BA⊥AD，所以△BAD和△CED相似，根据相似三角形的性质求出CE和AE的长，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题结合相似三角形考查了锐角三角函数的运用，解题的关键是将求锐角三角函数值的角构建到直角三角形中去．

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．首先分析图形，根据题意得两个直角三角形△AON、△BOM，通过解这两个直角三角形求得NO、MO的长度，进而利用MN=MO+NO即可求出答案．
【解答】
解：由题意得：∠N=43°，∠M=35°，AO=135m，BO=AO−AB=95m，
在Rt△AON中，
tanN=AONO=tan43°，
∴NO=AOtan43∘≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM=BOMO=tan35°，
∴MO=BOtan35∘≈135.7m，
∴MN=MO+NO=135.7+150≈286m．
故选：C．  
11.【答案】A 
【解析】解：在Rt△OBC中，BC=2，∠BOC=α，
∴OB=BCtanα=2tanα，
在Rt△ABO中，AB=2，
∴OA2=OB2−AB2
=(2tanα)2−22
=4tan2α−4，
故选：A．
在Rt△OBC中，BC=2，∠BOC=α，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，再在Rt△ABO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

12.【答案】C 
【解析】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，BD=6，
∵tanC=ADCD=2，
∴AD=6，
∴AB=2AD=62
故选：C．
根据BD=2CD=6，可得CD=3，由tanC=ADCD=2，可得AD=6，可得△ABD是等腰三角形，进而可以解决问题．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角、边边、角角间的关系式解直角三角形的基础，本题需考虑两种情况是关键．

13.【答案】2cm或4cm或10cm 
【解析】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵tanB=AEBE=2，且AE=4，
∴BE=2，
分两种情况：
①当∠PAD=90°时，点P与E重合，BP=BE=2；
②当∠APD=90°时，作DF⊥BC交BC的延长线于F，如图所示：
则∠DFP=∠AEP=90°，DF=AE=4，
∵∠APE+∠PAE=∠APE+∠DPF=90°，
∴∠PAE=∠DPF，
∴△APE∽△PDF，
∴PEDF=AEPF，即PE4=410−PE，
解得：PE=2，或PE=8，
∴BP═BE+PE=4，或BP=BE+PE=10；
综上所述，若△PAD为直角三角形，则BP的长为2cm或4cm或10cm；
故答案为：2cm或4cm或10cm．
由三角函数得出BE=2，分两种情况：
①当∠PAD=90°时，点P与E重合，BP=BE=2；
②当∠APD=90°时，作DF⊥BC交BC延长线于F，则∠DFP=∠AEP=90°，DF=AE=4，证明△APE∽△PDF，得出PEDF=AEPF，解得PE=2，或PE=8，得出BP═BE+PE=4，或BP=BE+PE=10；即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

14.【答案】12 
【解析】解：∵以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得到△DCF，
∴△AED≌△CFD，
∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，AE=CF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵正方形ABCD，BD为对角线，
∴∠DBC=45°，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EMD=∠BMF，∠DEF+∠EMD+∠EDM=180°，∠DBC+∠BMF+∠EFB=180°，
∴∠EDM=∠EFB，
∵AEDN=25，正方形边长为1，
∴设AE=CF=2x，DN=5x，
∴EB=1−2x，NC=1−5x，
∵∠NCF=∠EBF=90°，∠EFB=∠NFC，
∴△FCN∽△FBE，
∴FCBF=NCEB，即2x1+2x=1−5x1−2x，
解得：x=16或x=−1(舍去)，
∴EB=23，BF=13+1=43，
则tan∠EDM=tan∠EFB=EBBF=2343=12．
故答案为：12．
由旋转的性质得到三角形AED与三角形CFD全等，进而得到对应角与对应边相等，确定出三角形DEF为等腰直角三角形，再由正方形的性质得到∠BDF=∠DEF=45°，根据对顶角相等，利用三角形内角和定理得到∠EDM=∠NFC，根据已知比值设出AE与DN，进而表示出EB与NC，根据三角形CFN与三角形BEF相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EB与BF，即可求出所求．
此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质与判定是解本题的关键．

15.【答案】①②③ 
【解析】解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠GAH=∠BAH，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
在△AHG和△AHB中，
∠GAE=∠BAHAH=AH∠AHG=∠AHB，
∴△AHG≌△AHB(ASA)，
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CAF=12×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，
∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°−∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BEGF是菱形；②正确；
设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF//OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，∠CGF=90°，
∴CF=2GF=2BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠OAE=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
∠OAE=∠OBGOA=OB∠AOE=∠BOG，
∴△OAE≌△OBG(ASA)，①正确；
∴OG=OE=a−b，
∴△GOE是等腰直角三角形，
∴GE=2OG，
∴b=2(a−b)，
整理得a=2+22b，
∴AC=2a=(2+2)b，AG=AC−CG=(1+2)b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC//AB，
∴BGPG=AGCG=(1+2)bb=1+2，
∵△OAE≌△OBG，
∴AE=BG，
∴AEPG=1+2，
∴PGAE=11+2=2−1，④错误；
∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°，
∴∠EAB=∠GBC，
在△EAB和△GBC中，
∠EAB=∠GBCAB=BC∠ABE=∠BCG=45°，
∴△EAB≌△GBC(ASA)，
∴BE=CG，③正确；
故答案为：①②③．
证明△AHG≌△AHB(ASA)，得出GH=BH，得出AF是线段BG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB，由正方形的形状得出∠BAF=∠CAF=12×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出②正确；
设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，证出CF=2GF=2BF，由正方形的性质得出OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，证出∠OAE=∠OBG，由ASA证明△OAE≌△OBG，①正确；
求出OG=OE=a−b，△GOE是等腰直角三角形，得出GE=2OG，b=2(a−b)，整理得a=2+22b，得出AC=2a=(2+2)b，AG=AC−CG=(1+2)b，由平行线得出BGPG=AGCG=(1+2)bb=1+2，得出AEPG=1+2，因此④正确；
证明△EAB≌△GBC(ASA)，得出BE=CG，③正确．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

16.【答案】48 
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM//BC交AG于点M，
∵DM//BC，
∴∠DMF=∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF=EF，
在△DMF和△EGF中，
∠DMF=∠EGF∠DFM=∠GFEDF=EF，
∴△DMF≌△EGF(AAS)，
∴S△DMF=S△EGF=2，GF=FM，DM=GE，
∵点D为AB的中点，且DM//BC，
∴AM=MG，
∴FM=12AM，
∴S△ADM=2S△DMF=4，
∵DM为△ABG的中位线，
∴DMBG=12，
∴S△ABG=4S△ADM=4×4=16，
∴S梯形DMGB=S△ABG−S△ADM=16−4=12，
∴S△BDE=S梯形DMGB=12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC=4S△BDE=4×12=48，
故答案为：48．
取AG的中点M，连接DM，根据AAS证△DMF≌△EGF，得出MF=GF=12AM，根据等高关系求出△ADM的面积为4，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM=14S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为12，进而得出△BDE的面积为12，同理可得S△BDE=14S△ABC，即可得出△ABC的面积．
本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．

17.【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.7米，EG=FB=2米，GH=BD=6米，
∴AG=AB−GB=2.9−1.7=1.2(米)，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG//CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴AGCH=EGEH，
∴1.2CH=22+6，
解得CH=4.8，
∴CD=CH+DH=4.8+1.7=6.5(米)．
答：树高CD为6.5米． 
【解析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．

18.【答案】解：(1)如图，点E即为所求；

(2)在Rt△ABC中，AB=3，∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴BC=2AB=23，
∵BD平分∠ABC，
∵∠ABD=∠CBD=30°，
在Rt△ABD中，BD=ABcos30∘=2，
在Rt△BDE中，BE=BDcos30∘=433，
∴CE=CB−BE=23−433=233． 
【解析】(1)过点D作DE⊥DB交BC于点E，点E即为所求．
(2)解直角三角形求出BD，BE，可得结论．
本题考查作图−相似变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

19.【答案】103 
【解析】解：(1)∵AD=12+32=10，
∴AE=13AD=103，
故答案为：103；
(2)在图①中，等腰Rt△EBG即为所求；
(3)在图②中，线段DC，点H即为所求．

(1)利用勾股定理求出AD，再利用平行线分线段成比例定理求出AE；
(2)作正方形ABTD，延长DT交BM于点G，△EBG即为所求；
(3)取格点T，作射线BT交CD于点H，点H即为所求．
本题考查作图−平移变换，平行线分线段成比例定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20.【答案】(1)解：∵E为AB的中点，EF⊥AB，
∴FE垂直平分AB，
∴FA=FB，
∵FE⊥AB，∠AFE=α，
∴∠BFE=∠AFE=α，
∵四边形ABCD是正方形，∠FCA=45°，
∴AB//CD，
∴EF⊥CD，
∴∠EFB+∠BFC=90°，
∵FG⊥BF，
∴∠BFC+∠CFG=90°，
∴∠EFB=∠CFG=α，
∵∠FCA是△CFG的外角，
∴∠G=45°−α；
(2)证明：∵EF⊥CD，∠FCA=45°，
∴∠OFC=90°，∠FOC=45°，
∴△FOC是等腰直角三角形，
∴FO=FC，∠FOC=∠FCO=45°，
∴∠FOA=∠FCG=135°，
∵∠AFO=∠EFB，∠EFB=∠CFG，
∴∠AFO=∠GFC，
在△FOA和△FCG中，
∠AFO=∠GFCFO=FC∠FOA=∠FCG，
∴△FOA≌△FCG(ASA)，
∴OA=CG；
(3)解：设正方形ABCD的边长为2a，则AE=a，FC=FO=a，
∴S△FCO=12⋅FO⋅FC=12a2，S△FOA=S△FCG=12⋅FO⋅AE=12a2，
∵S△FAG=S△FCO+S△FOA+S△FCG=15，
∴12a2+12a2+12a2=15，
∴a=10或−10(不符合题意，舍去)，
∴正方形ABCD的边长=2a=210． 
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得出FA=FB，由等腰三角形的性质得出∠BFE=∠AFE=α，由正方形的性质得出AB//CD，得出EF⊥CD，进而得出∠EFB+∠BFC=90°，由FG⊥BF，得出∠BFC+∠CFG=90°，继而得出∠EFB=∠CFG=α，由三角形外角的性质即可得出∠G=45°−α；
(2)由EF⊥CD，∠FCA=45°，得出△FOC是等腰直角三角形，进而得出FO=FC，∠FOA=∠FCG=135°，进而证明△FOA≌△FCG，即可证明OA=CG；
(3)设正方形ABCD的边长为2a，则AE=a，FC=FO=a，得出S△FCO=12⋅FO⋅FC=12a2，S△FOA=S△FCG=12⋅FO⋅AE=12a2，由S△FAG=S△FCO+S△FOA+S△FCG=15，得出12a2+12a2+12a2=15，求出a=10，即可求出正方形ABCD的边长．
本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算公式等知识是解决问题的关键．

21.【答案】13 
【解析】(1)证明：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠C=∠EBD，
∵AB=AD，
∴∠FDB=∠ABD，
∴△BFD∽△CAB；
(2)证明：∵DE垂直平分BC，
∴BDBC=12，
∵△BFD∽△CAB，
∴FDAB=BDBC=12，
∴FD=12AB，
∵AB=AD，
∴FD=12AD，
∴AF=FD；
(3)解：如图，过点C作CH//AD，交BE的延长线于点H，

∵DE垂直平分BC，
∴BDBC =12，
∵CH//AD，
∴∠BDF=∠BCH，∠BFD=∠BHC，
∴△BDF∽△BCH，
∴DFHC=BFBH=BDBC=12，
∵AF=FD，
∴AFHC=12，
∵AD//HC，
∴∠FAE=∠HCE，∠AFE=∠CHE，
∴△AFE∽△CHE，
∴FEEH=AFHC=12，
∴FEFH=13，
∵BFBH=12，
∴FH=FB，
∴EFFB=13，
故答案为：13．
(1)由垂直平分线的性质得出BE=CE，进而得出∠C=∠EBD，由等腰三角形的性质得出∠FDB=∠ABD，即可证明△BFD∽△CAB；
(2)由DE垂直平分BC，得出BDBC=12，由相似三角形的性质得出FDAB=BDBC=12，进而得出FD=12AB，由AB=AD，得出FD=12AD，即可得出AF=FD；
(3)过点C作CH//AD，交BE的延长线于点H，由DE垂直平分BC，得出BDBC =12，证明△BDF∽△BCH，得出DFHC=BFBH=BDBC=12，由AF=FD，即可得出AFHC=12，再证明△AFE∽△CHE，得出FEEH=AFHC=12，进而得出FEFH=13，由BFBH=12，得出FH=FB，即可得出EFFB=13．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

22.【答案】①解：如图，△ABC即为所求；


②证明：∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵sinα=BCAB，cosα=ACAB，
∴sin2α+cos2α=BC2AB2+AC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1． 
【解析】①作线段AC=m，过点C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射线AN，交CM于点B，△ABC即为所求；
②利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23.【答案】(1)解：如图所示点E即为所求．


(2)连接DF．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=12BC
由(1)可知BE=12BC，AE=AD，
∴BE=BD，
又∵AB=AB，
∴△ABE≌△ABD(SSS)，
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△ADF(SAS)，
∴EF=DF，
∵CF⊥AB，
在Rt△BCF中，sin∠EBA=sin∠CBF=CFCB=57，
设CF=5a，BC=7a，
∵CD=12BC，
∴DF=12BC=72a，
∴EF=72a
∴EFCF=710． 
【解析】(1)分别以A，B为圆心，AD，BD为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，BE即可；
(2)连接DF.证明△ABE≌△ABD(SSS)，推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，再证明△AEF≌△ADF(SAS)，推出EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=sin∠CBF=CFCB=57，设CF=5a，BC=7a，求出EF，可得结论．
本题考查作图−旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB=AH−EM+EN．

根据题意可知，∠AHF=∠EMF=∠EMG=90°，EN=40(米)，
∵HG//BC，
∴∠EGM=∠ECB=36°，
在Rt△AHF中，∠AFH=40°，AF=50，
∴AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32(米)，
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG=m米，则FM=(7−m)米，
∴EM=MG⋅tan∠EGM=MG⋅tan36°=0.73m，
EM=FM⋅tan∠EFM=FM⋅tan25°=0.47(7−m)，
∴0.73m=0.47(7−m)，解得m≈2.7(米)，
∴EM=0.47(7−m)≈2.021(米)，
∴AB=AH−EM+EN≈32−2.021+40≈70(米)．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离是70米． 
【解析】过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB=AH−EM+EN，分别在Rt△AHF中，Rt△FEM和Rt△EMG中，解直角三角形即可得出结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用，涉及三角函数值的定义，解一元一次方程，正确作出辅助线，并得出AB=AH−EM+EN是解题关键．

25.【答案】解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB//CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD=60°，
∴∠BCE=90°−60°=30°，
在Rt△BCE中，∠BCE=30°，BC=8，
∴BE=12BC=4，CE=32BC=43，
∵∠ADC=135°，
∴∠ADF=180°−135°=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=AF=CE=43，
由于FC=AE，即43+2=AB+4，
∴AB=43−2，
∴S梯形ABCD=12(2+43−2)×43=24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24． 
【解析】通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造矩形、直角三角形是解决问题的关键．