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青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案解析），共31页。
青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是( )
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 位似
2. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE//BC，与边AC交于点E，连结BE.记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2( )
A. 若2AD>AB，则3S1>2S2
B. 若2AD>AB，则3S1<2S2
C. 若2AD2S2
D. 若2AD
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④
5. 如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置.CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M.若AB=3，BC=3，CH=MH.则线段MH的长度是( )
A. 32 B. 6 C. 3 D. 2
6. 两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG.若EF：FG=1：2，AB：BC=2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为( )
A. 4885 B. 59 C. 12 D. 2551
7. 如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=14AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则S△ADGS△BGH的值为( )
A. 12 B. 23 C. 34 D. 1
8. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G.则下列结论：①△ADF∽△GCE；②△AFB∽△ABE；③CG=3BG；④AF=EF，其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，▵ABC中，AB=8，AC=6，∠A=90°，点D在▵ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若▵APQ与▵ABC相似，则线段PQ的长为( )
A. 5 B. 356 C. 5或356 D. 6
10. 如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B1的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A. −12(a−1)
B. −12a
C. −12(a+1)
D. −12(a+3)
11. 用放大镜将图形放大，应该属于( )
A. 平移变换 B. 位似变换 C. 旋转变换 D. 相似变换
12. 如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( )
①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;③△ABC与△DEF的周长比为1:2;④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD:AB= ．
14. 如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，∠CHD=60°.则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD⋅DH中，正确的是______．
15. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=23cm，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为______cm．
16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
18. 如图，是某学校的矩形草坪，长40米，宽20米，沿草坪四周外围有1米宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由．
19. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE//CA，DF//AB．
(1)若AD⊥BC于点D，且BD=CD，求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若AE=AF=1，求1AB+1AC的值；
(3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为S1、S2、S，求证：
S2=4S1S2．
20. 如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥AD，分别交BC、BD于点M、E，过C作CN⊥AD，分别交AD、BD于点N、F，连接AF、CE．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)当四边形AECF为菱形时，当点M为BC的中点时，求AB：AE的值．
21. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC+∠ADC=90°.点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．
(1)求证：DC⊥CE；
(2)若ABBC=58，BD=20，S△ACD=516S△BDE，求△BDE的面积．
22. 如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点P是对角线BD上一点上，连接AP，AE⊥AP，且APAE=12，连接BE．
(1)当DP=2时，求BE的长．
(2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．
(3)如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．
23. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．
(1)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°，得到△A1BC1，请在网格中画出△A1BC1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到△A′B′C′，请在网格中画出△A′B′C′．
24. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4,0)，(6,−4)，(8,−2)．
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转90°到△A1B1C1，画出图形并直接写出B1和C1的坐标分别为_________________．
(2)若△A2B2C2的两个顶点的坐标为(1,3)，(2,5)，第三个顶点在格点上，△A1B1C1与△A2B2C2位似，则画出图形并直接写出△A2B2C2的第三个顶点坐标为_________________．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
(1)若点F的坐标为(4.5,3)，直接写出点C和点A的坐标；
(2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选：D．
开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
2.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【解答】
解：∵如图，在△ABC中，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S1S1+S2+S△BDE=(ADAB)2，
∴若2AD>AB，即ADAB>12时，S1S1+S2+S△BDE>14，
此时3S1>S2+S△BDE,但是不能确定3S1与2S2的大小，
故选项A，B不符合题意．
若2AD
所以若2AD
故选答案为D．
4.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA)，
故①正确；
②∵∠EOF=∠ECF=90°，
∴点O、E、C、F四点共圆，
∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S△COE=S△DOF，
∴S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG=∠OCE=45°，
∵∠EOG=∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC=OG：OE，
∴OG⋅OC=OE2，
∵OC=12AC，OE=22EF，
∴OG⋅AC=EF2，
∵CE=DF，BC=CD，
∴BE=CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
∴BE2+DF2=EF2，
∴OG⋅AC=BE2+DF2，
故④错误，
故选：B．
本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例．
①由正方形证明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠COM=∠DOF，便可得结论；
②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；
③先证明S△COE=S△DOF，得到S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD便可；
④证明△OEG∽△OCE，得OG⋅OC=OE2，再证明OG⋅AC=EF2，再证明BE2+DF2=EF2，得OG⋅AC=BE2+DF2便可．
5.【答案】D
【解析】解：作HK⊥FG于K.则四边形EFKH是矩形．
∵∠MHK+∠AHD=90°，∠AHD+∠DAH=90°，
∴∠MHK=∠DAH，
∵∠HKM=∠ADH，KH=EF=AD，
∴△HKM≌△ADH，
∴MH=AH，
∵CH=MH，
∴AH=CH，设AH=CH=x，
在Rt△ADH中，x2=3+(3−x)2，
解得x=2，
∴MH=2，
故选：D．
作HK⊥FG于K.则四边形EFKH是矩形．利用全等三角形的寻找证明AH=MH=CH，设CH=AH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可以假设EF=GH=a，EH=FG=2a，DH=BF=x，AE=CG=y．
∴AH=y+2a，BE=x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∴ADAB=AHBE=DHAE，
∴32=y+2ax+a=xy，
解得x=35a，y=25a，
∵∠AHD=90°，
∴AD=AH2+DH2=(125a)2+(35a)2=3175a，CD=23AD=2175a，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比=2a2：3175a×2175a=2551，
故选：D．
由题意可以假设EF=GH=a，EH=FG=2a，DH=BF=x，AE=CG=y.利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y(用a表示)，再利用勾股定理求出AD，CD(用a表示)即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=14AC，AG//CD，CH//AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH//AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴S△ADCS△BGH=S△BACS△BGH=(BABG)2=(32)2=94，
∵S△ADGS△ADC=13，
∴S△ADGS△BGH=94×13=34，
故选：C．
首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH//AC，推出△BGH∽△BAC，可得S△ADCS△BGH=S△BACS△BGH=(BABG)2=(32)2=94，S△ADGS△ADC=13，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．由四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，得到∠ADF=∠BCE=45°，根据平行线的性质得到∠DAF=∠BGF，推出∠DAF=∠CGE，得到△ADF∽△GCE；故①正确；由∠ABE=∠ABC+∠CBE=135°，∠AFB<135°，得到∠ABE≠∠AFB，于是得到△AFB与△ABE不相似，故②错误；过E作EH⊥BC，则EH=12BC=12AB，EH//AB，根据相似三角形的性质得到HGBG=EHAB=12，设HG=k，BG=2k，得到CG=2BG，故③错误；设EG=a，AG=2a，求得AG=4FG，得到GE=2FG，推出AF=EF，故④正确．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ADF=∠BCE=45°，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠BGF，
∵∠BGF=∠CGE，
∴∠DAF=∠CGE，
∴△ADF∽△GCE；故①正确；
∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=135°，
∠BFE=∠ABD+∠BAF=45°+∠BAF>45°，
∴∠AFB<135°，
∴∠ABE≠∠AFB，
∴△AFB与△ABE不相似，故②错误；
过E作EH⊥BC，
则EH=12BC=12AB，EH//AB，
∴△EHG∽△ABG，
∴HGBG=EHAB=12，
∴设HG=k，BG=2k，
∴BH=CH=3k，
∴CG=4k，
∴CG=2BG，故③错误；
∵△EHG∽△ABG，
∴EGAG=EHAB=12，
∴设EG=a，AG=2a，
∵AD//BG，
∴△ADF∽△GBF，
∴FGAF=BGAD=13，
∴AG=4FG，
∴GE=2FG，
∴AF=EF，故④正确．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查角平分线的性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的性质，分类讨论的数学思想.关键是添加辅助线，构造直角三角形，通过解直角三角形即可解答．
过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，先利用勾股定理求得AB的长，根据角平分线的性质得DE=DF=DG，再利用面积法求得DE、DF、DG的长，再分两种情况，根据相似三角形的对应角相等，等角的三角函数值相等分别求得DP和DQ的长即可解答．
【解答】
解；过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，连接DA，
∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，
∴DE=DF=DG，
∵AB=8，AC=6，∠A=90°，
∴BC=AB2+AC2=64+36=10，
S△ABC=S△ABD+S△DBC+S△DAC =12×8+10+6×DE=12×8×6,
∴DE=2，
当△APQ∽△ABC时，∠APQ=∠ABC，∠AQP=∠ACB，
∴sin∠APQ=sin∠ABC，sin∠AQP=sin∠ACB，
∴DGDP=ACBC,DFDQ=ABBC，
即2PD=610,2DQ=810，
∴PD=103，DQ=52，
∴PQ=52+103=356；
当△APQ∽△ACB时，∠APQ=∠ACB，∠AQP=∠ABC，
∴sin∠APQ=sin∠ACB，sin∠AQP=sin∠ABC，
∴DGDP=ABBC,DFQD=ACBC，
即2DP=810，2DQ=610，
∴DP=52，DQ=103，
∴PQ=52+103=356．
综上所述：△APQ与△ABC相似，线段PQ的长为356．
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，进而得出点B的横坐标．
【解答】
解：如图，过B作BE⊥x轴，过B1作B1F⊥x轴，
∵点C的坐标是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，点B的对应点B1的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=12(a+1)，
∴点B的横坐标是：−12(a+1)−1=−12(a+3)．
故选D．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查相似图形的定义，形状相同的平面图形叫相似形.根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】
根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】
解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，故①②正确，
∵将△ABC的三边缩小的原来的12，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1，故④正确．
故选C．
13.【答案】1+32或2
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】
解：∵四边形ABFE是正方形，
∴DE=AD−AB，
∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，
∴ABAD=DE12AB，
即ABAD=AD−AB12AB，
整理得，2AD2−2AD⋅AB−AB2=0，
解得AD=1+32AB，AD=1−32AB(舍去)，
∴AD：AB=1+32，
或ABAD=12ABDE，ABAD=12ABAD−AB
整理得AD=2AB，
∴AD：AB=2，
综上所述，AD：AB=1+32或2．
故答案为：1+32或2．
14.【答案】①②③④
【解析】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
BF=AE∠B=∠EACBC=AC，
∴△ABF≌△CAE(SAS)；
故①正确；
②由①得∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
③在HD上截取HK=AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，
∠AKD=∠AHC∠ADH=∠ACHAD=AC，
∴△AKD≌△AHC(AAS)，
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正确；
④∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD2=OD⋅DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
①由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；
②由①则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；
③在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；
④根据已知条件易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD⋅DH．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15.【答案】323
【解析】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴∠PAQ=∠BAC，AP：AB=AQ：AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵AB=AC，
∴AP=AQ，
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴∠ACQ=∠ACB，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠ACQ=30°，
∴∠DCQ=60°，
∴∠CDH=30°，
∵AB=AC=23cm，∠BAC=120°，
∴AC=6，
∵AD⊥BC，
∴CD=3，
∴CH=32，DH=323．
∴DQ的最小值即为323．
故答案为：323．
先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可．
本题考查了最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
16.【答案】(−2,−23)
【解析】解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，
又∵B(3,1)
∴B′的坐标是[3×(−23),1×(−23)]，即B′的坐标是(−2,−23)；
故答案为：(−2,−23).
把B的横纵坐标分别乘以−23得到B′的坐标．
本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
17.【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE=GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【解析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键．
18.【答案】解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似.理由：
由题意得，小路外边缘矩形的长和宽分别为42m和22m，
则两个矩形的长比：4042=2021，宽的比：2022=1011，
∴2021≠1011，
故小路内外边缘形成的两个矩形不相似．
【解析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键.根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可．
19.【答案】(1)证明：∵DE//CA，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//CA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠BAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴四边形AEDF是菱形；
(2)解：∵DE//CA，
∴△BED∽△BAC，
∴DEAC=BDBC，
∵DF//AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴DFAB=CDBC，
∴DEAC+DFAB=BDBC+CDBC=BD+CDBC=1，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵AE=AF=1，
∴DE=DF=1，
∴1AB+1AC=1；
(3)证明：设△BDE的边DE上的高为h1，CF长为a，△CDF的边CF上的高为h2，
∴S2=12ah2，
∵DE//CA，DF//AB，
∴∠C=∠BDE，∠CFD=∠EDF=∠DEB，
∴△BDE∽△DCF，
∴h1h2=DECF，
解得：DE=ah1h2，
∴S1=12×ah1h2×h1=ah122h2，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴S=AF×h2=DE×h2=ah1h2×h2=ah1，
∵S1S2=ah122h2×12ah2=a2h124=S24，
∴S2=4S1S2．
【解析】(1)根据DE//CA，DF//AB，可得四边形AEDF是平行四边形，然后证明AD是BC的垂直平分线，可得AB=AC，证明EA=ED，进而可以解决问题；
(2)证明△BED∽△BAC，可得DEAC=BDBC，证明△CDF∽△CBA，可得DFAB=CDBC，所以DEAC+DFAB=BDBC+CDBC=BD+CDBC=1，然后根据AE=AF=1，即可解决问题；
(3)设△BDE的边DE上的高为h1，CF长为a，△CDF的边CF上的高为h2，由△BDE∽△DCF，可得h1h2=DECF，得DE=ah1h2，然后根据三角形的面积即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDE∽△DCF．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∴AM//CN，
∴AE//CF；
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF=90°AD=BC∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：如图，连接AC交BF于点O，
当四边形AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴▱ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°，
∴BC=3CF，
∴BC：CF=3，
∴AB：AE=BC：CF=3．
【解析】本题菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点．
(1)由ASA可证△ADE≌△CBF可得AE=CF，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
(2)先证△ABC为等边三角形，可得∠CBD=30°，由直角三角形的性质即可解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°−∠ABC−∠ADC=270°，
∵△ABD∽△CBE，
∴∠BCE=∠BAD，
∴∠BCE+∠BCD=270°，
∴∠DCE=360°−∠BCE−∠BCD=90°，
∴CD⊥CE；
(2)解：过点A作AF⊥CD于F，
∵S△ACD=516S△CDE，
∴S△ACDS△DCE=12CD⋅AF12CD⋅CE=AFCE=516，
∴设CE=16k (k>0)，则AF=5k，
∵△BAD∽△BCE，
∴ADCE=ABBC=58，
∴AD=10k，
在Rt△DAF中，AFAD=5k10k=12，
∴∠AFD=90°，
∴sin∠ADF=AFAD=12，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC十∠ADC=90°，
∴∠ABC=60°，
∵△BAD∽△BCE，
∴∠ABD=∠CBE，
ABBC=BDBE=58，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
∴BE=BD⋅85=20×85=32，
∴∠DBE=∠ABC=60°，
过点D作DN⊥BE于N，
在Rt△DBN中，∠DBN=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=12BD=10，
DN=BD2−BN2=103，
∴S△BDE=12BE⋅DN=12×32×103=1603．
【解析】(1)根据四边形内角和定理求出∠DAB+∠DCB=270°，再根据相似三角形的性质证得∠BCE=∠BAD，可得∠BCE+∠BCD=270°，再根据周角360°即可证明；
(2)过点A作AF⊥CD于F，过点D作DN⊥BE于N，设CE=16k (k>0)，则AF=5k，通过证明△BAD∽△BCE，求得AD=10k，解直角三角形得∠ABC=60°，再根据相似三角形的性质得出BE的长和∠DBE的度数，由勾股定理得DN，则答案可解．
本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三边形解决问题．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4，
∴∠DAB=90°，ADAB=12，
∴ADAB=12=APAE，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE=90°，
∴∠ DAP+∠ PAB=∠ PAB+∠ BAE，
∴∠DAP=∠BAE，
∴△ADP∽△ABE，
∴DPBE=ADAB=12，
∴BE=2DP=4．
(2)四边形AEBP可能为矩形。
由(1)得△ADP∽△ABE，
∴∠ABE=∠ADB，
∴∠PBE=∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°，
当∠ APB=90°时，
∵∠APB=∠PAB=∠PBE=90°
∴四边形AEBP为矩形，
这时，由勾股定理得BD=42+82=45，
∴AP=4×845=855， AE=2AP=1655，
∴SAEBP=AE⋅AP=1285；
(3)如图1，作AQ1⊥BD，垂足为Q1，作AQ2⊥PE，垂足为Q2，
易证△ADB∽△APE，
∴∠ADB=∠APE，
∵∠AQ1D=∠AQ2P=90°，
∴△ADQ1∽△APQ2，
∴ADAP=AQ1AQ2，
∵∠DAP=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2，
∴△ADP∽△AQ1Q2，
∴∠AQ1Q2=∠ADP，
∴∠ BQ 1 Q 2=90°−∠ AQ 1 Q 2=90°−∠ ADP=∠ ABD，
∴点Q在直线Q1Q2上运动，
当点P与点B重合时，如图2，
不难证明四边形AQ1BQ2是矩形，
∴Q1Q2=AB=8．
【解析】本题主要考查矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质等相关知识，熟练掌握矩形的性质与相似三角形的判定方法是解题的关键。
(1)根据“两角分别相等的两个三角形相似”可证得△ADP∽△ABE， 再根据相似三角形的对应边成比例，即可求出BE的长；
(2)根据“三个角是直角的四边形是矩形”可证当∠ APB=90°时，四边形AEBP为矩形，由勾股定理求出BD的长后，利用面积求出AP，进而求出AE的长，最后代入矩形的面积公式，计算即可；
(3)作AQ1⊥BD，垂足为Q1，作AQ2⊥PE，垂足为Q2，
由已知条件易证△ADB∽△APE，从而∠ADB=∠APE，分别利用“两角分别相等的两个三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证△ADQ1∽△APQ2与△ADP∽△AQ1Q2，得出∠AQ1Q2与∠ADP、∠ BQ 1 Q 2与∠ ABD的关系后，即可判断点Q运动的路径，最后根据点P与点B重合时，由矩形的对角线相等即可得出点Q运动的距离。
23.【答案】解：(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；
(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求．
【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．
24.【答案】【解答】解：(1)如图所示，B1(8,2)、C1(6,4)．
(2)设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为(4,0)，(6,−4)，(8,−2)．
∴.解得：．
∴直线AC 的解析式为：y=2x−8．
同理可得：直线AB的解析式为：y=x−2，直线BC的解析式为：y=−x+10，
∵△A2B2C2的两个顶点的坐标为(1,3)、(2,5)．
∴过这两点的直线为y=2x+1．
∴这两点的直线与AC平行．
①若A的对应点为A2，C的对应点为C2(2,5)
则B2C2//BC，A2B2//A1B1
∴B2C2的解析式为y=−x+a，A2B2的解析式为y=x+b．
∴−2+a=5，x+b=3．
∴a=7，b=．
∴B2C2的解析式为y=−x+7，A2B2的解析式为：y=x+．
∴B2C2与A2B2的交点为(3,4)．
②若C1的对应点为A2(1,3)，A的对应点为C2(2,−5)．
∴B2A2//B1C1，B2C2//B1A1．
∴直线B2C2的解析式为y=x+c，直线B2A2的解析式为y=−x+d．
∴×2+c=5，−1+d=3．
∴c=4，d=4．
∴直线B2C2的解析式为y=x+4，直线B2A2的解析式为y=−x+4．
∴直线B2C2与直线的交点为B2A2．
∴△A2B2C2的第三个顶点的坐标为(3,4)或(0,4)．
故答案为：(1)B1(8,2)、C1(6,4)．
(2)(3,4)或(0,4)．
【解析】见答案
25.【答案】解：(1)C点坐标为(32,1)，A点坐标为(12,0)；
(2)∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：(OB+6)=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为(3,2)．
【解析】(1)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以13即可得到C点坐标，然后利用正方形的性质写出A点坐标；
(2)先利用位似的性质得到正方形ABCD的边长为2，再利用相似比求出OB，从而可得到C点坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是( )
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 位似
2. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE//BC，与边AC交于点E，连结BE.记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2( )
A. 若2AD>AB，则3S1>2S2
B. 若2AD>AB，则3S1<2S2
C. 若2AD
D. 若2AD
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④
5. 如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置.CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M.若AB=3，BC=3，CH=MH.则线段MH的长度是( )
A. 32 B. 6 C. 3 D. 2
6. 两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG.若EF：FG=1：2，AB：BC=2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为( )
A. 4885 B. 59 C. 12 D. 2551
7. 如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=14AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则S△ADGS△BGH的值为( )
A. 12 B. 23 C. 34 D. 1
8. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G.则下列结论：①△ADF∽△GCE；②△AFB∽△ABE；③CG=3BG；④AF=EF，其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，▵ABC中，AB=8，AC=6，∠A=90°，点D在▵ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若▵APQ与▵ABC相似，则线段PQ的长为( )
A. 5 B. 356 C. 5或356 D. 6
10. 如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B1的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A. −12(a−1)
B. −12a
C. −12(a+1)
D. −12(a+3)
11. 用放大镜将图形放大，应该属于( )
A. 平移变换 B. 位似变换 C. 旋转变换 D. 相似变换
12. 如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( )
①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;③△ABC与△DEF的周长比为1:2;④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD:AB= ．
14. 如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，∠CHD=60°.则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD⋅DH中，正确的是______．
15. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=23cm，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为______cm．
16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
18. 如图，是某学校的矩形草坪，长40米，宽20米，沿草坪四周外围有1米宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由．
19. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE//CA，DF//AB．
(1)若AD⊥BC于点D，且BD=CD，求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若AE=AF=1，求1AB+1AC的值；
(3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为S1、S2、S，求证：
S2=4S1S2．
20. 如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥AD，分别交BC、BD于点M、E，过C作CN⊥AD，分别交AD、BD于点N、F，连接AF、CE．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)当四边形AECF为菱形时，当点M为BC的中点时，求AB：AE的值．
21. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC+∠ADC=90°.点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．
(1)求证：DC⊥CE；
(2)若ABBC=58，BD=20，S△ACD=516S△BDE，求△BDE的面积．
22. 如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点P是对角线BD上一点上，连接AP，AE⊥AP，且APAE=12，连接BE．
(1)当DP=2时，求BE的长．
(2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．
(3)如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．
23. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．
(1)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°，得到△A1BC1，请在网格中画出△A1BC1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到△A′B′C′，请在网格中画出△A′B′C′．
24. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4,0)，(6,−4)，(8,−2)．
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转90°到△A1B1C1，画出图形并直接写出B1和C1的坐标分别为_________________．
(2)若△A2B2C2的两个顶点的坐标为(1,3)，(2,5)，第三个顶点在格点上，△A1B1C1与△A2B2C2位似，则画出图形并直接写出△A2B2C2的第三个顶点坐标为_________________．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
(1)若点F的坐标为(4.5,3)，直接写出点C和点A的坐标；
(2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选：D．
开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
2.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【解答】
解：∵如图，在△ABC中，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S1S1+S2+S△BDE=(ADAB)2，
∴若2AD>AB，即ADAB>12时，S1S1+S2+S△BDE>14，
此时3S1>S2+S△BDE,但是不能确定3S1与2S2的大小，
故选项A，B不符合题意．
若2AD
所以若2AD
故选答案为D．
4.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA)，
故①正确；
②∵∠EOF=∠ECF=90°，
∴点O、E、C、F四点共圆，
∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S△COE=S△DOF，
∴S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG=∠OCE=45°，
∵∠EOG=∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC=OG：OE，
∴OG⋅OC=OE2，
∵OC=12AC，OE=22EF，
∴OG⋅AC=EF2，
∵CE=DF，BC=CD，
∴BE=CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
∴BE2+DF2=EF2，
∴OG⋅AC=BE2+DF2，
故④错误，
故选：B．
本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例．
①由正方形证明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠COM=∠DOF，便可得结论；
②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；
③先证明S△COE=S△DOF，得到S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD便可；
④证明△OEG∽△OCE，得OG⋅OC=OE2，再证明OG⋅AC=EF2，再证明BE2+DF2=EF2，得OG⋅AC=BE2+DF2便可．
5.【答案】D
【解析】解：作HK⊥FG于K.则四边形EFKH是矩形．
∵∠MHK+∠AHD=90°，∠AHD+∠DAH=90°，
∴∠MHK=∠DAH，
∵∠HKM=∠ADH，KH=EF=AD，
∴△HKM≌△ADH，
∴MH=AH，
∵CH=MH，
∴AH=CH，设AH=CH=x，
在Rt△ADH中，x2=3+(3−x)2，
解得x=2，
∴MH=2，
故选：D．
作HK⊥FG于K.则四边形EFKH是矩形．利用全等三角形的寻找证明AH=MH=CH，设CH=AH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可以假设EF=GH=a，EH=FG=2a，DH=BF=x，AE=CG=y．
∴AH=y+2a，BE=x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∴ADAB=AHBE=DHAE，
∴32=y+2ax+a=xy，
解得x=35a，y=25a，
∵∠AHD=90°，
∴AD=AH2+DH2=(125a)2+(35a)2=3175a，CD=23AD=2175a，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比=2a2：3175a×2175a=2551，
故选：D．
由题意可以假设EF=GH=a，EH=FG=2a，DH=BF=x，AE=CG=y.利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y(用a表示)，再利用勾股定理求出AD，CD(用a表示)即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=14AC，AG//CD，CH//AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH//AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴S△ADCS△BGH=S△BACS△BGH=(BABG)2=(32)2=94，
∵S△ADGS△ADC=13，
∴S△ADGS△BGH=94×13=34，
故选：C．
首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH//AC，推出△BGH∽△BAC，可得S△ADCS△BGH=S△BACS△BGH=(BABG)2=(32)2=94，S△ADGS△ADC=13，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．由四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，得到∠ADF=∠BCE=45°，根据平行线的性质得到∠DAF=∠BGF，推出∠DAF=∠CGE，得到△ADF∽△GCE；故①正确；由∠ABE=∠ABC+∠CBE=135°，∠AFB<135°，得到∠ABE≠∠AFB，于是得到△AFB与△ABE不相似，故②错误；过E作EH⊥BC，则EH=12BC=12AB，EH//AB，根据相似三角形的性质得到HGBG=EHAB=12，设HG=k，BG=2k，得到CG=2BG，故③错误；设EG=a，AG=2a，求得AG=4FG，得到GE=2FG，推出AF=EF，故④正确．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ADF=∠BCE=45°，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠BGF，
∵∠BGF=∠CGE，
∴∠DAF=∠CGE，
∴△ADF∽△GCE；故①正确；
∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=135°，
∠BFE=∠ABD+∠BAF=45°+∠BAF>45°，
∴∠AFB<135°，
∴∠ABE≠∠AFB，
∴△AFB与△ABE不相似，故②错误；
过E作EH⊥BC，
则EH=12BC=12AB，EH//AB，
∴△EHG∽△ABG，
∴HGBG=EHAB=12，
∴设HG=k，BG=2k，
∴BH=CH=3k，
∴CG=4k，
∴CG=2BG，故③错误；
∵△EHG∽△ABG，
∴EGAG=EHAB=12，
∴设EG=a，AG=2a，
∵AD//BG，
∴△ADF∽△GBF，
∴FGAF=BGAD=13，
∴AG=4FG，
∴GE=2FG，
∴AF=EF，故④正确．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查角平分线的性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的性质，分类讨论的数学思想.关键是添加辅助线，构造直角三角形，通过解直角三角形即可解答．
过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，先利用勾股定理求得AB的长，根据角平分线的性质得DE=DF=DG，再利用面积法求得DE、DF、DG的长，再分两种情况，根据相似三角形的对应角相等，等角的三角函数值相等分别求得DP和DQ的长即可解答．
【解答】
解；过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，连接DA，
∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，
∴DE=DF=DG，
∵AB=8，AC=6，∠A=90°，
∴BC=AB2+AC2=64+36=10，
S△ABC=S△ABD+S△DBC+S△DAC =12×8+10+6×DE=12×8×6,
∴DE=2，
当△APQ∽△ABC时，∠APQ=∠ABC，∠AQP=∠ACB，
∴sin∠APQ=sin∠ABC，sin∠AQP=sin∠ACB，
∴DGDP=ACBC,DFDQ=ABBC，
即2PD=610,2DQ=810，
∴PD=103，DQ=52，
∴PQ=52+103=356；
当△APQ∽△ACB时，∠APQ=∠ACB，∠AQP=∠ABC，
∴sin∠APQ=sin∠ACB，sin∠AQP=sin∠ABC，
∴DGDP=ABBC,DFQD=ACBC，
即2DP=810，2DQ=610，
∴DP=52，DQ=103，
∴PQ=52+103=356．
综上所述：△APQ与△ABC相似，线段PQ的长为356．
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，进而得出点B的横坐标．
【解答】
解：如图，过B作BE⊥x轴，过B1作B1F⊥x轴，
∵点C的坐标是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，点B的对应点B1的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=12(a+1)，
∴点B的横坐标是：−12(a+1)−1=−12(a+3)．
故选D．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查相似图形的定义，形状相同的平面图形叫相似形.根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】
根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】
解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，故①②正确，
∵将△ABC的三边缩小的原来的12，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1，故④正确．
故选C．
13.【答案】1+32或2
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】
解：∵四边形ABFE是正方形，
∴DE=AD−AB，
∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，
∴ABAD=DE12AB，
即ABAD=AD−AB12AB，
整理得，2AD2−2AD⋅AB−AB2=0，
解得AD=1+32AB，AD=1−32AB(舍去)，
∴AD：AB=1+32，
或ABAD=12ABDE，ABAD=12ABAD−AB
整理得AD=2AB，
∴AD：AB=2，
综上所述，AD：AB=1+32或2．
故答案为：1+32或2．
14.【答案】①②③④
【解析】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
BF=AE∠B=∠EACBC=AC，
∴△ABF≌△CAE(SAS)；
故①正确；
②由①得∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
③在HD上截取HK=AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，
∠AKD=∠AHC∠ADH=∠ACHAD=AC，
∴△AKD≌△AHC(AAS)，
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正确；
④∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD2=OD⋅DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
①由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；
②由①则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；
③在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；
④根据已知条件易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD⋅DH．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15.【答案】323
【解析】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴∠PAQ=∠BAC，AP：AB=AQ：AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵AB=AC，
∴AP=AQ，
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴∠ACQ=∠ACB，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠ACQ=30°，
∴∠DCQ=60°，
∴∠CDH=30°，
∵AB=AC=23cm，∠BAC=120°，
∴AC=6，
∵AD⊥BC，
∴CD=3，
∴CH=32，DH=323．
∴DQ的最小值即为323．
故答案为：323．
先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可．
本题考查了最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
16.【答案】(−2,−23)
【解析】解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，
又∵B(3,1)
∴B′的坐标是[3×(−23),1×(−23)]，即B′的坐标是(−2,−23)；
故答案为：(−2,−23).
把B的横纵坐标分别乘以−23得到B′的坐标．
本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
17.【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE=GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【解析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键．
18.【答案】解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似.理由：
由题意得，小路外边缘矩形的长和宽分别为42m和22m，
则两个矩形的长比：4042=2021，宽的比：2022=1011，
∴2021≠1011，
故小路内外边缘形成的两个矩形不相似．
【解析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键.根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可．
19.【答案】(1)证明：∵DE//CA，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//CA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠BAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴四边形AEDF是菱形；
(2)解：∵DE//CA，
∴△BED∽△BAC，
∴DEAC=BDBC，
∵DF//AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴DFAB=CDBC，
∴DEAC+DFAB=BDBC+CDBC=BD+CDBC=1，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵AE=AF=1，
∴DE=DF=1，
∴1AB+1AC=1；
(3)证明：设△BDE的边DE上的高为h1，CF长为a，△CDF的边CF上的高为h2，
∴S2=12ah2，
∵DE//CA，DF//AB，
∴∠C=∠BDE，∠CFD=∠EDF=∠DEB，
∴△BDE∽△DCF，
∴h1h2=DECF，
解得：DE=ah1h2，
∴S1=12×ah1h2×h1=ah122h2，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴S=AF×h2=DE×h2=ah1h2×h2=ah1，
∵S1S2=ah122h2×12ah2=a2h124=S24，
∴S2=4S1S2．
【解析】(1)根据DE//CA，DF//AB，可得四边形AEDF是平行四边形，然后证明AD是BC的垂直平分线，可得AB=AC，证明EA=ED，进而可以解决问题；
(2)证明△BED∽△BAC，可得DEAC=BDBC，证明△CDF∽△CBA，可得DFAB=CDBC，所以DEAC+DFAB=BDBC+CDBC=BD+CDBC=1，然后根据AE=AF=1，即可解决问题；
(3)设△BDE的边DE上的高为h1，CF长为a，△CDF的边CF上的高为h2，由△BDE∽△DCF，可得h1h2=DECF，得DE=ah1h2，然后根据三角形的面积即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDE∽△DCF．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∴AM//CN，
∴AE//CF；
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF=90°AD=BC∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：如图，连接AC交BF于点O，
当四边形AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴▱ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°，
∴BC=3CF，
∴BC：CF=3，
∴AB：AE=BC：CF=3．
【解析】本题菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点．
(1)由ASA可证△ADE≌△CBF可得AE=CF，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
(2)先证△ABC为等边三角形，可得∠CBD=30°，由直角三角形的性质即可解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°−∠ABC−∠ADC=270°，
∵△ABD∽△CBE，
∴∠BCE=∠BAD，
∴∠BCE+∠BCD=270°，
∴∠DCE=360°−∠BCE−∠BCD=90°，
∴CD⊥CE；
(2)解：过点A作AF⊥CD于F，
∵S△ACD=516S△CDE，
∴S△ACDS△DCE=12CD⋅AF12CD⋅CE=AFCE=516，
∴设CE=16k (k>0)，则AF=5k，
∵△BAD∽△BCE，
∴ADCE=ABBC=58，
∴AD=10k，
在Rt△DAF中，AFAD=5k10k=12，
∴∠AFD=90°，
∴sin∠ADF=AFAD=12，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC十∠ADC=90°，
∴∠ABC=60°，
∵△BAD∽△BCE，
∴∠ABD=∠CBE，
ABBC=BDBE=58，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
∴BE=BD⋅85=20×85=32，
∴∠DBE=∠ABC=60°，
过点D作DN⊥BE于N，
在Rt△DBN中，∠DBN=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=12BD=10，
DN=BD2−BN2=103，
∴S△BDE=12BE⋅DN=12×32×103=1603．
【解析】(1)根据四边形内角和定理求出∠DAB+∠DCB=270°，再根据相似三角形的性质证得∠BCE=∠BAD，可得∠BCE+∠BCD=270°，再根据周角360°即可证明；
(2)过点A作AF⊥CD于F，过点D作DN⊥BE于N，设CE=16k (k>0)，则AF=5k，通过证明△BAD∽△BCE，求得AD=10k，解直角三角形得∠ABC=60°，再根据相似三角形的性质得出BE的长和∠DBE的度数，由勾股定理得DN，则答案可解．
本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三边形解决问题．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4，
∴∠DAB=90°，ADAB=12，
∴ADAB=12=APAE，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE=90°，
∴∠ DAP+∠ PAB=∠ PAB+∠ BAE，
∴∠DAP=∠BAE，
∴△ADP∽△ABE，
∴DPBE=ADAB=12，
∴BE=2DP=4．
(2)四边形AEBP可能为矩形。
由(1)得△ADP∽△ABE，
∴∠ABE=∠ADB，
∴∠PBE=∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°，
当∠ APB=90°时，
∵∠APB=∠PAB=∠PBE=90°
∴四边形AEBP为矩形，
这时，由勾股定理得BD=42+82=45，
∴AP=4×845=855， AE=2AP=1655，
∴SAEBP=AE⋅AP=1285；
(3)如图1，作AQ1⊥BD，垂足为Q1，作AQ2⊥PE，垂足为Q2，
易证△ADB∽△APE，
∴∠ADB=∠APE，
∵∠AQ1D=∠AQ2P=90°，
∴△ADQ1∽△APQ2，
∴ADAP=AQ1AQ2，
∵∠DAP=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2，
∴△ADP∽△AQ1Q2，
∴∠AQ1Q2=∠ADP，
∴∠ BQ 1 Q 2=90°−∠ AQ 1 Q 2=90°−∠ ADP=∠ ABD，
∴点Q在直线Q1Q2上运动，
当点P与点B重合时，如图2，
不难证明四边形AQ1BQ2是矩形，
∴Q1Q2=AB=8．
【解析】本题主要考查矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质等相关知识，熟练掌握矩形的性质与相似三角形的判定方法是解题的关键。
(1)根据“两角分别相等的两个三角形相似”可证得△ADP∽△ABE， 再根据相似三角形的对应边成比例，即可求出BE的长；
(2)根据“三个角是直角的四边形是矩形”可证当∠ APB=90°时，四边形AEBP为矩形，由勾股定理求出BD的长后，利用面积求出AP，进而求出AE的长，最后代入矩形的面积公式，计算即可；
(3)作AQ1⊥BD，垂足为Q1，作AQ2⊥PE，垂足为Q2，
由已知条件易证△ADB∽△APE，从而∠ADB=∠APE，分别利用“两角分别相等的两个三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证△ADQ1∽△APQ2与△ADP∽△AQ1Q2，得出∠AQ1Q2与∠ADP、∠ BQ 1 Q 2与∠ ABD的关系后，即可判断点Q运动的路径，最后根据点P与点B重合时，由矩形的对角线相等即可得出点Q运动的距离。
23.【答案】解：(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；
(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求．
【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．
24.【答案】【解答】解：(1)如图所示，B1(8,2)、C1(6,4)．
(2)设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为(4,0)，(6,−4)，(8,−2)．
∴.解得：．
∴直线AC 的解析式为：y=2x−8．
同理可得：直线AB的解析式为：y=x−2，直线BC的解析式为：y=−x+10，
∵△A2B2C2的两个顶点的坐标为(1,3)、(2,5)．
∴过这两点的直线为y=2x+1．
∴这两点的直线与AC平行．
①若A的对应点为A2，C的对应点为C2(2,5)
则B2C2//BC，A2B2//A1B1
∴B2C2的解析式为y=−x+a，A2B2的解析式为y=x+b．
∴−2+a=5，x+b=3．
∴a=7，b=．
∴B2C2的解析式为y=−x+7，A2B2的解析式为：y=x+．
∴B2C2与A2B2的交点为(3,4)．
②若C1的对应点为A2(1,3)，A的对应点为C2(2,−5)．
∴B2A2//B1C1，B2C2//B1A1．
∴直线B2C2的解析式为y=x+c，直线B2A2的解析式为y=−x+d．
∴×2+c=5，−1+d=3．
∴c=4，d=4．
∴直线B2C2的解析式为y=x+4，直线B2A2的解析式为y=−x+4．
∴直线B2C2与直线的交点为B2A2．
∴△A2B2C2的第三个顶点的坐标为(3,4)或(0,4)．
故答案为：(1)B1(8,2)、C1(6,4)．
(2)(3,4)或(0,4)．
【解析】见答案
25.【答案】解：(1)C点坐标为(32,1)，A点坐标为(12,0)；
(2)∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：(OB+6)=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为(3,2)．
【解析】(1)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以13即可得到C点坐标，然后利用正方形的性质写出A点坐标；
(2)先利用位似的性质得到正方形ABCD的边长为2，再利用相似比求出OB，从而可得到C点坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
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