初中数学青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识综合与测试单元测试达标测试

青岛版初中数学九年级上册第三单元《对圆的进一步认识》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在扇形中，点为弧的中点，延长交的延长线于点，连接，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，，以为圆心的圆过的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知的半径，，则点与的位置关系是(    )

A. 点  在 内 B. 点  在 上 C. 点  在 外 D. 不能确定

5. 如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，如果，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为的直径，，是圆周上的两点，若，则角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，等边三角形的边长为，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，，是的切线，、为切点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列命题正确的是(    )

A. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C. 过任意三点可以画一个圆
D. 对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形

10. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，的半径为，直径垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心为半径画扇形，则以下说法正确的是(    )

A. 是
B. 线段的长为
C. 的长是
D. 阴影部分的面积是

12. 如图所示的正八边形的边长为，则对角线的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 的直径，是的弦，，垂足为，：：，则的长为______．
14. 的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是______．
15. 如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是______．

16. 如图，等边三角形内接于，，则图中阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．

18. 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？

19. 如图，，，点在边上，．
    求证：≌；
    若，求的度数；
    若，当的外心在直线上时，，求的长．

20. 如图，在中，以为直径的与线段交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
    求证：直线是的切线；
    若的半径为，，求的长．

21. 如图，是的直径，点是的内心，连接并延长交于点交于点，连接与相交于点．
    求证：；
    求证：．

22. 已知：如图，是的内切圆，若，，求的半径；若，，，求的半径．

23. 如图，在中，弦于点，弦于点，与相交于点，连结．
    求证：；
    若，的半径为，求的弧长的和．

24. 如图，已知，．
    在边上求作点，连接，使要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
    在第问图中，若，
    求．
    已知经过点的圆与相切于点，求扇形的面积．

25. 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹用虚线表示画图过程，实线表示画图结果．
    如图，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于；
    如图，正方形中，点是的中点，在上找一点，使得；
    如图，在正六边形中，点是上一点，在上找一点，使得；
    如图，在中，是劣弧的中点，点是优弧上一点，在上找一点，使得．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图：

连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：连接，

点为弧的中点，
，，
≌，
，
又，
∽，
，
，，
，
解得：，
，
，
，
．
故选：．
连接，先证明≌，得到，从而证得∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，计算面积比即可．
本题结合相似考查了圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是熟练运用性质解题，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
点为斜边的中点，
，
，
在中，．
故选：．
连接，如图，先根据斜边上的中线性质得到，则，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了点与圆的位置关系：圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径．也考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
点在圆内，
故选：．
通过点到圆心的距离与半径的大小关系判断．
本题考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判断方法是求解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理得出，求出，再由圆周角定理得出即可，
【解答】
解：连接，如图所示：

是半圆的直径，
，
，
，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得，又由，即可求得的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
设与的切点为，连接，，根据等边三角形的性质得到，，由切线的性质得到，求得，解直角三角形即可得到结论．

【解答】
解：设与的切点为，
   连接，，
等边三角形的边长为，
，，
圆分别与边，相切，
，
，

，
，
的半径为，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，是的切线，、为切点，
，
，
，
故选：．
利用切线的性质可得，然后利用四边形内角和是，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
选项，三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意；
选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；
选项，对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意；
故选：．
根据矩形的判定判断，选项；根据三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点判断选项；根据确定圆的条件判断选项．
本题考查了矩形的判定，确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据，计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于，

，，的半径为，
，，
，，
，，
，
，
直径垂直平分圆内的线段，
，，故B错误，不合题意；
，
，故A错误，不合题意；
的长是：，故C错误，不合题意；
阴影部分的面积是：，故D正确，符合题意；
故选：．
过点作于，根据直角三角形的性质求出，，，可得，，可得出，，即可得，再根据弧长公式和扇形面积公式即可解答．
本题考查了直角三角形的性质，弧长和扇形的面积计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：多边形是正八边形，
，
过作于，过作于，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
故选：．
过作于，过作于，得到四边形是矩形，求得，，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：连接，

：：，
设，，则，
，
，，
，
，
在中，，
，
当如图时，，
在中，；
当如图时，，
在中，．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
连接，由，设，，则，根据可得，，根据垂径定理得到，然后分类讨论：当如图时，；当如图时，，再利用勾股定理分别计算即可．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

14.【答案】点在圆外 

【解析】解：的半径，点到圆心的距离，
，
点与的位置关系是点在圆外，
故答案为：点在圆外．
判断点到圆心的距离与半径的大小关系可得答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
，
故答案为．
根据菱形的性质得出，根据圆内接四边形的性质得出，即可得出，根据圆周角定理得出，即可求得．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】如图，为的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：连接、，

，
是等腰三角形，
，
，，
，． 

【解析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．
本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．
 

18.【答案】提示：小明：，小丽：． 

【解析】见答案
 

19.【答案】证明：，且，
，且，，
≌
≌，
，，
，
，
，
；
，
的外心是斜边的中点，
的外心在直线上，
点是的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】由三角形的外角的性质可得，由“”可证≌；
由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解；
由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点是的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：连接，连接，如图：

，
，
，
，
，
是等边三角形，
的半径为，
，，
是的直径，
，
，
在中，
，
答：的长是． 

【解析】连接，根据，，得，从而，由，即可得，故是的切线；
连接，连接，由，，得，又，可得是等边三角形，即可得，，而是的直径，得，可得，在中，即得的长是．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定是等边三角形．
 

21.【答案】证明：点是的内心，
，
，
，
又，
；
证明：连接，

是的内心，
，，
，，，
．
． 

【解析】由三角形内心的性质得出，由圆周角定理得出，证出，由三角形中位线定理可得出结论；
连接，证出由等腰三角形的判定可得出结论．
本题考查三角形的内切圆与内心，垂径定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图；
在，，，；
根据勾股定理；
四边形中，，；
则四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
则；
即：．
当，，，
由以上可得：
；
即：．
则的半径为：． 

【解析】首先设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长．
此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形是正方形是解题关键．
 

23.【答案】证明：，，
，，
，
，
，
由圆周角定理得，，
，
，又，
；
解：连接，，，，，
则，
，
由圆周角定理得，，
的弧长的和． 

【解析】根据垂直的定义、四边形内角和为得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的三线合一证明；
连接，，，，，根据三角形的外角的性质得到，根据圆周角定理、弧长公式计算．
本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、等腰三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，点为所作；

过点作于，垂直于，如图，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
圆与相切于点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
扇形的面积 

【解析】作的垂直平分线交于，交于，则，所以；
过点作于，垂直于，如图，则，，利用含度角的直角三角形三边的关系得到，则，所以，再计算出，则，，然后在中利用正切的定义计算出，然后根据三角形面积公式计算出；
先根据切线的性质得到，再证明为等边三角形得到，，然后利用扇形的面积公式计算．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
 

25.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】作矩形的对角线，对角线的交点为，直线交于；
作正方形的对角线，对角线的交点为，延长交于，连接、，它们相交于，连接并延长交于，连接，则；
连接、，它们相交于，延长交于，则；
延长、，它们相交于，再连接交于，则．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了正方形的性质、矩形的性质、圆周角定理和正六边形的性质．