2021-2022学年江西省上饶市重点中学协作体高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年江西省上饶市重点中学协作体高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则且是且成立的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年重修．砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上．塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔．上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层一层进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设、是互不重合的平面，、、是互不重合的直线，下列命题正确的是(    )

A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则

6. 某中学共有名职工，其中不到岁的有人，岁的有，岁及以上的有，现用分层抽样的方法，从中抽出名职工了解他们的健康情况．如果已知岁的职工抽取了人，则岁及以上的职工抽取的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 马家柚与天桂梨是广丰本地的农优产品，以汁多味甜而好评不断，为了加大宣传，提升品牌力度，在某次农产品展销会中，主办方特制作了“马家柚”和“天桂梨”的卡通雕塑，现拟安排甲、乙等名志愿者将这两种卡通雕塑安装在展销会的入口处，从志愿者中任选三人负责安装“马家柚”，另二人负责安装“天桂梨”，则甲、乙两人同时安装“马家柚”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，则下列结论正确的是(    )

A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增 D. 是奇函数

11. 已知中，是的中点，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 双曲线的右焦点到直线的距离为______．
14. 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则______．
15. 函数在点处的切线方程为______．
16. 已知直三棱柱中，，若三棱柱外接球的表面积是，则它的体积的最大值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数．
    求不等式的解集；
    若，，且，其中是的最小值，求的最小值．
18. 铜钹山位于江西省上饶市广丰区南部，属武夷山脉东段北麓．主峰位于广丰区与福建省浦城县、武夷山市交界处，海拔米，为广丰区的最高点．清代诗人徐兆伦曾登临铜钹山并赋诗曰：“兀傲东南第一峰，半开灵境白云中”，从此铜钹山获得了“东南第一峰”的美誉年月铜钹山被评为国家森林公园．又于年月被评为国家级风景名胜区．某机构随机抽取调查人，对是否有意向到铜拔山旅游进行调查，结果如表：

若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人有意向旅游的概率；
若以年龄岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为到铜钹山旅游与人的年龄有关？

参考数据：，其中．

19. 已知数列是递增的等差数列，，若，，成等比．
    求数列的通项公式；
    若，数列的前项和，求．
20. 已知函数．
    讨论的单调性；
    若仅有一个零点，求实数的取值范围．
21. 九章算术中记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形其中最多只有一个平行四边形、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，棱平行于平面，．
    求证：；
    求三棱锥的体积．

22. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
    求椭圆的方程；
    过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于其中为原点，证明直线过定点．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，可得，虚部为．
故选：．
先根据复数除法求出复数，然后根据虚部的概念选出答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，则成立，反之不成立，如，，则且，但不满足，
且是且成立的充分不必要条件，
故选：．
根据充要条件的概念直接判断．
本题考查了不等式的性质及充要条件的概念，是基础题，
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知该双曲线的焦点在轴上，实轴长为，点在该双曲线上．
设该双曲线的方程为，
则解得，，
故该双曲线的标准方程是．
故选：．
由已知得双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查运算能力和方程思想在解题中的运用，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
由已知可得，，，，，，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
故，，
数列为公差为的等差数列，故，，
设数列，的前项和分别为，，
所以，，
这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需步，
故选：．
设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，由条件确定两个数列的特征，再分别求两个数列的前项和即可．
本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，若，，，，则，错误，满足条件与相交时正确，若与平行，不一定垂直于；
对于，若，，则或与相交或与异面，故B错误；
对于，若，，，则或与相交或与异面，相交与异面时也不一定垂直，故C错误；
对于，若，则内存在直线与平行，又，，而，，故D正确．
故选：．
由直线与平面垂直的判定判断；由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断，由线面平行即面面垂直的定义判断，由线面平行的性质及面面垂直的判定判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：计算抽样比例为，
所以不到岁的应抽取人，
所以岁及以上的应抽取人．
故选：．
计算抽样比例，求出不到岁的应抽取人数，再求岁及以上的应抽取人数．
本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】连接，记，则是的中点．取的中点，连接，，则，从而是异面直线与所成的角或其补角，由余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：如图，连接，记，则是的中点．
取的中点，连接，，则，

则是异面直线与所成的角或其补角．
设，则．
由余弦定理可得．
异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：因为从志愿者中任选三人负责安装“马家柚”，
另二人负责安装“天桂梨”共有种，
其中甲、乙两人同时安装“马家柚”有种，
所以从志愿者中任选三人负责安装“马家柚”，
另二人负责安装“天桂梨”，则甲、乙两人同时安装“马家柚”的概率为，
故选：．
由排列组合与古典概型的公式计算即可求出甲、乙两人同时安装“马家柚”的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由得：，，
因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，，
故可解得：．
故选：．
根据奇偶性即可求解．
本题主要考查根据函数奇偶性的性质求出函数值，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为函数，
则函数的最小正周期为，故A错误，
，故B错误，
当时，，根据正弦函数的单调性可得函数此时不单调，故C错误，
，且，定义域为，则函数为奇函数，故D正确，
故选：．
先化简函数的解析式，然后根据正弦函数的周期性，对称性，单调性以及奇偶性对应各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了三角函数的周期性，单调性以及奇偶性等问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故．
故选：．
结合平面向量加法的平行四边形法则，将用表示出来，代入原式求解．
本题考查平面向量的四则运算和数量积的概念和性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
不等式化为：令，，，求导利用，，即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：令，，，
，，
，
函数在上单调递增，
不等式化为：，
即，
，解得，
不等式的解集为，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：双曲线的右焦点为，
到直线的距离．
故答案为：．
求出双曲线的右焦点，可求点到直线的距离．
本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，由余弦定理可得，结合可知，，
又，则，
故，解得．
故答案为：．
列出余弦定理，三角形面积公式，结合题目方程，列方程组求解．
本题主要考查余弦定理，以及三角形面积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
又，即切点为，
切线方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求得，可得切点的坐标，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：分别取，的中点和，连接，取的中点为，

因为，
所以为外接圆的圆心，同理为外接圆的圆心，
因为直三棱柱，
则为直三棱柱外接球的球心，连接，，
设，则，外接球半径为，
在中，，，，
所以，
又三棱柱外接球的表面积是，
所以，解得，，
设，，则，
所以该几何体的体积，
当且仅当时等号成立，
所以该几何体体积最大值为．
故答案为：．
分别取，的中点和，连接，取的中点为，由题意可得为外接球的球心，根据三棱锥的几何性质及外接球表面积，可求得的长，设，，则，求得体积的表达式，结合基本不等式，即可得答案．
本题考查直三棱柱及其外接球的结构特征、球的表面积公式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：函数．
因为，
所以等价于，或，或，
解得，或，或，
即不等式的解集为；
由可知在上单调递减，在上单调递增，
故，即，则，，
因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，
则，故的最小值为． 

【解析】分情况讨论将绝对值不等式转化为分段函数，解不等式即可；
由知，再根据“”的代换，根据基本不等式计算得解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式在求最值中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：年龄在的被调查人群有人，其中有意向去旅游的有人，分别记为，，，，，
从中抽取人，基本事件为，，，，，，，，，共种，
恰有人有意向去旅游的基本事件为，，，，，共种，
故所求的概率为．
根据题意填写列联表：

，
有的把握认为有意向去旅游与人的年龄有关． 

【解析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，以及列举法，古典概型的概率公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：由是递增的等差数列，，
又，，，，
又，，成等比数列，
，
又，；
，；
由，
，
． 

【解析】根据等差数列基本量的计算以及等比中项即可求解．
根据裂项求和即可求解．
本题考查了等差数列与等比数列的综合计算以及裂项相消求和问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，，单调递增；
当时，，上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
仅有一个零点等价于有且仅有一个根，即有且仅有一个根，
令，则仅有一个零点等价于与有且仅有一个交点，
，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
取得最大值为，
又，当时，，大致图象如下图所示，

由图形可知，当或时，与有且仅有一个交点．
若仅有一个零点，实数的取值范围为 

【解析】求出原函数的导函数，分别在和的情况下，根据的正负得到单调区间；
问题转化为与有且仅有一个交点，利用导数可求得单调性和最值，从而得到的图象，利用数形结合得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，属难题．
 

21.【答案】证明：延长到点，使，连接，，

平面，面，平面平面，
，，四边形是平行四边形，，
在中，，
，，
即，；
解：取，中点为，，过作，连接，，如下所示：

因为，故E，，，四点共面，
又因为为正方形，故AD，又为等边三角形，故AD，
又，面，，则面，
又面，故，又，，故，
又，面，，故面，
又面，故点到面的距离为，
又，
故． 

【解析】，属于异面直线，为了证明垂直，想办法要通过构建平行，使其相交从而便于证明，因此需要对几何体进行补形；
三棱锥的底面积选取，主要任务是求棱锥的高，转化为求点到底面的距离，即可求解．
本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：依题意，，
，
又，，
，，
椭圆的标准方程为．
证明：由知右焦点坐标为，
设直线方程为，，
联立得，，
，
，
直线的斜率，
直线的斜率，
令得点坐标为，
直线的方程为，即，
直线恒过定点． 

【解析】依题意，，又，，解得，，即可得出答案．
由知右焦点坐标为，设直线方程为，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，写出直线的斜率，进而可得直线的斜率，点的坐标，进而可得直线的方程，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．