2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷（Word解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知三棱柱有个顶点，条棱，则(    )A.  B.  C.  D. 在中，，为的中点，以所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为(    )A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球下列说法正确的是(    )A. 三点确定一个平面 B. 三角形可以确定一个平面
C. 没有公共点的两条直线是异面直线 D. 两条异面直线的夹角可能为钝角水平放置的平面四边形的斜二测直观图为一个上底为，下底为，高为的梯形，则四边形的实际面积为(    )A.  B.  C.  D. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为(    )
A.  B.  C.  D. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．若，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为(    )A.  B.  C.  D. 如图，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图中的正六边形，其中为正六边形的中心，，，则(    )
A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）已知向量，，则(    )A.  B.
C.  D. 已知复数满足，则(    )A. 的实部为 B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 在长方体中，，，点为线段上的一动点，则(    )A. 所在的直线与所在的直线为异面直线
B. 平行于平面内的任意一条直线
C. 的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值在棱长为的正方体中，为内一点，若的面积为，则四面体的体积可能为(    )A.  B.  C.  D.  三、填空题（本大题共4小题，共20分）如图，在长方体中，，分别是和的中点，则在三条直线，，中，与直线是异面直线的共有______条．
 若，其中是虚数单位，，，则______；若为实数，则实数______．柏拉图立体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，例如正四面体．现有一个正八面体，每个面都是边长为的正三角形，则该正八面体的体积为______．记的内角，，的对边分别为，，，若为的重心，，，则______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知平面内的三点，，，，且向量．
求的值；
求向量与的夹角．一个四棱锥木块如图所示，点在内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．
如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．
证明：平面平面；
求三棱锥的体积．
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若的角平分线交于，且，求面积的最小值．如图，在四棱锥中，，，，，，．
证明：平面；
若为的中点，求到平面的距离．
如图，在正三棱柱中，为与的交点，为的中点，．
证明：平面；
若为线段上一动点，在平面上是否存在一点，使得平面恒成立？若存在，请找出点位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：三棱柱有个顶点，条棱，
由三棱柱的结构特征得：，，
．
故选：．
利用三棱柱的结构特征直接求解．
本题考查三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：中，，为的中点，所以，
以所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，是圆锥．
故选：．
根据圆锥的定义知该旋转体是圆锥．
本题考查了圆锥的定义与应用问题，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：根据不共线的三点确定一个平面，所以三角形可以确定一个平面，故选项A错误，选项B正确．
没有公共点的两条直线可能是平行的共面直线，故选项C错误，
两条异面直线的夹角不可能为钝角，故选项D错误．
故选：．
根据平面的基本性质及异面直线及其所成角的定义即可逐一判断．
本题考查了异面直线及其所成角，以及平面的基本性质，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题可知，水平放置的平面四边形的斜二测直观图为一个上底为，下底为，高为的梯形，该梯形的面积为．
由斜二测画法得，四边形的实际面积为．
故选：．
根据已知算出直观图的面积，结合，可得答案．
本题考查的知识点是斜二测画法，熟练掌握水平放置的图象，是解答的关键．
 5.【答案】 【解析】解：该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，棱台的高为，
由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，，
故该香料收纳罐的容积为．
故选：．
利用台体的体积公式直接计算．
本题考查了台体的体积公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由，，得，
由，，
又，或与相交或与异面．
正确的选项是．
故选：．
由已知可得，进一步得到，再由，可得与的关系，则答案可求．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：画出该几何体的轴截面，如图所示：
由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为，
所以该圆柱的侧面积为．
故选：．
由题意得出该圆柱底面圆的半径和高，由此计算圆柱的侧面积．
本题考查了圆柱与球的结构特征应用问题，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，连接，，由正六边形的性质可知，
，，，
所以
，
故选：．
连接，，由正六边形的性质可知，，，，然后根据平面向量基本定理化简即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：由向量，，得，故A正确；
根据，可得B错误；
根据，可得C正确；
根据，可得，故D正确，
故选：．
由题意，利用两个向量加减法法则，两个向量数量积公式，两个向量坐标形式的运算，计算求得结果．
本题主要考查两个向量加减法，两个向量数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由，，
，
，
在复平面内对应的点位于第四象限，
．
故选：．
利用复数的周期性、四则运算法则、几何意义即可得出结论．
本题考查了复数的周期性、四则运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，所在的直线与所在的直线为异面直线，A正确．
对于，平面，但不一定平行于平面内的任意一条直线，如与不平行，所以B错误．

对于，将矩形和沿展开为矩形，则，C正确．
因为平面，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，D正确．
故选：．
对于，由异面直线的定义判断，对于，举例判断，对于，将矩形和沿展开为矩形，再判断，对于，由于平面，从而可得结论．
本题主要考查异面直线的判定，线面平行的性质，锥体体积的计算，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
 12.【答案】 【解析】解：设与平面相交于点，如图，

由题可知平面，
又，则，即点的轨迹是以为原点，为半径的圆，
由得，解得，
而到的距离为，
由为以为原点，为半径的圆上的动点知：的最大值为，最小值为，
所以四面体体积的最大值为，最小值为，
所以四面体的体积的范围为．
故选：．
由的面积可求出得出动点的轨迹，根据点的轨迹求出的最大最小值，利用三棱锥的体积公式可求四面体体积的范围即可求解．
本题考查了四面体的体积计算，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：如图，在长方体中，
，分别是和的中点，
则在三条直线，，中，
，均与异面，与共面．
在三条直线，，中，
与直线是异面直线的共有条．
故答案为：．
利用异面直线的定义直接求解．
本题考查异面直线的判断，考查异面直线的定义等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
 14.【答案】   【解析】解：因为，
，解得，
故，
为实数，
，解得．
故答案为：；．
根据已知条件，结合复数相等的条件，复数模公式，实数的定义，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，复数模公式，实数的定义，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意可知，正八面体是由两个完全相同的正四棱锥组成的，
易知正四棱锥的底面是边长为的正方形，则正四棱锥的高，
故该正八面体的体积为．
故答案为：．
根据题意，正八面体是由两个完全相同的正四棱锥组成的，然后求解正四棱锥的体积即可得到答案．
本题考查了正八面体的体积计算，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：连接，延长交于，

由题意得，为的中点，
因为，所以，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
因为，
所以，化简得，
由余弦定理知，．
故答案为：．
连接，延长交于，结合直角三角形的性质与重心的性质，可得，在和中，均利用余弦定理，根据，推出，再利用余弦定理，得解．
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握余弦定理，重心的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：根据题意，平面内的三点，，，
则，，
又由向量则有，解得．
因为，
所以．
又由，，则；
故向量与的夹角为． 【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于的方程，解可得答案；
根据题意，由数量积的计算公式可得，的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量平行的判断方法，属于基础题．
 18.【答案】解：一个四棱锥木块如图所示，点在内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，
如图，过点作，分别交，于点，，

过点作，交于点，过点作，交于点，连接，
截面为四边形，
理由如下：，，，
，，，四点共面，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面． 【解析】过点作，分别交，于点，，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，然后由线面平行的判定可证得平面，平面．
本题考查了线面平行的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
四边形为矩形，是棱的中点，，，
，
，
，
． 【解析】根据题设条件可证得平面，结合面面垂直的判定即可得证；
利用等体积法直接求解即可．
本题考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 20.【答案】解：的内角，，的对边分别为，，，且．
由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即．
的角平分线交于，且，
因为，
所以．
因为，即当且仅当时，等号成立，
所以故面积的最小值为． 【解析】由正弦定理，结合两角和与差的三角函数推出，求解即可．
利用三角形的面积通过结合基本不等式推出，然后求解面积的最小值．
本题考查三角形中的几何计算，正弦定理以及基本不等式的应用，是中档题．
 21.【答案】证明：由题可知为等边三角形，
所以，，在中，由余弦定理得，
所以，所以．
因为，且，所以平面．
因为平面，所以．
因为，且，相交，
所以平面．

解：因为，，，
所以的面积为．
因为为的中点，，，
所以三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积为．
在中，，，
所以的面积为．
记到平面的距离为，
则，所以．
因为到平面的距离与到平面的距离相等，
所以到平面的距离为． 【解析】推导出，，从而平面，，再由，能证明平面．
求出的面积和三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，求出的面积和到平面的距离，到平面的距离与到平面的距离相等，由此能求出到平面的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 22.【答案】解：由题意得，为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
存在点．
理由如下：
如图，延长，使得
因为，所以，所以．
又平面，平面，
所以平面；
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面．
又，平面且，
所以平面平面，
因为平面，所以平面． 【解析】由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可得证明；
延长，使得由面面平行的判定定理推得平面平面，再由面面平行的性质定理可得结论．
本题考查线面平行、面面平行的判定和性质，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．