高考数学二轮复习专题08 证明不等式问题（2份打包，解析版+原卷版）

专题08 证明不等式问题

【方法技巧与总结】

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

【题型归纳目录】

题型一：直接法

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

题型三：分析法

题型四：凹凸反转、拆分函数

题型五：对数单身狗，指数找朋友

题型六：放缩法

题型七：虚设零点

题型八：同构法

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

题型十：分段分析法、主元法、估算法

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值

题型十二：函数与数列不等式问题

题型十三：三角函数

【典例例题】

题型一：直接法

例1．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：，．

例2．设函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当且时，证明：．

例3．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当，，时，证明：．

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

例4．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：当时，．

例5．已知．

（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；

（2）求证：当时，．

例6．已知函数．

（1）当时，求在点，处的切线方程；

（2）当时，若的极大值点为，求证：．

例7．已知函数．

（1）判断的单调性，并说明理由；

（2）若数列满足，，求证：对任意，．

题型三：分析法

例8．已知，函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．（参考数值：

例10．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．

题型四：凹凸反转、拆分函数

例11．已知函数且（1）．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：．

例12．已知函数，．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

例13．已知函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；

（Ⅱ）证明：当时，不等式恒成立．

题型五：对数单身狗，指数找朋友

例14．已知函数．

（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；

（Ⅱ）当时，求证．

例15．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．

（1）求、的值；

（2）当且时．求证：．

例16．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数图象过点，求证：．

例17．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．

题型六：放缩法

例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，．

例19．已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，．

例20．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）解关于的不等式

题型七：虚设零点

例21．设函数．

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）证明：当时，．

例22．设函数．

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时，．

例23．已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）若，证明：当时，．参考数据：，．

题型八：同构法

例24．已知函数．

（1）讨论在区间上的单调性；

（2）当时，证明：．

例25．已知函数，．

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，证明．

例26．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

例27．已知函数，．

（1）若恰为的极小值点．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求在区间上的零点个数；

（2）若，，

又由泰勒级数知：，．

证明：．

例28．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时．若正实数，满足，，，，

证明：．

例29．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，

此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：

当时，，，，．

（1）证明：当时，；

（2）设，若区间，满足当定义域为，时，值域也为，，则称为的“和谐区间”，

（ⅰ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；

（ⅱ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．

题型十：分段分析法、主元法、估算法

例30．设且，函数．

（1）若在区间有唯一极值点，证明：，；

（2）若在区间没有零点，求的取值范围．

例31．已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的，，．

例32．已知函数=.

（1）讨论的单调性；

（2）设，当时，,求的最大值；

（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）

例33．已知函数．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若取，试估计的范围．（精确到0.01）

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值

例34．已知函数为自然对数的底数）．

（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；

（2）设方程有两个实数根，，求证：．

例35．已知函数为自然对数的底数）．

（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；

（2）若方程有两个实数根，，求证：．

例36．已知函数为自然对数的底数）．

（1）求曲线在点，处的切线方程：

（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．

题型十二：函数与数列不等式问题

例37．已知函数，其中为实常数．

（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；

（2）证明：当时，；

（3）求证：．

例38．证明：．

例39．已知，为自然对数的底数）．

（1）求证：恒成立；

（2）设是正整数，对任意正整数，，求的最小值．

题型十三：三角函数

例40．已知函数.

(1)设且，求函数的最小值；

(2)当，证明：.

例41．已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）若，求实数的值；

（2）证明：．

例42．已知.

（1）当有两个零点时，求a的取值范围；

（2）当，时，设，求证：.

【过关测试】

1．已知函数，且．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有三个极值点，且，求证：．

2．已知函数在上有两个极值点，，且．

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：当时，．

3．已知.

(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；

(2)在（1）的条件下，证明.

4．已知函数（其中是自然对数的底数）.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求证：.

5．已知函数， .

(1)试讨论f（x）的单调性；

(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；

(3)求证: .

6．已知函数.

(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；

(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；

(3)求证：．

7．已知函数.

(1)若是的极值点，求的值域；

(2)当时，证明：

8．已知函数在处的切线方程为.

(1)求实数的值；

(2)（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且；

（ii）证明：.

参考数据：，，，.

9．关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.

(1)证明：有唯一零点，且；

(2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：

在处作曲线的切线，交轴于点；

在处作曲线的切线，交轴于点；

……

在处作曲线的切线，交轴于点；

可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.

（i）设，求的解析式(用表示)；

（ii）证明：当，总有.

10．已知函数．（其中e是自然底数，）

(1)求证：；

(2)求证：当；

(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．