人教版九年级上册21.1 一元二次方程第2课时教学设计

21.2解一元二次方程

第2课时

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重难点关键

1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们解下列方程

（1）3x2-1=5   （2）4（x-1）2-9=0   （3）4x2+16x+16=9

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±或mx+n=±（p≥0）．

如：4x2+16x+16=（2x+4）2

二、探索新知

列出下面二个问题的方程并回答：

（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？

问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：

                 x=（x）2+12

整理得：x2-64x+768=0

问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500

整理，得：x2-36x+70=0

（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．

（2）不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2-64x+768=0  移项→ x=2-64x=-768

两边加（）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024

左边写成平方形式→（x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 

解一次方程→x1=48，x2=16

可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．

学生活动：

例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．

老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x-18=-，x1≈34，x2≈2．

可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．

例2．解下列关于x的方程

（1）x2+2x-35=0    （2）2x2-4x-1=0

分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

解：（1）x2-2x=35  x2-2x+12=35+1  （x-1）2=36  x-1=±6

        x-1=6，x-1=-6

 x1=7，x2=-5

可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．

（2）x2-2x-=0  x2-2x=

x2-2x+12=+1   （x-1）2=

        x-1=±即x-1=，x-1=-

 x1=1+，x2=1-

可以验证：x1=1+，x2=1-都是方程的根．

三、巩固练习

教材讨论改为课堂练习，并说明理由．

教材练习1  2．（1）、（2）．

四、应用拓展

例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6

整理，得：x2-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2

    x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．

所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

五、归纳小结

本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．

六、布置作业

    1．教材复习巩固2．

    2．选用作业设计．

一、选择题

    1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．

      A．（x-2）2+3     B．（x-2）2-3    C．（x+2）2+3     D．（x+2）2-3

    2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．

      A．x2-8x+（-4）2=31     B．x2-8x+（-4）2=1

      C．x2+8x+42=1           D．x2-4x+4=-11

    3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．

      A．1       B．-1       C．1或9      D．-1或9

二、填空题
    1．方程x2+4x-5=0的解是________．

    2．代数式的值为0，则x的值为________．

    3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

三、综合提高题

    1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

答案:

一、1．B  2．B  3．C

二、1．x1=1，x2=-5  2．2  3．z2+2z-8=0，2，-4

三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，

∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）

2．（x-2）2+（y+3）2+=0，

∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=

3．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+×4）=5000，

x2-5500x+7506250=0，解得x=2750