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湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年八年级下学期期末文化素质检测数学试卷(word版含答案)
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这是一份湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年八年级下学期期末文化素质检测数学试卷(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。
湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年八年级下学期期末
文化素质检测数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．2×＝ C．3﹣＝3 D．÷＝2
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
5．（3分）某校为了了解学生在校一周体育锻炼时间，随机抽查了11名学生，调查结果如表，这11名学生在校一周体育锻炼时间的众数和中位数分别为（ ）
锻炼时间（h）
5
6
7
8
人数
2
4
3
2
A．6h，6h B．6h，7h C．6h，6.5h D．6.5h，6h
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
8．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B．3﹣ C．0.8 D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）＝ ．
10．（3分）平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝ °．
11．（3分）一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
195
190
195
190
方差
4.5
4.5
7.4
6.1
根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选 参赛．
14．（3分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为 ．
15．（3分）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有 条．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，点D是OB边上一动点（不与点O，B重合），点E在BC边上，且OD＝BE，下列结论：
①△AOD≌△ABE；②∠ADE的大小随点D的运动而变化；
③直线BC的解析式为y＝x﹣2；④DE的最小值为．
其中正确的有 ．（填写序号）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（7分）已知直线l：y＝kx+b经过点A（0，﹣1），B（1，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m+1，3m+4）在直线l上，求m的值．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，已知AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，∠B＝90°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE⊥CD于E，求AE之长．
20．（8分）近年来，网约车给人们的出行带来了极大的便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取10名司机的月收入（单位：千元）进行统计分析，结果如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如表：
众数
中位数
平均月收入/千元
方差
甲公司
a
6
c
1.2
乙公司
4
b
6
7.6
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）求c的值；
（3）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．
21．（8分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： ．
22．（9分）如图I，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．
（1）求证：△OBE≌△OCF；
（2）求证：2OE2＝BE2+DF2；
（3）如图2，若正方形ABCD边长为2，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为 ．
23．（10分）随着信息技术的飞速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/min）
A
7
25
0.01
B
m
n
0.01
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ ，n＝ ；
（2）分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？
24．（12分）如图，A，B是直线y＝﹣x+6与两坐标轴的交点，直线y＝2x+m过点A，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线B﹣A﹣C上一动点．
①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED+EB最小；用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；
②是否存在点D，使△BCD为直角三角形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年八年级下学期期末
文化素质检测数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．2×＝ C．3﹣＝3 D．÷＝2
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝（）2，
∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+22≠32，
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误；
B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误；
D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、及他们之间的联系和区别．
5．（3分）某校为了了解学生在校一周体育锻炼时间，随机抽查了11名学生，调查结果如表，这11名学生在校一周体育锻炼时间的众数和中位数分别为（ ）
锻炼时间（h）
5
6
7
8
人数
2
4
3
2
A．6h，6h B．6h，7h C．6h，6.5h D．6.5h，6h
【分析】根据众数和中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵锻炼时间为6h的人数最多，是4人，
∴众数是6h，
把这些数从小到大排列，中位数是第6个数，
则这11名学生在校一周体育锻炼时间的中位数是6h．
故选A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，y＝4≠3，∴它的图象不经过点（﹣1，3），故A错误；
B、∵k＝﹣3＜0，b＝1＞0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x＝时，y＝0，∴当x＞时，y＜0，故C正确；
D、∵k＝﹣3＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B．3﹣ C．0.8 D．
【分析】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
10．（3分）平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝ 120 °．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，由已知条件求出∠B＝60°，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°，
∴∠C＝∠A＝180°﹣60°＝120°；
故答案为：120．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键．
11．（3分）一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式 y＝﹣2x+1 ．
【分析】根据已知条件写出一个符合条件的解析式即可．
【解答】解：∵一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，
∴解析式为y＝﹣2x+1，
故答案为：y＝﹣2x+1．
【点评】本题考查了一次函数的性质的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 2 ．
【分析】由n为正整数，也是正整数，知18n是一个完全平方数，再将18分解质因数，从而得出结果．
【解答】解：n为正整数，也是正整数，
则18n是一个完全平方数，
又18n＝2×32n＝32•（2n），
则2n是一个完全平方数，
所以n的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数．
13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
195
190
195
190
方差
4.5
4.5
7.4
6.1
根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选 甲 参赛．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵甲、丙两人的平均数相同且高于乙、丁，
∴应该从甲、丙两人中选择一名参加比赛，
又∵甲的方差比乙小，
∴如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选甲参赛，
故答案为：甲．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
14．（3分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为 x＜1 ．
【分析】根据y＝x+1确定a的值，进而可得P点坐标，由图象可得在直线x＝1的左边x+1＜kx+b，进而可得不等式解集．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+1过点P（a，2），
∴2＝a+1，
解得：a＝1，
则不等式x+1＜kx+b的解集为x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定a的值．
15．（3分）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有 3 条．
【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2＝，OA3＝，找到OAn＝的规律，即可得到结论．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝，
…，
∴OAn＝，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，完全平方数有1，4，9，
故长度为整数的线段有3条．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn＝的规律是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，点D是OB边上一动点（不与点O，B重合），点E在BC边上，且OD＝BE，下列结论：
①△AOD≌△ABE；②∠ADE的大小随点D的运动而变化；
③直线BC的解析式为y＝x﹣2；④DE的最小值为．
其中正确的有 ①③④ ．（填写序号）
【分析】根据菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，可得△AOB为等边三角形，又OD＝BE，可证△AOD≌△ABE；由△AOD≌△ABE，可以证出△ADE为等边三角形，所以∠ADE大小不变；求出B，C的坐标可以求出直线BC的解析式为y＝x﹣2；根据垂线段最短，当AD⊥OB时有最小值．
【解答】解：∵菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，
∴△AOB，△ABC为等边三角形，A（1，），
∵OD＝BE，∠AOD＝∠ABE＝60°，
∴△AOD≌△ABE，（故①正确），
∴∠OAD＝∠BAE，AD＝AE，
∴∠OAB＝∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE的大小随点D的运动是不变化的，（故②不正确），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵过B（2，0），C（3，），
∴y＝x﹣2（故③正确），
根据垂线段最短，
∴当AD⊥OB时AD有最小值，
∴DE的最小值为，（故④正确）．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，再算减法即可；
（2）先化简，再算除法即可．
【解答】解：（1）
＝3
＝；
（2）
＝（4）
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（7分）已知直线l：y＝kx+b经过点A（0，﹣1），B（1，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m+1，3m+4）在直线l上，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将点P代入函数解析式即可求m的值．
【解答】解：（1）将点A（0，﹣1），B（1，1）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x﹣1；
（2）∵点P（m+1，3m+4）在直线l上，
∴3m+4＝2（m+1）﹣1，
解得m＝﹣3．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，已知AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，∠B＝90°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE⊥CD于E，求AE之长．
【分析】（1）连接AC，根据已知可得∠BAC＝∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC＝2，然后利用勾股定理的逆定理证明△CDA是直角三角形，从而可得∠CAD＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）利用面积法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝＝＝2，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC2+AD2＝（2）2+42＝24，CD2＝（2）2＝24，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△CDA是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，
∴∠BAD的度数为135°；
（2）∵AE⊥CD，
∴△ACD的面积＝CD•AE＝AC•AD，
∴CD•AE＝AC•AD，
∴2AE＝2×4，
∴AE＝，
∴AE的长为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
20．（8分）近年来，网约车给人们的出行带来了极大的便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取10名司机的月收入（单位：千元）进行统计分析，结果如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如表：
众数
中位数
平均月收入/千元
方差
甲公司
a
6
c
1.2
乙公司
4
b
6
7.6
（1）填空：a＝ 6 ，b＝ 4.5 ；
（2）求c的值；
（3）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．
【分析】（1）利用中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数的定义解答即可；
（3）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）由题意可得，a＝6，b＝＝4.5，
故答案为：6；4.5；
（2）∵“6千元”对应的百分比为＝40%，
∴c＝4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6；
（3）选甲公司，理由如下：
因为平均数一样，中位数、众数甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
21．（8分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： OA⊥BC且OA＝BC ．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF且DE＝GF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．
（3）根据（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，当矩形的邻边相等时，矩形为正方形，故OA＝BC．
【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵F、G是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DFGE是平行四边形；
（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，
如图，连接OA，
∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥OA，
∵OA⊥DE，
∴DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；
（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，
由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，
∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，
∴DG＝AO，GF＝BC，
∵AO＝BC，
∴DG＝GF，
∴矩形DGFE是正方形．
故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键．
22．（9分）如图I，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．
（1）求证：△OBE≌△OCF；
（2）求证：2OE2＝BE2+DF2；
（3）如图2，若正方形ABCD边长为2，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为 1 ．
【分析】（1）先判断出OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°，∠BOC＝90°，再判断出∠BOE＝∠COF，即可得出结论；
（2）先判断出CE＝DF，再用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出OE⊥BC时，CG最小，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵正方形ABC的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°，∠BOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°＝∠BOC，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF，BE＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣CF，
∴CE＝DF，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，
在Rt△EOF中，OE＝OF，
∴EF2＝2OE2，
∴2OE2＝DF2+BE2；
（3）解：在Rt△ECF中，点C是EF的中点，
∴CG＝EF，
由（2）知，EF＝OE，
∴CG＝OE，
要CG最小，则OE最小，
∵点E在BC上，
∴当OE⊥BC时，OE最小，其最小值为AB＝×＝，
∴CG长的最小值为OE＝2，
故答案为：1．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，判断出BE＝CF是解本题的关键．
23．（10分）随着信息技术的飞速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/min）
A
7
25
0.01
B
m
n
0.01
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ 10 ，n＝ 50 ；
（2）分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？
【分析】（1）观察函数图象，即可找出m、n的值；
（2）分0＜x≤25和x≥25两段来考虑yA与x之间的函数关系式，合并在一起即可得出结论；分0＜x≤50和x≥50两段来考虑yB与x之间的函数关系式；
（3）令yA＝10求出x值，再结合﹣8＞﹣20、7＜10，即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝10，
∴m＝10，
∵当x＝50时，折线拐弯，
∴n＝50．
故答案为：10；50；
（2）当0＜x≤25时，yA＝7，
当x≥25时，yA＝7+（x﹣25）×0.01×60＝0.6x﹣8．
∴yA与x之间的函数关系式为yA＝；
当0＜x≤50时，yB＝10，
当x≥50时，yB＝10+（x﹣50）×0.01×60＝0.6x﹣20，
∴yB与x之间的函数关系式为y＝；
（3）令yA＝10，则有0.6x﹣8＝10，
解得：x＝30．
∵﹣8＞﹣20、7＜10，
∴当0＜x＜30时，选择A种方式上网学习合算；
当x＝30时，选择A、B两种方式上网学习钱数相同；
当x＞30时，选择B种方式上网学习合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．
24．（12分）如图，A，B是直线y＝﹣x+6与两坐标轴的交点，直线y＝2x+m过点A，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线B﹣A﹣C上一动点．
①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED+EB最小；用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；
②是否存在点D，使△BCD为直角三角形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）①如图1，根据中点坐标公式得到D（3，3）．点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，﹣6）．设直线DA′的解析式为y＝kx+b．求得y＝3x+6．于是得到结论；
②当点D在AB上时，由OA＝OB＝6得到：∠ABC＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到（1.5，4.5）；当点D在AC上时，如图，设BD交y轴于点F．根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+6中，
令x＝0，得y＝6，
令y＝0，得x＝6，
∴A（0，6），B（6，0）．
把A（0，6）代入y＝2x+m，
得m＝6，
∴直线AC为：y＝2x+6．
在y＝2x+6中，
令y＝0，得x＝﹣3，
∴C点的坐标为（﹣3，0）；
（2）①如图1，
∵点D是AB的中点，A（0，6），B（6，0）．
∴D（3，3）．
点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，﹣6）．
设直线DA′的解析式为y＝kx+b．
把D（3，3），A′（0，﹣6）代入，得．
解得k＝3，b＝6．
故该直线方程为：y＝3x+6．
令y＝0，得E点的坐标为（2，0）；
②存在，理由：当点D在AB上时，由OA＝OB＝6得到：∠ABC＝45°，
由等腰直角三角形求得D点的坐标为（1.5，4.5）；
当点D在AC上时，如图，设BD交y轴于点F．
在△BOF与△AOC中，
∴△BOF≌△AOC（ASA）．
∴OF＝OC＝3，
∴点F的坐标为（0，3），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3，
解方程组，
得．
∴点D的坐标为（﹣，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题．
湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年八年级下学期期末
文化素质检测数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．2×＝ C．3﹣＝3 D．÷＝2
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
5．（3分）某校为了了解学生在校一周体育锻炼时间，随机抽查了11名学生，调查结果如表，这11名学生在校一周体育锻炼时间的众数和中位数分别为（ ）
锻炼时间（h）
5
6
7
8
人数
2
4
3
2
A．6h，6h B．6h，7h C．6h，6.5h D．6.5h，6h
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
8．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B．3﹣ C．0.8 D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）＝ ．
10．（3分）平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝ °．
11．（3分）一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
195
190
195
190
方差
4.5
4.5
7.4
6.1
根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选 参赛．
14．（3分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为 ．
15．（3分）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有 条．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，点D是OB边上一动点（不与点O，B重合），点E在BC边上，且OD＝BE，下列结论：
①△AOD≌△ABE；②∠ADE的大小随点D的运动而变化；
③直线BC的解析式为y＝x﹣2；④DE的最小值为．
其中正确的有 ．（填写序号）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（7分）已知直线l：y＝kx+b经过点A（0，﹣1），B（1，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m+1，3m+4）在直线l上，求m的值．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，已知AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，∠B＝90°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE⊥CD于E，求AE之长．
20．（8分）近年来，网约车给人们的出行带来了极大的便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取10名司机的月收入（单位：千元）进行统计分析，结果如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如表：
众数
中位数
平均月收入/千元
方差
甲公司
a
6
c
1.2
乙公司
4
b
6
7.6
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）求c的值；
（3）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．
21．（8分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： ．
22．（9分）如图I，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．
（1）求证：△OBE≌△OCF；
（2）求证：2OE2＝BE2+DF2；
（3）如图2，若正方形ABCD边长为2，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为 ．
23．（10分）随着信息技术的飞速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/min）
A
7
25
0.01
B
m
n
0.01
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ ，n＝ ；
（2）分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？
24．（12分）如图，A，B是直线y＝﹣x+6与两坐标轴的交点，直线y＝2x+m过点A，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线B﹣A﹣C上一动点．
①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED+EB最小；用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；
②是否存在点D，使△BCD为直角三角形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年八年级下学期期末
文化素质检测数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．2×＝ C．3﹣＝3 D．÷＝2
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝（）2，
∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+22≠32，
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误；
B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误；
D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、及他们之间的联系和区别．
5．（3分）某校为了了解学生在校一周体育锻炼时间，随机抽查了11名学生，调查结果如表，这11名学生在校一周体育锻炼时间的众数和中位数分别为（ ）
锻炼时间（h）
5
6
7
8
人数
2
4
3
2
A．6h，6h B．6h，7h C．6h，6.5h D．6.5h，6h
【分析】根据众数和中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵锻炼时间为6h的人数最多，是4人，
∴众数是6h，
把这些数从小到大排列，中位数是第6个数，
则这11名学生在校一周体育锻炼时间的中位数是6h．
故选A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，y＝4≠3，∴它的图象不经过点（﹣1，3），故A错误；
B、∵k＝﹣3＜0，b＝1＞0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x＝时，y＝0，∴当x＞时，y＜0，故C正确；
D、∵k＝﹣3＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B．3﹣ C．0.8 D．
【分析】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
10．（3分）平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝ 120 °．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，由已知条件求出∠B＝60°，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°，
∴∠C＝∠A＝180°﹣60°＝120°；
故答案为：120．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键．
11．（3分）一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式 y＝﹣2x+1 ．
【分析】根据已知条件写出一个符合条件的解析式即可．
【解答】解：∵一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，
∴解析式为y＝﹣2x+1，
故答案为：y＝﹣2x+1．
【点评】本题考查了一次函数的性质的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 2 ．
【分析】由n为正整数，也是正整数，知18n是一个完全平方数，再将18分解质因数，从而得出结果．
【解答】解：n为正整数，也是正整数，
则18n是一个完全平方数，
又18n＝2×32n＝32•（2n），
则2n是一个完全平方数，
所以n的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数．
13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
195
190
195
190
方差
4.5
4.5
7.4
6.1
根据表中数据，如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选 甲 参赛．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵甲、丙两人的平均数相同且高于乙、丁，
∴应该从甲、丙两人中选择一名参加比赛，
又∵甲的方差比乙小，
∴如果要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选甲参赛，
故答案为：甲．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
14．（3分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为 x＜1 ．
【分析】根据y＝x+1确定a的值，进而可得P点坐标，由图象可得在直线x＝1的左边x+1＜kx+b，进而可得不等式解集．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+1过点P（a，2），
∴2＝a+1，
解得：a＝1，
则不等式x+1＜kx+b的解集为x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定a的值．
15．（3分）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有 3 条．
【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2＝，OA3＝，找到OAn＝的规律，即可得到结论．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝，
…，
∴OAn＝，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，完全平方数有1，4，9，
故长度为整数的线段有3条．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn＝的规律是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，点D是OB边上一动点（不与点O，B重合），点E在BC边上，且OD＝BE，下列结论：
①△AOD≌△ABE；②∠ADE的大小随点D的运动而变化；
③直线BC的解析式为y＝x﹣2；④DE的最小值为．
其中正确的有 ①③④ ．（填写序号）
【分析】根据菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，可得△AOB为等边三角形，又OD＝BE，可证△AOD≌△ABE；由△AOD≌△ABE，可以证出△ADE为等边三角形，所以∠ADE大小不变；求出B，C的坐标可以求出直线BC的解析式为y＝x﹣2；根据垂线段最短，当AD⊥OB时有最小值．
【解答】解：∵菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，
∴△AOB，△ABC为等边三角形，A（1，），
∵OD＝BE，∠AOD＝∠ABE＝60°，
∴△AOD≌△ABE，（故①正确），
∴∠OAD＝∠BAE，AD＝AE，
∴∠OAB＝∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE的大小随点D的运动是不变化的，（故②不正确），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵过B（2，0），C（3，），
∴y＝x﹣2（故③正确），
根据垂线段最短，
∴当AD⊥OB时AD有最小值，
∴DE的最小值为，（故④正确）．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，再算减法即可；
（2）先化简，再算除法即可．
【解答】解：（1）
＝3
＝；
（2）
＝（4）
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（7分）已知直线l：y＝kx+b经过点A（0，﹣1），B（1，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m+1，3m+4）在直线l上，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将点P代入函数解析式即可求m的值．
【解答】解：（1）将点A（0，﹣1），B（1，1）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x﹣1；
（2）∵点P（m+1，3m+4）在直线l上，
∴3m+4＝2（m+1）﹣1，
解得m＝﹣3．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，已知AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，∠B＝90°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE⊥CD于E，求AE之长．
【分析】（1）连接AC，根据已知可得∠BAC＝∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC＝2，然后利用勾股定理的逆定理证明△CDA是直角三角形，从而可得∠CAD＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）利用面积法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝＝＝2，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC2+AD2＝（2）2+42＝24，CD2＝（2）2＝24，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△CDA是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，
∴∠BAD的度数为135°；
（2）∵AE⊥CD，
∴△ACD的面积＝CD•AE＝AC•AD，
∴CD•AE＝AC•AD，
∴2AE＝2×4，
∴AE＝，
∴AE的长为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
20．（8分）近年来，网约车给人们的出行带来了极大的便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取10名司机的月收入（单位：千元）进行统计分析，结果如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如表：
众数
中位数
平均月收入/千元
方差
甲公司
a
6
c
1.2
乙公司
4
b
6
7.6
（1）填空：a＝ 6 ，b＝ 4.5 ；
（2）求c的值；
（3）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．
【分析】（1）利用中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数的定义解答即可；
（3）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）由题意可得，a＝6，b＝＝4.5，
故答案为：6；4.5；
（2）∵“6千元”对应的百分比为＝40%，
∴c＝4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6；
（3）选甲公司，理由如下：
因为平均数一样，中位数、众数甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
21．（8分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： OA⊥BC且OA＝BC ．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF且DE＝GF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．
（3）根据（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，当矩形的邻边相等时，矩形为正方形，故OA＝BC．
【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵F、G是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DFGE是平行四边形；
（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，
如图，连接OA，
∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥OA，
∵OA⊥DE，
∴DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；
（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，
由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，
∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，
∴DG＝AO，GF＝BC，
∵AO＝BC，
∴DG＝GF，
∴矩形DGFE是正方形．
故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键．
22．（9分）如图I，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．
（1）求证：△OBE≌△OCF；
（2）求证：2OE2＝BE2+DF2；
（3）如图2，若正方形ABCD边长为2，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为 1 ．
【分析】（1）先判断出OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°，∠BOC＝90°，再判断出∠BOE＝∠COF，即可得出结论；
（2）先判断出CE＝DF，再用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出OE⊥BC时，CG最小，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵正方形ABC的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°，∠BOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°＝∠BOC，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF，BE＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣CF，
∴CE＝DF，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，
在Rt△EOF中，OE＝OF，
∴EF2＝2OE2，
∴2OE2＝DF2+BE2；
（3）解：在Rt△ECF中，点C是EF的中点，
∴CG＝EF，
由（2）知，EF＝OE，
∴CG＝OE，
要CG最小，则OE最小，
∵点E在BC上，
∴当OE⊥BC时，OE最小，其最小值为AB＝×＝，
∴CG长的最小值为OE＝2，
故答案为：1．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，判断出BE＝CF是解本题的关键．
23．（10分）随着信息技术的飞速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/min）
A
7
25
0.01
B
m
n
0.01
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ 10 ，n＝ 50 ；
（2）分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？
【分析】（1）观察函数图象，即可找出m、n的值；
（2）分0＜x≤25和x≥25两段来考虑yA与x之间的函数关系式，合并在一起即可得出结论；分0＜x≤50和x≥50两段来考虑yB与x之间的函数关系式；
（3）令yA＝10求出x值，再结合﹣8＞﹣20、7＜10，即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝10，
∴m＝10，
∵当x＝50时，折线拐弯，
∴n＝50．
故答案为：10；50；
（2）当0＜x≤25时，yA＝7，
当x≥25时，yA＝7+（x﹣25）×0.01×60＝0.6x﹣8．
∴yA与x之间的函数关系式为yA＝；
当0＜x≤50时，yB＝10，
当x≥50时，yB＝10+（x﹣50）×0.01×60＝0.6x﹣20，
∴yB与x之间的函数关系式为y＝；
（3）令yA＝10，则有0.6x﹣8＝10，
解得：x＝30．
∵﹣8＞﹣20、7＜10，
∴当0＜x＜30时，选择A种方式上网学习合算；
当x＝30时，选择A、B两种方式上网学习钱数相同；
当x＞30时，选择B种方式上网学习合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．
24．（12分）如图，A，B是直线y＝﹣x+6与两坐标轴的交点，直线y＝2x+m过点A，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线B﹣A﹣C上一动点．
①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED+EB最小；用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；
②是否存在点D，使△BCD为直角三角形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）①如图1，根据中点坐标公式得到D（3，3）．点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，﹣6）．设直线DA′的解析式为y＝kx+b．求得y＝3x+6．于是得到结论；
②当点D在AB上时，由OA＝OB＝6得到：∠ABC＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到（1.5，4.5）；当点D在AC上时，如图，设BD交y轴于点F．根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+6中，
令x＝0，得y＝6，
令y＝0，得x＝6，
∴A（0，6），B（6，0）．
把A（0，6）代入y＝2x+m，
得m＝6，
∴直线AC为：y＝2x+6．
在y＝2x+6中，
令y＝0，得x＝﹣3，
∴C点的坐标为（﹣3，0）；
（2）①如图1，
∵点D是AB的中点，A（0，6），B（6，0）．
∴D（3，3）．
点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，﹣6）．
设直线DA′的解析式为y＝kx+b．
把D（3，3），A′（0，﹣6）代入，得．
解得k＝3，b＝6．
故该直线方程为：y＝3x+6．
令y＝0，得E点的坐标为（2，0）；
②存在，理由：当点D在AB上时，由OA＝OB＝6得到：∠ABC＝45°，
由等腰直角三角形求得D点的坐标为（1.5，4.5）；
当点D在AC上时，如图，设BD交y轴于点F．
在△BOF与△AOC中，
∴△BOF≌△AOC（ASA）．
∴OF＝OC＝3，
∴点F的坐标为（0，3），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3，
解方程组，
得．
∴点D的坐标为（﹣，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题．
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