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专题04 方程与不等式-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
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这是一份专题04 方程与不等式-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019），文件包含专题04方程与不等式解析版docx、专题04方程与不等式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
专题04 方程与不等式
【知识点梳理】
知识点1：二元二次方程组的解法
方程
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
知识点2：一元二次不等式的解法
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为
x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
【题型归纳目录】
题型1：一元二次不等式的解法
题型2：二元二次方程组的解法
【典型例题】
题型1：一元二次不等式的解法
例1．解不等式：
【解析】
由题意，，所以原不等式的解为或.
例2．解不等式：；
【解析】
(1)可得，∴
例3．求下列不等式的解集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】
(1)解：原不等式即为，解得，
(2)解：将原不等式变形为，
即，解得或，
(3)解：将原不等式变形为，解得，
(4)解：对于不等式，，故原不等式的解集为.
例4．求不等式的解集：
(1)；
(2)；
【解析】
(1)由，得，
解得或，
(2)由得，，
题型2：二元二次方程组的解法
例1、方程组x-y=0x2+y=2的解是 ．
【答案】x1=-2y1=-2，x2=1y2=1
【解析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
x-y=0①x2+y=2②，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2，
把x=1代入①得：y=1，
所以原方程组的解为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1，
故答案为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.
例2、已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y= 【答案】1或-7
【解析】由题意得
{2y=-322x2+3y=23 ，
解之得
{x=4y=-3 或{x=-4y=-3
∴x+y=1 或x+y=-7
例3、解方程组y=x+1x2-4xy+4y2=4
【答案】x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【解析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
解：y=x+1①x2-4xy+4y2=4②
由②得，x-2y2=4 ③，
把①代入③，得
x-2x+12=4，
即：x+22=4，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x1=-4,x2=0,
把x1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.
所以，方程组的解是
x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
例4、解方程组：4x2-4xy+y2=1x+2y=3
【答案】x1=1y1=1,x2=15y2=75
【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：4x2-4xy+y2=1 ②x+2y=3 ①
由②得(2x-y)2=1，
所以2x-y=1③，2x-y=-1④
由①③、①④联立，得方程组：
2x-y=1x+2y=3，2x-y=-1x+2y=3
解方程组2x-y=1x+2y=3得，y=1x=1
解方程组2x-y=-1x+2y=3得，x=15y=75．
所以原方程组的解为：y1=1x1=1，x2=15y2=75
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
例5、解方程组：x2+5xy-6y2=02x-y=1 ①②
【答案】x1=613y1=-113,x2=1y2=1
【解析】试题分析：
把①方程变形为(x+6y)(x-y)=0，从而可得x+6y=0或x-y=0，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
试题解析：
方程①可变形为(x+6y)(x-y)=0，
得x+6y=0或x-y=0，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）x+6y=02x-y=0或（Ⅱ）x-y=02x-y=1 ，
解方程组（Ⅰ）x=613y=-113， 解方程组（Ⅱ）x=1y=1
所以原方程组的解是x=613y=-113 ，x=1y=1 .
例6、解方程组： {x+y=3x2-4y2=0
【答案】 {x=2y=1和 {x=6y=-3
【解析】由第一个方程得到 x=3-y，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出 y，再回代第一个方程中即可求出 x．
解：由题意： {x+y=3⋯(1)x2-4y2=0⋯(2)，
由方程(1)得到： x=3-y，再代入方程(2)中：
得到： (3-y)2-4y2=0，
进一步整理为： 3-y=2y或 3-y=-2y，
解得 y1=1， y2=-3，
再回代方程(1)中，解得对应的 x1=2， x2=6，
故方程组的解为： {x=2y=1和 {x=6y=-3．
【过关测试】
一、选择题
1.不等式组5x+2>3(x-1)12x-1≤7-32x的所有非负整数解的和是( )
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
【答案】
A
【解析】解：5x+2>3(x-1)①12x-1≤7-32x②，
解不等式①得：x>-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
2.不等式组3x+7≥22x-9<1的非负整数解的个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】
B
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
【解答】
解： 3x+7≥2 ①2x-9<1 ②
∵ 解不等式 ① 得： x≥-53 ，
解不等式 ② 得： x<5 ，
∴ 不等式组的解集为 -53≤x<5 ，
∴ 不等式组的非负整数解为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，共 5 个，
故选： B ．
3.不等式组x-4≤2(x-1),12(x+3)>x+1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】解：由不等式组x-4≤2(x-1) ①12(x+3)>x+1②,
解不等式①得：x≥-2，
解不等式②得：x<1，
∴此不等式组的解集为：-2≤x<1，
该不等式组的解集在数轴表示如下：
故选：A．
根据不等式组x-4≤2(x-1),12(x+3)>x+1可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
4.若关于x的一元一次不等式组2x-1>3(x-2)x
【答案】
A
【解析】解：解不等式2x-1>3(x-2)，得：x<5，
∵不等式组的解集为x<5，
∴m≥5，
故选：A．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.若关于x、y的二元一次方程组x+y=3kx-y=k+2的解满足不等式x>0，y<0，则k的取值范围是( )
A. k>-12 B. k>1 C. 无解 D. -12
D
【解析】解：x+y=3k ①x-y=k+2 ②，
①+②得，2x=4k+2，
解得x=2k+1，
①-②得，2y=2k-2，
解得y=k-1，
∵x>0，y<0，
∴2k+1>0 ①k-1<0 ②，
解不等式①得，k>-12，
解不等式②得，k<1，
所以，不等式组的解集是-12
利用加减消元法求出x、y，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，再求其公共解集．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
6.直线y=-2x-1关于y轴对称的直线与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是( )
A. m>-1 B. m<1 C. -1
C
【解析】
【分析】
本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
易得直线 y=-2x-1 关于 y 轴对称的直线为 y=2x-1 ，联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【解答】
解：直线 y=-2x-1 关于 y 轴对称的直线为 y=2x-1 ，
联立 y=2x-1y=-2x+m,
解得 x=m+14y=m-12 ，
∵ 交点在第四象限，
∴m+14>0①m-12<0②,
解不等式 ① 得， m>-1 ，
解不等式 ② 得， m<1 ，
所以， m 的取值范围是 -1
7.下列方程组是二元二次方程组的是( )
A. x+3y=54x-6y=9； B. x2-3y2=2x+5x+1y=3；
C. y=3-5x2x2-x-6=0； D. x2+1=2y3y=-x．
【答案】
C
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元二次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由含两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
【解答】
解： A. 两个方程都是二元一次方程，故 A 选项错误；
B. 第二个方程有 1y ，不是整式方程，故 B 选项错误；
C. 含有两个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，故 C 选项正确；
D. 第一个方程含有根式，故 D 选项错误．
故选 C ．
8.下列方程组中，是二元二次方程组的是( )
A. B. 2x+1y=06x-1y=8
C. xy=7x=16 D. x3+y=12xy=x+y
【答案】
C
【解析】
【分析】
根据二元二次方程组的定义进行解答即可．
【详解】
解：A项为二元一次方程组，故本选项错误；
B项二元一次分式方程组，故本选项错误；
C项的第一个方程为二元二次方程，故为二元二次方程组，故本选项正确；
D中未知数的最高次数为3，故不是二元二次方程组，故本选项错误．
故选：C
【点睛】
本题主要考查二元二次方程组的定义，解题的关键是根据二元二次方程组的定义逐个分析判断．
9.下列说法错误的是( )
A. x+y2=2x=-2是二元二次方程组
B. x4+2=0既是二项方程又是双二次方程
C. x-1y+1=0是二元二次方程
D. xx=1既是分式方程又是无理方程
【答案】
D
【解析】
【分析】
元是指方程中所含的未知数，根据分式方程，无理方程，几元几次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A.是二元二次方程组，正确，故本选项错误；
B. 是二项方程，也是双二次方程，正确，故本选项错误；
C.是二元二次方程，正确，故本选项错误；
D.分式方程是有理方程，不可能是无理方程，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
主要考查了分式方程，无理方程，几元几次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
10.分解因式：6x2-13xy+6y2+5x-10y-4的结果为( )
A. (2x-3y+1)(3x-2y-4) B. (2x-3y-1)(3x-2y+4)
C. (2x-3y-2)(3x-2y+2) D. (2x-3y+2)(3x-2y-2)
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解 - 运用公式法及二元二次方程组应用的知识点，
利用完全平方公式可以得到 6x2-13xy+6y2=(2x-3y)(3x-2y) ，设原式 =(2x-3y+a)(3x-2y+b) ，然后利用二元二次方程组的知识，求出 a 和 b ，即可求解．
【解答】
解 ∵6x2-13xy+6y2=(2x-3y)(3x-2y) ，
∴可设6x2-13xy+6y2+5x-10y-4=(2x-3y+a)(3x-2y+b)，
即6x2-13xy+6y2+5x-10y-4=6x2-13xy+6y2+(3a+2b)x+(-2a-3b)y+ab，a、b为待定系数，
∴3a+2b=5,-2a-3b=-10ab=-4,,
解得a=-1，b=4，
∴原式=(2x-3y-1)(3x-2y+4)．
故选B．
11.二元二次方程组x2+xy-2y2=0x2+4y=-2的解的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查的是二元二次方程组，关键是通过分解，把高次方程降次，用到的知识点是因式分解、代入法．
先将第 1 个方程变形为 x+2y=0 ， x-y=0 ，从而得到两个二元二次方程组，再分别判断解的个数即可．
【解答】
解： x2+xy-2y2=0 ①x2+4y=-2 ② ，
由 ① 得： (x+2y)(x-y)=0 ，
x+2y=0 ， x-y=0 ，
与方程 ② 组成新的方程组得：
x+2y=0x2+4y=-2 ， x-y=0x2+4y=-2 ，
第一个方程组无解，第二个方程组有两个解，
所以原方程组有两个解．
二、填空题
12.将方程组：x2-5xy+6y2=0x2-y2=1转化成两个二元二次方程组分别是______和______．
【答案】
x-2y=0x2-y2=1；x-3y=0x2-y2=1
【解析】
【分析】
本题考查了二元二次方程组的定义．关键是将方程组中的某个方程左边因式分解，使其积为 0 ，可将较复杂的高次方程组转化为简单的高次方程组．
方程组中，方程 x2-5xy+6y2=0 的左边可因式分解，根据：两个因式的积为 0 ，则其中至少有一个因式为 0 ，将原方程组转化为两个二元二次方程组．
【解答】
解：由方程 x2-5xy+6y2=0 得 (x-2y)(x-3y)=0 ，
即 x-2y=0 或 x-3y=0 ，
所以，原方程组可化为 x-2y=0x2-y2=1 ， x-3y=0x2-y2=1 ，
故答案为 x-2y=0x2-y2=1 ， x-3y=0x2-y2=1 ．
13.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是x=2y=4和x=-2y=-4，试写出符合要求的方程组________(只要填写一个即可)．
【答案】
y=2xxy=8
【解析】
【分析】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系 ( 和差关系或倍数关系等 ) 来表示方程组的解．
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可．
【解答】
解：根据方程组的解可看出： xy=8 ， y=2x ，
∴符合要求的方程组为y=2xxy=8．
故答案为y=2xxy=8．
14.关于x、y的二元二次方程组x+y=axy=b的一个解是x1=1y1=-2；那么这个方程组的其余的解是______．
【答案】
x2=-2y2=1
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把 x 与 y 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，即可确定出其余解．
【解答】
解：把 x1=1y1=-2 代入方程组得： a=-1b=-2 ，
方程组为 x+y=-1xy=-2 ，
则这个方程组的其余解是 x2=-2y2=1 ，
故答案为： x2=-2y2=1
15.已知，抛物线y=12x2-x+2与直线y=x-2的图象如图，点P是抛物线上的一的一个动点，则点P到直线y=x-2的最短距离为_________．
【答案】
2
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、一次函数图象上的点的特征，二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．设过点 P 平行直线 y=x-2 的解析式为 y=x+b ，当直线 y=x+b 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线 y=x-2 的距离最小，设直线 y=x-2 交 x 轴于 A ，交 y 轴于 B ，解直角三角形求得 AB ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得 OC 的长即可解决问题；
【解答】
解：设过点 P 平行直线 y1 的解析式为 y=x+b ，
当直线 y=x+b 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线的距离最小，
由 y=12x2-x+2y=x+b ，消去 y 得到： x2-4x+4-2b=0 ，
当 △=0 时， 16-16+8b=0 ，
∴b=0 ，
∴ 直线的解析式为 y=x ，
如图作 OC⊥AB 于 C ，
直线 y=x-2 交 x 轴于 A ，交 y 轴于 B ，则 A(2,0) ， B(0,2) ，
∴OA=OB=2 ，
∴AB=22 ，
∵OC⊥AB ，
∴AC=BC ，
∴OC=12AB=2 ，
故填 2 ．
16.解方程组x2+4y2=43x+2y=2：______________________．
【答案】
x1=0y1=1,x2=3y2=-12
【解析】
【分析】
本题主要考查二元二次方程组，考查一元二次方程的解法与代入消元法，将二元二次方程转化为一元二次方程是解答的关键，属于中档题．
将 ② 式变形代入 ① 式消去 y ，得到关于 x 的一元二次方程，即可求解．
【解答】
解： x2+4y2=4①3x+2y=2②
② 变形： y=2-3x2 ， ③
把 ③ 代入 ① 得： x2+4×4-43x+3x24=4 ，
x2-3x=0 ，
x1=0 ,x2=3 ，
当 x=0 时， y=1 ，
即 x1=0y1=1,
当 x=3 时， y=-12
即 x2=3y2=-12 ．
故答案为 x1=0y1=1,x2=3y2=-12 ．
17.关于x的不等式组2a-x>32x+8>4a的解集中每一个值均不在1≤x≤8的范围中，则a的取值范围是______．
【答案】
a≥6或a≤2
【解析】解：2a-x>3 ①2x+8>4a ②
∵解不等式①得：x<2a-3，
解不等式②得：x>2a-4，
∴不等式组的解集是2a-4
∴2a-4≥8且2a-3≤1，
解得：a≥6或a≤2，
故答案为：a≥6或a≤2．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．
18.已知关于x的不等式组5x-a>3(x-1)2x-1≤7的所有整数解的和为7，则a的取值范围是______．
【答案】
7≤a<9或-3≤a<-1
【解析】解：5x-a>3(x-1) ①2x-1≤7 ②，
∵解不等式①得：x>a-32，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为a-32
∴当a-32>0时，这两个整数解一定是3和4，
∴2≤a-32<3，
∴7≤a<9，
当a-32<0时，-3≤a-32<-2，
∴-3≤a<-1，
∴a的取值范围是7≤a<9或-3≤a<-1．
故答案为：7≤a<9或-3≤a<-1．
先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
19.若关于x的一元一次不等式组x-1>02x-a<0有2个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
6
【分析】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于 a 的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于 a 的不等式组，解之可得答案．
【解答】
解：解不等式 x-1>0 ，得： x>1 ，
解不等式 2x-a<0 ，得： x
∴ 不等式组的整数解为 2 、 3 ，
则 3
【答案】
a>-1
【解析】解：∵关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x>1，
∴a+1>0，
解得a>-1，
故答案为：a>-1．
根据关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x>1，可知a+1>0，从而求得a的取值范围，本题得以解决．
21.已知x+y+z=15-3x-y+z=-25，x、y、z为非负数，且N=5x+4y+z，则N的取值范围是______．
【答案】
55≤N≤65
【解析】解：方程组整理得：y+z=15-x ①y-z=25-3x ②，
①+②得：2y=40-4x，
解得：y=20-2x，
①-②得：2z=2x-10，
解得：z=x-5，
代入得：N=5x+80-8x+x-5=-2x+75，
由x，y，z为非负数，得到20-2x≥0，x-5≥0，
解得：5≤x≤10，即55≤-2x+75≤65，
则N的范围是55≤N≤65．
故答案为：55≤N≤65
把x看做已知数表示出方程组的解，代入N求出范围即可．
此题考查了解三元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.如果不等式组9x-a≥0,8x-b<0的整数解有且仅有一个，这个解为1，且a，b均为整数，则a+b的最大值是______．
【答案】
25
【解析】解：解不等式9x-a≥0，得：x≥a9，
解不等式8x-b<0，得：x
∴0
则a+b的最大值为9+16=25，
故答案为：25．
分别求出两个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再根据有且只有一个正整数解1列出关于a、b的不等式组，解之求出整数a、b的最大值，然后相加即可得解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解，然后根据整数解求出a、b的值是解题的关键．
三、解答题
23.已知关于x，y的方程组 2x+y=1+3mx+2y=1-m的解满足x+y<0，求m的取值范围．
【答案】
解：2x+y=1+3m①x+2y=1-m②，
①+②，得
3x+3y=2+2m，
∴x+y=2+2m3，
∵x+y<0，
∴2+2m3<0，
解得，m<-1，
即m的取值范围是m<-1．
【解析】根据题目中的不等式组可以求得x+y的值，从而可以求得m的取值范围．
本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
24.已知方程组x+y=-7-mx-y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围．
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解为x>1．
【答案】
解：(1)解方程组x+y=-7-mx-y=1+3m，得：x=m-3y=-2m-4，
根据题意，得：m-3≤0-2m-4<0，
解得-2
(2)由(2m+1)x<2m+1的解为x>1知2m+1<0，
解得m<-12，
则在-2
(2)由不等式的性质求出m的范围，结合(1)中所求范围可得答案．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
25.已知关于x的不等式(x-5)(ax-3a+4)≤0．
(1)若x=2是该不等式的解，求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，且x=1不是该不等式的解，求符合题意的一个无理数a．
【答案】
解：(1)把x=2代入(x-5)(ax-3a+4)≤0得：(2-5)(2a-3a+4)≤0，
解得：a≤4，
所以a的取值范围是a≤4；
(2)由(1)得：a≤4，
取a=π，
此时该不等式为(x-5)(πx-3π+4)≤0，
当x=1时，不等式的左边=(1-5)(πx-3π+4)=-4(4-2π)，
∵4-2π<0，
∴不等式的左边大于0，
∴x=1不是该不等式的解，
∴在(1)的条件下，满足x=1不是该不等式的解的无理数a可以是π．
【解析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的解集，能求出a的范围是解此题的关键．
(1)把x=2代入不等式，求出不等式的解即可；
(2)取a=π，再代入求出即可．
26.解二元二次方程组x+y-1=0x2-y-2x-1=0
【答案】
x1=2y1=-1,x2=-1y2=2
【解析】
【分析】
把方程①变形为y=1-x，利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解．
【详解】
解：x+y-1=0①x2-y-2x-1=0②,
把①变形y=1-x，代入②得x2-(1-x)-2x-1=0，
化简整理得x2-x-2=0，
∴x1=2，x2=-1，
把x=2代入①得y=-1，
把x=-1代入①得y=2，
所以原方程组的解为：x1=2y1=-1,x2=-1y2=2．
【点睛】
本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
27.已知x，y满足方程组x2+xy+4y2=102x2-xy+8y2=5
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是__ ；
(2)求x2+4y2的值；
(3)若已知1x+12y=2y+x2xy和2y+x2=x2+4y2+4xy；则1x+12y=__ (直接写出答案，不用写过程)．
【答案】
解：(1)乙；
(2)x2+xy+4y2=10⋯①2x2-xy+8y2=5⋯②，
①+②得：3x2+12y2=15，则x2+4y2=5；
(3)±12．
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的概念，加减消元法解二元二次方程组，
(1) 根据二元一次方程组的概念进行判定即可；
(2) 将方程组的两个方程相加整理即可得到结论；
(3) 方程组中 ②-2×① 求得 xy 的值，结合 (2) 的结论求出 2y+x 的值，即可进一步得解．
【解答】
解： (1) 二元一次方程组的定义为：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 ，这样的整式方程叫做二元一次方程．
题目所给的方程组中未知数的项的次数不为 1 ，故不是二元一次方程组．
故答案为乙；
(2) 见答案；
(3)x2+xy+4y2=10⋯①2x2-xy+8y2=5⋯②
②-2×① 得： -3xy=-15 ，
解得 xy=5 ，
∵ 由 (2) 可知， x2+4y2=5 ，
∴(2y+x)2=x2+4y2+4xy=5+4×5=25 ，
∴2y+x=±25=±5 ，
1x+12y=2y+x2xy=±52×5=±12 ．
故答案为 ±12 ．
28.阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如x2+y2=102x-y=5①②的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x-5 ③
将③代入①得：x2+(2x-5)2=10
整理得：x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3
将x1=1,x2=3代入③得y1=1×2-5=-3，y2=2×3-5=1
∴原方程组的解为x1=1y1=-3,x2=3y2=-1
(1)请你用代入消元法解二元二次方程组：2x-y=3y2-4x2+6x-3=0①②；
(2)若关于x,y的二元二次方程组2x+y=1ax2+y2+2x+1=0①②有两组不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】
解：
(1)
由①得，y=2x-3③，
把③代入②得，(2x-3)2-4x2+6x-3=0，
整理得，6x=6，
解得x=1，
把x=1代入③得，y=-1，
故原方程组的解为x=1y=-1；
(2)
由①得，y=1-2x③，
把③代入②得，ax2+(1-2x)2+2x+1=0，
整理得，(a+4)x2-2x+2=0，
原二元二次方程组有两组不同的实数解，则此一元二次方程有两个不相等的实数根，
得，Δ=22-4×2×(a+4)>0，
解得a<-72，
且∵a+4≠0，
∴a≠-4，
综上，a<-72且a≠-4．
【解析】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
(1)用代入消元法，先消去未知数y，再解关于未知数x的一次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；
(2)用代入消元法，先消去未知数y，得到关于未知数x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可．
29.求方程x2+6xy-7y2=2009的正整数解．
【答案】
解：∵方程x2+6xy-7y2=2009，
∴(x-y)(x+7y)=2009，
∵2009=7×7×41，且x，y均是正整数，则0
相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，1．
故上述六种关系中，只有三种可能成立：
① 或②x-y=7x+7y=287或③x-y=41x+7y=49,
解得x=252y=251或x=42y=35或x=42y=1．
即为方程的正整数解．
【解析】本题主要考查非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是进行因式分解，此题难度一般．
首先把方程x2+6xy-7y2=2009左边因式分解得(x-y)(x+7y)，又知2009=7×7×41，即当x-y=1，7，41，49，287，2009时，相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，．
结合x，y都是正整数，解出x，y的值．
专题04 方程与不等式
【知识点梳理】
知识点1：二元二次方程组的解法
方程
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
知识点2：一元二次不等式的解法
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为
x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
【题型归纳目录】
题型1：一元二次不等式的解法
题型2：二元二次方程组的解法
【典型例题】
题型1：一元二次不等式的解法
例1．解不等式：
【解析】
由题意，，所以原不等式的解为或.
例2．解不等式：；
【解析】
(1)可得，∴
例3．求下列不等式的解集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】
(1)解：原不等式即为，解得，
(2)解：将原不等式变形为，
即，解得或，
(3)解：将原不等式变形为，解得，
(4)解：对于不等式，，故原不等式的解集为.
例4．求不等式的解集：
(1)；
(2)；
【解析】
(1)由，得，
解得或，
(2)由得，，
题型2：二元二次方程组的解法
例1、方程组x-y=0x2+y=2的解是 ．
【答案】x1=-2y1=-2，x2=1y2=1
【解析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
x-y=0①x2+y=2②，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2，
把x=1代入①得：y=1，
所以原方程组的解为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1，
故答案为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.
例2、已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y= 【答案】1或-7
【解析】由题意得
{2y=-322x2+3y=23 ，
解之得
{x=4y=-3 或{x=-4y=-3
∴x+y=1 或x+y=-7
例3、解方程组y=x+1x2-4xy+4y2=4
【答案】x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【解析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
解：y=x+1①x2-4xy+4y2=4②
由②得，x-2y2=4 ③，
把①代入③，得
x-2x+12=4，
即：x+22=4，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x1=-4,x2=0,
把x1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.
所以，方程组的解是
x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
例4、解方程组：4x2-4xy+y2=1x+2y=3
【答案】x1=1y1=1,x2=15y2=75
【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：4x2-4xy+y2=1 ②x+2y=3 ①
由②得(2x-y)2=1，
所以2x-y=1③，2x-y=-1④
由①③、①④联立，得方程组：
2x-y=1x+2y=3，2x-y=-1x+2y=3
解方程组2x-y=1x+2y=3得，y=1x=1
解方程组2x-y=-1x+2y=3得，x=15y=75．
所以原方程组的解为：y1=1x1=1，x2=15y2=75
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
例5、解方程组：x2+5xy-6y2=02x-y=1 ①②
【答案】x1=613y1=-113,x2=1y2=1
【解析】试题分析：
把①方程变形为(x+6y)(x-y)=0，从而可得x+6y=0或x-y=0，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
试题解析：
方程①可变形为(x+6y)(x-y)=0，
得x+6y=0或x-y=0，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）x+6y=02x-y=0或（Ⅱ）x-y=02x-y=1 ，
解方程组（Ⅰ）x=613y=-113， 解方程组（Ⅱ）x=1y=1
所以原方程组的解是x=613y=-113 ，x=1y=1 .
例6、解方程组： {x+y=3x2-4y2=0
【答案】 {x=2y=1和 {x=6y=-3
【解析】由第一个方程得到 x=3-y，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出 y，再回代第一个方程中即可求出 x．
解：由题意： {x+y=3⋯(1)x2-4y2=0⋯(2)，
由方程(1)得到： x=3-y，再代入方程(2)中：
得到： (3-y)2-4y2=0，
进一步整理为： 3-y=2y或 3-y=-2y，
解得 y1=1， y2=-3，
再回代方程(1)中，解得对应的 x1=2， x2=6，
故方程组的解为： {x=2y=1和 {x=6y=-3．
【过关测试】
一、选择题
1.不等式组5x+2>3(x-1)12x-1≤7-32x的所有非负整数解的和是( )
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
【答案】
A
【解析】解：5x+2>3(x-1)①12x-1≤7-32x②，
解不等式①得：x>-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
2.不等式组3x+7≥22x-9<1的非负整数解的个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】
B
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
【解答】
解： 3x+7≥2 ①2x-9<1 ②
∵ 解不等式 ① 得： x≥-53 ，
解不等式 ② 得： x<5 ，
∴ 不等式组的解集为 -53≤x<5 ，
∴ 不等式组的非负整数解为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，共 5 个，
故选： B ．
3.不等式组x-4≤2(x-1),12(x+3)>x+1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】解：由不等式组x-4≤2(x-1) ①12(x+3)>x+1②,
解不等式①得：x≥-2，
解不等式②得：x<1，
∴此不等式组的解集为：-2≤x<1，
该不等式组的解集在数轴表示如下：
故选：A．
根据不等式组x-4≤2(x-1),12(x+3)>x+1可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
4.若关于x的一元一次不等式组2x-1>3(x-2)x
【答案】
A
【解析】解：解不等式2x-1>3(x-2)，得：x<5，
∵不等式组的解集为x<5，
∴m≥5，
故选：A．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.若关于x、y的二元一次方程组x+y=3kx-y=k+2的解满足不等式x>0，y<0，则k的取值范围是( )
A. k>-12 B. k>1 C. 无解 D. -12
D
【解析】解：x+y=3k ①x-y=k+2 ②，
①+②得，2x=4k+2，
解得x=2k+1，
①-②得，2y=2k-2，
解得y=k-1，
∵x>0，y<0，
∴2k+1>0 ①k-1<0 ②，
解不等式①得，k>-12，
解不等式②得，k<1，
所以，不等式组的解集是-12
利用加减消元法求出x、y，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，再求其公共解集．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
6.直线y=-2x-1关于y轴对称的直线与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是( )
A. m>-1 B. m<1 C. -1
C
【解析】
【分析】
本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
易得直线 y=-2x-1 关于 y 轴对称的直线为 y=2x-1 ，联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【解答】
解：直线 y=-2x-1 关于 y 轴对称的直线为 y=2x-1 ，
联立 y=2x-1y=-2x+m,
解得 x=m+14y=m-12 ，
∵ 交点在第四象限，
∴m+14>0①m-12<0②,
解不等式 ① 得， m>-1 ，
解不等式 ② 得， m<1 ，
所以， m 的取值范围是 -1
7.下列方程组是二元二次方程组的是( )
A. x+3y=54x-6y=9； B. x2-3y2=2x+5x+1y=3；
C. y=3-5x2x2-x-6=0； D. x2+1=2y3y=-x．
【答案】
C
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元二次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由含两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
【解答】
解： A. 两个方程都是二元一次方程，故 A 选项错误；
B. 第二个方程有 1y ，不是整式方程，故 B 选项错误；
C. 含有两个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，故 C 选项正确；
D. 第一个方程含有根式，故 D 选项错误．
故选 C ．
8.下列方程组中，是二元二次方程组的是( )
A. B. 2x+1y=06x-1y=8
C. xy=7x=16 D. x3+y=12xy=x+y
【答案】
C
【解析】
【分析】
根据二元二次方程组的定义进行解答即可．
【详解】
解：A项为二元一次方程组，故本选项错误；
B项二元一次分式方程组，故本选项错误；
C项的第一个方程为二元二次方程，故为二元二次方程组，故本选项正确；
D中未知数的最高次数为3，故不是二元二次方程组，故本选项错误．
故选：C
【点睛】
本题主要考查二元二次方程组的定义，解题的关键是根据二元二次方程组的定义逐个分析判断．
9.下列说法错误的是( )
A. x+y2=2x=-2是二元二次方程组
B. x4+2=0既是二项方程又是双二次方程
C. x-1y+1=0是二元二次方程
D. xx=1既是分式方程又是无理方程
【答案】
D
【解析】
【分析】
元是指方程中所含的未知数，根据分式方程，无理方程，几元几次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A.是二元二次方程组，正确，故本选项错误；
B. 是二项方程，也是双二次方程，正确，故本选项错误；
C.是二元二次方程，正确，故本选项错误；
D.分式方程是有理方程，不可能是无理方程，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
主要考查了分式方程，无理方程，几元几次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
10.分解因式：6x2-13xy+6y2+5x-10y-4的结果为( )
A. (2x-3y+1)(3x-2y-4) B. (2x-3y-1)(3x-2y+4)
C. (2x-3y-2)(3x-2y+2) D. (2x-3y+2)(3x-2y-2)
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解 - 运用公式法及二元二次方程组应用的知识点，
利用完全平方公式可以得到 6x2-13xy+6y2=(2x-3y)(3x-2y) ，设原式 =(2x-3y+a)(3x-2y+b) ，然后利用二元二次方程组的知识，求出 a 和 b ，即可求解．
【解答】
解 ∵6x2-13xy+6y2=(2x-3y)(3x-2y) ，
∴可设6x2-13xy+6y2+5x-10y-4=(2x-3y+a)(3x-2y+b)，
即6x2-13xy+6y2+5x-10y-4=6x2-13xy+6y2+(3a+2b)x+(-2a-3b)y+ab，a、b为待定系数，
∴3a+2b=5,-2a-3b=-10ab=-4,,
解得a=-1，b=4，
∴原式=(2x-3y-1)(3x-2y+4)．
故选B．
11.二元二次方程组x2+xy-2y2=0x2+4y=-2的解的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查的是二元二次方程组，关键是通过分解，把高次方程降次，用到的知识点是因式分解、代入法．
先将第 1 个方程变形为 x+2y=0 ， x-y=0 ，从而得到两个二元二次方程组，再分别判断解的个数即可．
【解答】
解： x2+xy-2y2=0 ①x2+4y=-2 ② ，
由 ① 得： (x+2y)(x-y)=0 ，
x+2y=0 ， x-y=0 ，
与方程 ② 组成新的方程组得：
x+2y=0x2+4y=-2 ， x-y=0x2+4y=-2 ，
第一个方程组无解，第二个方程组有两个解，
所以原方程组有两个解．
二、填空题
12.将方程组：x2-5xy+6y2=0x2-y2=1转化成两个二元二次方程组分别是______和______．
【答案】
x-2y=0x2-y2=1；x-3y=0x2-y2=1
【解析】
【分析】
本题考查了二元二次方程组的定义．关键是将方程组中的某个方程左边因式分解，使其积为 0 ，可将较复杂的高次方程组转化为简单的高次方程组．
方程组中，方程 x2-5xy+6y2=0 的左边可因式分解，根据：两个因式的积为 0 ，则其中至少有一个因式为 0 ，将原方程组转化为两个二元二次方程组．
【解答】
解：由方程 x2-5xy+6y2=0 得 (x-2y)(x-3y)=0 ，
即 x-2y=0 或 x-3y=0 ，
所以，原方程组可化为 x-2y=0x2-y2=1 ， x-3y=0x2-y2=1 ，
故答案为 x-2y=0x2-y2=1 ， x-3y=0x2-y2=1 ．
13.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是x=2y=4和x=-2y=-4，试写出符合要求的方程组________(只要填写一个即可)．
【答案】
y=2xxy=8
【解析】
【分析】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系 ( 和差关系或倍数关系等 ) 来表示方程组的解．
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可．
【解答】
解：根据方程组的解可看出： xy=8 ， y=2x ，
∴符合要求的方程组为y=2xxy=8．
故答案为y=2xxy=8．
14.关于x、y的二元二次方程组x+y=axy=b的一个解是x1=1y1=-2；那么这个方程组的其余的解是______．
【答案】
x2=-2y2=1
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把 x 与 y 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，即可确定出其余解．
【解答】
解：把 x1=1y1=-2 代入方程组得： a=-1b=-2 ，
方程组为 x+y=-1xy=-2 ，
则这个方程组的其余解是 x2=-2y2=1 ，
故答案为： x2=-2y2=1
15.已知，抛物线y=12x2-x+2与直线y=x-2的图象如图，点P是抛物线上的一的一个动点，则点P到直线y=x-2的最短距离为_________．
【答案】
2
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、一次函数图象上的点的特征，二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．设过点 P 平行直线 y=x-2 的解析式为 y=x+b ，当直线 y=x+b 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线 y=x-2 的距离最小，设直线 y=x-2 交 x 轴于 A ，交 y 轴于 B ，解直角三角形求得 AB ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得 OC 的长即可解决问题；
【解答】
解：设过点 P 平行直线 y1 的解析式为 y=x+b ，
当直线 y=x+b 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线的距离最小，
由 y=12x2-x+2y=x+b ，消去 y 得到： x2-4x+4-2b=0 ，
当 △=0 时， 16-16+8b=0 ，
∴b=0 ，
∴ 直线的解析式为 y=x ，
如图作 OC⊥AB 于 C ，
直线 y=x-2 交 x 轴于 A ，交 y 轴于 B ，则 A(2,0) ， B(0,2) ，
∴OA=OB=2 ，
∴AB=22 ，
∵OC⊥AB ，
∴AC=BC ，
∴OC=12AB=2 ，
故填 2 ．
16.解方程组x2+4y2=43x+2y=2：______________________．
【答案】
x1=0y1=1,x2=3y2=-12
【解析】
【分析】
本题主要考查二元二次方程组，考查一元二次方程的解法与代入消元法，将二元二次方程转化为一元二次方程是解答的关键，属于中档题．
将 ② 式变形代入 ① 式消去 y ，得到关于 x 的一元二次方程，即可求解．
【解答】
解： x2+4y2=4①3x+2y=2②
② 变形： y=2-3x2 ， ③
把 ③ 代入 ① 得： x2+4×4-43x+3x24=4 ，
x2-3x=0 ，
x1=0 ,x2=3 ，
当 x=0 时， y=1 ，
即 x1=0y1=1,
当 x=3 时， y=-12
即 x2=3y2=-12 ．
故答案为 x1=0y1=1,x2=3y2=-12 ．
17.关于x的不等式组2a-x>32x+8>4a的解集中每一个值均不在1≤x≤8的范围中，则a的取值范围是______．
【答案】
a≥6或a≤2
【解析】解：2a-x>3 ①2x+8>4a ②
∵解不等式①得：x<2a-3，
解不等式②得：x>2a-4，
∴不等式组的解集是2a-4
∴2a-4≥8且2a-3≤1，
解得：a≥6或a≤2，
故答案为：a≥6或a≤2．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．
18.已知关于x的不等式组5x-a>3(x-1)2x-1≤7的所有整数解的和为7，则a的取值范围是______．
【答案】
7≤a<9或-3≤a<-1
【解析】解：5x-a>3(x-1) ①2x-1≤7 ②，
∵解不等式①得：x>a-32，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为a-32
∴当a-32>0时，这两个整数解一定是3和4，
∴2≤a-32<3，
∴7≤a<9，
当a-32<0时，-3≤a-32<-2，
∴-3≤a<-1，
∴a的取值范围是7≤a<9或-3≤a<-1．
故答案为：7≤a<9或-3≤a<-1．
先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
19.若关于x的一元一次不等式组x-1>02x-a<0有2个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
6
【分析】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于 a 的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于 a 的不等式组，解之可得答案．
【解答】
解：解不等式 x-1>0 ，得： x>1 ，
解不等式 2x-a<0 ，得： x
∴ 不等式组的整数解为 2 、 3 ，
则 3
【答案】
a>-1
【解析】解：∵关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x>1，
∴a+1>0，
解得a>-1，
故答案为：a>-1．
根据关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x>1，可知a+1>0，从而求得a的取值范围，本题得以解决．
21.已知x+y+z=15-3x-y+z=-25，x、y、z为非负数，且N=5x+4y+z，则N的取值范围是______．
【答案】
55≤N≤65
【解析】解：方程组整理得：y+z=15-x ①y-z=25-3x ②，
①+②得：2y=40-4x，
解得：y=20-2x，
①-②得：2z=2x-10，
解得：z=x-5，
代入得：N=5x+80-8x+x-5=-2x+75，
由x，y，z为非负数，得到20-2x≥0，x-5≥0，
解得：5≤x≤10，即55≤-2x+75≤65，
则N的范围是55≤N≤65．
故答案为：55≤N≤65
把x看做已知数表示出方程组的解，代入N求出范围即可．
此题考查了解三元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.如果不等式组9x-a≥0,8x-b<0的整数解有且仅有一个，这个解为1，且a，b均为整数，则a+b的最大值是______．
【答案】
25
【解析】解：解不等式9x-a≥0，得：x≥a9，
解不等式8x-b<0，得：x
∴0
则a+b的最大值为9+16=25，
故答案为：25．
分别求出两个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再根据有且只有一个正整数解1列出关于a、b的不等式组，解之求出整数a、b的最大值，然后相加即可得解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解，然后根据整数解求出a、b的值是解题的关键．
三、解答题
23.已知关于x，y的方程组 2x+y=1+3mx+2y=1-m的解满足x+y<0，求m的取值范围．
【答案】
解：2x+y=1+3m①x+2y=1-m②，
①+②，得
3x+3y=2+2m，
∴x+y=2+2m3，
∵x+y<0，
∴2+2m3<0，
解得，m<-1，
即m的取值范围是m<-1．
【解析】根据题目中的不等式组可以求得x+y的值，从而可以求得m的取值范围．
本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
24.已知方程组x+y=-7-mx-y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围．
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解为x>1．
【答案】
解：(1)解方程组x+y=-7-mx-y=1+3m，得：x=m-3y=-2m-4，
根据题意，得：m-3≤0-2m-4<0，
解得-2
(2)由(2m+1)x<2m+1的解为x>1知2m+1<0，
解得m<-12，
则在-2
(2)由不等式的性质求出m的范围，结合(1)中所求范围可得答案．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
25.已知关于x的不等式(x-5)(ax-3a+4)≤0．
(1)若x=2是该不等式的解，求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，且x=1不是该不等式的解，求符合题意的一个无理数a．
【答案】
解：(1)把x=2代入(x-5)(ax-3a+4)≤0得：(2-5)(2a-3a+4)≤0，
解得：a≤4，
所以a的取值范围是a≤4；
(2)由(1)得：a≤4，
取a=π，
此时该不等式为(x-5)(πx-3π+4)≤0，
当x=1时，不等式的左边=(1-5)(πx-3π+4)=-4(4-2π)，
∵4-2π<0，
∴不等式的左边大于0，
∴x=1不是该不等式的解，
∴在(1)的条件下，满足x=1不是该不等式的解的无理数a可以是π．
【解析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的解集，能求出a的范围是解此题的关键．
(1)把x=2代入不等式，求出不等式的解即可；
(2)取a=π，再代入求出即可．
26.解二元二次方程组x+y-1=0x2-y-2x-1=0
【答案】
x1=2y1=-1,x2=-1y2=2
【解析】
【分析】
把方程①变形为y=1-x，利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解．
【详解】
解：x+y-1=0①x2-y-2x-1=0②,
把①变形y=1-x，代入②得x2-(1-x)-2x-1=0，
化简整理得x2-x-2=0，
∴x1=2，x2=-1，
把x=2代入①得y=-1，
把x=-1代入①得y=2，
所以原方程组的解为：x1=2y1=-1,x2=-1y2=2．
【点睛】
本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
27.已知x，y满足方程组x2+xy+4y2=102x2-xy+8y2=5
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是__ ；
(2)求x2+4y2的值；
(3)若已知1x+12y=2y+x2xy和2y+x2=x2+4y2+4xy；则1x+12y=__ (直接写出答案，不用写过程)．
【答案】
解：(1)乙；
(2)x2+xy+4y2=10⋯①2x2-xy+8y2=5⋯②，
①+②得：3x2+12y2=15，则x2+4y2=5；
(3)±12．
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的概念，加减消元法解二元二次方程组，
(1) 根据二元一次方程组的概念进行判定即可；
(2) 将方程组的两个方程相加整理即可得到结论；
(3) 方程组中 ②-2×① 求得 xy 的值，结合 (2) 的结论求出 2y+x 的值，即可进一步得解．
【解答】
解： (1) 二元一次方程组的定义为：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 ，这样的整式方程叫做二元一次方程．
题目所给的方程组中未知数的项的次数不为 1 ，故不是二元一次方程组．
故答案为乙；
(2) 见答案；
(3)x2+xy+4y2=10⋯①2x2-xy+8y2=5⋯②
②-2×① 得： -3xy=-15 ，
解得 xy=5 ，
∵ 由 (2) 可知， x2+4y2=5 ，
∴(2y+x)2=x2+4y2+4xy=5+4×5=25 ，
∴2y+x=±25=±5 ，
1x+12y=2y+x2xy=±52×5=±12 ．
故答案为 ±12 ．
28.阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如x2+y2=102x-y=5①②的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x-5 ③
将③代入①得：x2+(2x-5)2=10
整理得：x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3
将x1=1,x2=3代入③得y1=1×2-5=-3，y2=2×3-5=1
∴原方程组的解为x1=1y1=-3,x2=3y2=-1
(1)请你用代入消元法解二元二次方程组：2x-y=3y2-4x2+6x-3=0①②；
(2)若关于x,y的二元二次方程组2x+y=1ax2+y2+2x+1=0①②有两组不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】
解：
(1)
由①得，y=2x-3③，
把③代入②得，(2x-3)2-4x2+6x-3=0，
整理得，6x=6，
解得x=1，
把x=1代入③得，y=-1，
故原方程组的解为x=1y=-1；
(2)
由①得，y=1-2x③，
把③代入②得，ax2+(1-2x)2+2x+1=0，
整理得，(a+4)x2-2x+2=0，
原二元二次方程组有两组不同的实数解，则此一元二次方程有两个不相等的实数根，
得，Δ=22-4×2×(a+4)>0，
解得a<-72，
且∵a+4≠0，
∴a≠-4，
综上，a<-72且a≠-4．
【解析】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
(1)用代入消元法，先消去未知数y，再解关于未知数x的一次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；
(2)用代入消元法，先消去未知数y，得到关于未知数x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可．
29.求方程x2+6xy-7y2=2009的正整数解．
【答案】
解：∵方程x2+6xy-7y2=2009，
∴(x-y)(x+7y)=2009，
∵2009=7×7×41，且x，y均是正整数，则0
相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，1．
故上述六种关系中，只有三种可能成立：
① 或②x-y=7x+7y=287或③x-y=41x+7y=49,
解得x=252y=251或x=42y=35或x=42y=1．
即为方程的正整数解．
【解析】本题主要考查非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是进行因式分解，此题难度一般．
首先把方程x2+6xy-7y2=2009左边因式分解得(x-y)(x+7y)，又知2009=7×7×41，即当x-y=1，7，41，49，287，2009时，相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，．
结合x，y都是正整数，解出x，y的值．
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