专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质
【知识点梳理】
知识点1：根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
．①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
知识点2：根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
知识点3：二次函数图像的伸缩变换
问题 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)
知识点4：二次函数图像的平移变换
函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
【题型归纳目录】
题型1：根的判别式
题型2：根与系数的关系（韦达定理）
题型3：二次函数图像的伸缩变换
题型4：二次函数图像的平移变换
【典型例题】
题型1：根的判别式
例1．已知关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k+1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
【答案】且
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且；
解得，且．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
例2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
【答案】(1)m的值为1或-2
(2)-2＜m＜1
(3)m＝或m＝
【解析】
【分析】
（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.
(1)
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
(2)
解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
(3)
解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵边长必须是正数，
∴m＝．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.
例3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据（1）确定，从而求出方程的解为，然后分相同的根为时和时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，
∴，
∴；
(2)
解：∵， k是符合条件的最大整数，
∴，
∴方程即为，
解方程得：，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根
当这个相同的根为时，
∴，
∴；
当这个相同的根为时，
∴，
∴，
∵当时，方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0即为不是一元二次方程，
∴．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
例4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
【答案】(1) 且
(2)另一个根为
【解析】
【分析】
（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．
（2）将x=0代入原方程，求出m，再解方程即可．
(1)
解：∵是一元二次方程，
，
∵一元二次方程有两个不相等的实数，
，
即： ，
整理得： ，
，
综上所述： 且．
(2)
∵方程有一个根是0，
将x=0代入方程得： ，
，
则原方程为： ，
解得： ，
∴方程的另一个根为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．
例5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数的值．
【答案】(1)见解析
(2)x=2是方程的一个根，
【解析】
【分析】
（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
(1)
证明：∵Δ=（-m）2-4×（2m-4）
=m2-8m+16
=（m-4）2，
∵（m-4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)
解：把x=2代入方程左边，得左边=22-2m+2m-4=0=右边，
∴x=2是方程x2-mx+2m-4=0的一个根；
用因式分解法解此方程x2-mx+2m-4=0，
可得（x-2）（x-m+2）=0，
解得x1=2，x2=m-2，
若方程有一个根为负数，则m-2＜0，
故m＜2，
∴正整数m=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
题型2：根与系数的关系（韦达定理）
例6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求方程的两个根．
【答案】(1)且
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；
（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根．
(1)
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得：且．
(2)
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴当时，方程为：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴方程有两个不相等的实数根；⑵方程有两个相等的实数根；⑶方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
例7．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可．
(1)
解：∵一元二次方程，
，


∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)
解：依题意得，，，
∵，∴，
∴，即，
（3a+1）（a-1）=0，
解得，；
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，．
例8．若为一元二次方程的根；
(1)则方程的另外一个根______，______；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据是为一元二次方程的根，可得，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．
(1)
解：∵为一元二次方程的根，设方程的另外一个根为，
∴


故答案为：，；
(2)
是为一元二次方程的根
，
，，
，，
，，



，，
原式
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
例9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则，由此求得的取值范围；
（2）由得，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．
(1)
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
(2)
解：根据题意得，，．
，
，
即，
解得或，
又，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．
例10．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=4k，x1x2=3k2，结合（x1-x2）2=9，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
(1)
∵，且无论k为何实数，
∴Δ≥0
∴该方程总有两个实数根；
(2)
方法一：设该方程两个实数根分别为，则有
，

则



解得：
∵．
∴
方法二：
解得：，
由题意得：

，
解得：
∵．
∴
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1-x2）2=1，找出关于k的方程．
题型3：二次函数图像的伸缩变换
例11．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)若点A的坐标为（4，0）、点B的坐标为（﹣1，0），求a+b的值；
(2)若y＝ax2+bx﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B的坐标为（﹣1，0），当a+b为整数时，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入A、B坐标，求出a、b的值即可得解；
（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a＞0，根据顶点在第四象限得出，求出a的取值范围，进而得出a+b的取值范围，即可求解．
(1)
代入A、B坐标，可得：
，
解得，
则a+b=-1；
(2)
∵抛物线顶点在第四象限，又与x轴有两个交点，
∴抛物线的开口向上，即a＞0，且抛物线对称轴，
∵抛物线过B点(-1,0)，
∴代入B点坐标可得：a-b-2=0，则有b=a-2，
∴，
解得a＜2，
∴，
∵a+b=a+a-2=2a-2，
∴，
∵a+b是整数，
∴a+b=a+a-2=2a-2为整数，
∴2a-2可以为-1,0,1，
∴a可以为，1，．
【点睛】
本题考查了求解抛物线与x轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a＞0，是解答本题的关键．
例12．抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线．

(1)如图1，若点C坐标为，则_______，_________；
(2)若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形面积最大时，点P坐标和四边形的最大面积；
(3)如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作别交抛物线于点M，N，当时，求c的值．
【答案】(1)，2；
(2)点P（-2，3），四边形ABCP的最大面积为9；
(3)．
【解析】
【分析】
（1）根据解析式和对称轴可求出b，根据C点坐标即可求出ｃ；
（2）求出，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，设点，，求出，进一步求出S四边形ABCP，即可求出结果；
（3）求出直线CD的解析式为：，进一步可得直线MN的解析式为：，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，证明，即可求出结果．
(1)
解：由题意可知：
∵，∴，
∵点C坐标为，∴；
(2)
解：令，整理得，
解得或，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，

设点，则点，
，
∴，
∴S四边形ABCP，
∵，函数图象开口向下，又，
∴当时，S四边形ABCP最大 = 9，
此时点，
∴当点时，四边形ABCP的最大面积，最大面积为9；
(3)
解：∵，
∴，
又∵，
∴设直线CD的解析式为（k≠0） ，代入点D，C的坐标得
，
解得，
∴直线CD的解析式为：，
∵，
∴直线MN的解析式为：，
由题意，联立，
得：，
解得：，
由题意，，，
，
分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，
∴，，

∴，
∴，
∵ MN＝3CD，
∴，
∵，，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．
例13．二次函数（，，是常数，）．当时，函数有最小值．
(1)若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式．
(2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点．
①求该二次函数图象的顶点坐标．
②若是该二次函数图象上的两点，求证：．
【答案】(1)
(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a，即可求解；
（2）①将顶点代入，再利用，进行转化后，求出即可求解；
②设函数表达式为，代入两点坐标后得到p和q的表达式，利用作差法比较大小即可．
(1)
解：由题意，得函数图象的顶点坐标为，
所以可设函数表达式为，
把代入，解得，
所求函数的表达式为．
(2)
①由题意，将顶点代入，
化简，得．
又因为，
所以，．所以，
所以顶点坐标为．
②由①可知，函数顶点坐标为，，
所以可设函数表达式为．
所以．
．
因为函数有最小值，所以，
所以，所以．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．
例14．已知点P是二次函数图像的顶点．

(1)小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：
①将下表填写完整：
m
-1
0
1
2
3
P点坐标


_________
________
________

②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，
(2)若过点（0，2），且平行于x轴的直线与的图像有两个交点A和B，与②中得到的函数的图像有两个交点C和D，当时，直接写出m的值等于________；
(3)若，点Q在二次函数的图像上，横坐标为m，点E在②中得到的函数的图像上，当时，求出E点的横坐标（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是，验证见解析；
(2)或；
(3)
【解析】
【分析】
（1）点P是二次函数图像的顶点，得到点P的坐标表示为（m－1，），分别带入m的值求解P点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x＝m－1代入函数表达式验证即可；
（2）根据题意求出AB和CD的长度，利用AB＝CD，列出方程并解方程即可求得m的值；
（3）求出点Q的坐标，设点E的坐标为（t，），利用两点间距离公式表示出、、，由勾股定理得到＋＝，整理后即可表示出点E的横坐标
(1)
解：∵点P是二次函数图像的顶点 ，
∴点P的坐标表示为（m－1，）
当m＝1时，m－1＝0，＝，此时P点坐标是（0，﹣1）；
当m＝2时，m－1＝1，＝，此时P点坐标是（1,1）；
当m＝3时，m－1＝2，＝，此时P点坐标是（2,5）；
填写表格如下：
m
-1
0
1
2
3
P点坐标


（0，﹣1）
（1，1）
（2，5）

故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；
②描出表格中的五个点，如图所示，

猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为，
把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得

解得
∴函数表达式为
当x＝m－1时，，
∴点P在二次函数的图像上，猜想成立．
(2)
解：∵过点（0，2），且平行于x轴的直线与的图像有两个交点A和B，
∴当y＝2时，，
方程整理得
解得，，
∴AB＝｜｜＝2
∵过点（0，2），且平行于x轴的直线与抛物线有两个交点C和D，
∴当y＝2时，，
解得，，
CD＝｜｜＝｜－｜＝，
∵AB＝CD
∴2＝
整理得
解得，；
故答案为：或；
(3)
解：∵点Q在二次函数的图像上，横坐标为m，
∴当x＝m时，y＝，
∴点Q的坐标是（m，），
∵点E在②中得到的函数的图像上，
∴可设点E的坐标为（t，）
由（1）知点P的坐标表示为（m－1，），
则，
，
，
∵
∴△EPQ是QE为斜边的直角三角形，
由勾股定理得＋＝，
∴＋2＝
解得t＝．
∴点E的横坐标是．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键．
题型4：二次函数图像的平移变换
例15．已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0．
(1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
(3)在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
【答案】(1)证明过程见详解．
(2)a＝1，(﹣2，﹣1)
(3)h＝或﹣≤h<2
【解析】
【分析】
（1）分别讨论当a＝0和a≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
（2）令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0，求出两根，再根据抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求出a的值，即可求顶点坐标；
（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h的范围，由平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点，联立方程组可求h的值，即可求解．
(1)
解：当a＝0时，原方程化为x+3＝0，此时方程有实数根 x＝﹣3．
当a≠0时，原方程为一元二次方程．
∵∆＝（3a+1）2﹣12a＝9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2≥0．
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论a为任何实数时，方程 ax2+（3a+1）x+3＝0总有实数根．
(2)
∵令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0．
解得 x1＝﹣3，x2＝﹣．
∵抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，
∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．
∴顶点H坐标为（﹣2，﹣1）；
(3)
∵点O（0，0），点H（﹣2，﹣1）
∴直线OH的解析式为：y＝x，
∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．
∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h，h），
∴解析式为：y＝（x﹣h）2+h，
∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，
∴点C坐标为（0，5）
当抛物线经过点C时，
∴5＝（0﹣h）2+h，
∴h1＝﹣，h2＝2，
∴当﹣≤h<2时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点；
当平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点，
联立方程组可得，
∴x2+（1﹣2h）x+h2+h﹣5＝0，
∴∆＝（1﹣2h）2﹣4（h2+h﹣5）＝0，
∴h＝，
∴抛物线y＝（x﹣）2+与射线CD的唯一交点为（3，2），符合题意；
综上所述：平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，顶点横坐标h＝或﹣≤h<2．
【点睛】
此题考查了根的判别式、二次函数与x轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD是射线，分情况讨论．
例16．已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
【答案】(1)；
(2)3；2
【解析】
【分析】
（1）把点代入，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（2）把C代入可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．
(1)
将代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，，
∴顶点坐标为；
(2)
把C代入得，
，
设直线AB的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵顶点的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴．
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．
例17．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点．

(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图1，点P在线段上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，求的面积的最大值；
(3)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，，，
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线，根据点的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据题意求得直线的解析式为，设，则，进而根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据即可求解；
（3）设，，，则，，，分①当时，，即，②当时，，即，③当时，即，解方程求解即可．
(1)
解：由题意得抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线，
将代入，得：，解得：，
∴抛物线H的表达式为；
(2)
如图1，由（1）知：，令，得，

∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴PD//OC，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，；
(3)
∵．
∴设，，
∴，，
①当时，
即，
解得
∴，

②当时，，即
解得，即
③当时，即
解得，即
综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．
例18．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点，且．点E是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E作轴，交抛物线于点F．

(1)若，求抛物线的解析式以及点E的坐标；
(2)若点E沿抛物线向下移动，使得对应的EF的取值范围为，求移动过程中点F的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件求出A的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点，利用E是对称轴左侧的抛物线上一点，EF=3，得到，利用抛物线的对称轴为直线x=1，得到，联立即可求得的值，再代入抛物线即可求出答案；
（2）设点，利用E是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF=，利用抛物线的对称轴为直线x=1，得到，则，可得，利用已知条件求出的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论．
(1)
解：点，
，
，
，
点，
抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
解得：
∴抛物线的解析式为，
轴，
设点，
点E是对称轴左侧的抛物线上一点，，
，
，
∴抛物线的对称轴：直线，
，
∴
解得：
当时，
点．
(2)
轴，
设点，
，
抛物线的对称轴：直线，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
∴移动过程中点F的纵坐标的取值范围：．


【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
例19．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，其对称轴为直线．
(1)抛物线l的函数表达式为__________．
(2)设抛物线l与y轴交于点C，直线与的交点为M．将抛物线l向左平移个单位得到抛物线，与直线交于点N．当点N在点M下方时，m的取值范围是___________．
【答案】(1)

(2)

【解析】
【分析】
（1）由对称轴为直线，，可得坐标，将坐标代入，求出的值，进而可得抛物线的函数表达式；
（2）如图，将代入，求出点坐标，设直线的解析式为，待定系数法求解析式为，将代入求出的点坐标，平移后的的解析式为，设，，将代入得，则，计算求出满足要求的解集即可．
(1)
解：∵对称轴为直线，
∴，
将，代入得，
解得
∴抛物线的函数表达式为
故答案为：．
(2)
解：如图，

将代入得，
∴
设直线的解析式为
将点坐标代入得，
解得
∴线的解析式为
将代入得
∴
平移后的的解析式为
设，
将代入得
∴
解得
∵
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
例20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，且有OB=2OA，顶点为D点．

(1)求抛物线解析式，并根据图象直接写出当y<0时x的取值范围；
(2)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解折式．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由OB=2OA，设 则 再利用抛物线的对称轴列方程求解m，从而可得答案；
（2）先求解抛物线的顶点坐标为： 确定抛物线的平移方式为：先向左边平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，从而可得答案．
(1)
解： OB=2OA，设

所以抛物线的对称轴为：
二次函数的对称轴为：
解得：

解得：
所以抛物线为：，
所以时，
(2)
解： ，
抛物线的顶点坐标为：

所以抛物线的平移方式为：先向左边平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，
所以平移后的抛物线为：
【点睛】
本题考查的是抛物线的性质，利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的平移，理解线段的长度与坐标的关系是解本题的关键．


【过关测试】
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（       ）
A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【详解】
关于x的一元二次方程的两实数根为，
，
，
，即，
解得或，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．
2．已知抛物线与轴没有交点，则函数和函数的大致图像是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可以得到m的取值范围，再根据反比例函数和一次函数的图象与性质即可得到解答．
【详解】
解：∵抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴没有交点，
∴方程−x2−2x+m+1=0没有实数根，
∴Δ=4+4×1×(m+1)=4m+8<0，
∴m<−2，
∴−m>2，
故函数y=的图象在第二、四象限，
函数y=mx−m的图象经过第一、二、四象限.
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、反比例函数与一次函数的图象与性质是解题关键．
3．如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成.若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（       ）

A．12 B．13 C．24 D．25
【答案】D
【解析】
【分析】
根据a+1=b和勾股定理建立方程，再解出a即可．
【详解】
解：由图可得：b=a+1，
由勾股定理得：，
即，

解得，
∴b=3
，

故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理和一元二次方程在几何题中的应用，掌握这些知识点是关键．
4．下列结论中： ①若 ， 则 ；②若 ， 则 的值为 ； ③若规定： 当 时， ， 若 ， 则 ；④若 ， 则 可表示为 ； ⑤若 的运算结果中不含 的一次项， 则 ． 其中正确的个数是 （　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是−1的偶数次幂；
②先求出ab的值，再求出a＋b的值，最后代入代数式求值即可；
③根据新定义列出方程求解即可；
④把a，b先化成底数为2的式子，然后再求值；
⑤根据平方差公式判断即可．
【详解】
解：①可以分为三种情况：
当x＋1＝0时，x＝−1；
当1−x＝1时，x＝0；
当1−x＝−1，x＋1为偶数时，x＝2，但x＋1＝3不是偶数，舍去；
综上所述，x＝−1或0．
∴①不符合题意；
②（2−a）（2−b）
＝4−2b−2a＋ab
＝4−2（a＋b）＋ab，
∵a−b＝1，
∴（a−b）2＝1，
∴a2＋b2−2ab＝1，
∵
∴ab＝1，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝3＋2＝5，
∴a＋b＝±，
当a＋b＝时，原式＝4−2＋1＝5−2；
当a＋b＝−时，原式＝4＋2＋1＝5＋2，
∴a＋b＝5±2．
∴②不符合题意；
③根据定义得：a＋4−a-a（4−a）＝0，
解得：a＝2，
∴③符合题意；
④∵4x＝（22）x＝22x，8y＝（23）y＝23y，
∴24x−3y＝24x÷23y＝(4x)2÷8y＝，
∴④不符合题意；
⑤若 的运算结果中不含x的一次项， 则 ，符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了零指数幂，完全平方公式，幂的运算，综合性比较强，解题时注意分类讨论．
5．已知实数a，b同时满足，则b的值是（       ）
A．2或 B．2 C．或6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由实数a，b同时满足，先消去a，求解b，再检验即可．
【详解】
解： 实数a，b同时满足，


解得：
当时，不合题意，故舍去，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．
6．设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（       ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
【答案】A
【解析】
【分析】
设y1= a1(x1+1)(x1−2)，y2= a2( x2+1)( x2−2)，y3= a3(x3+1)( x3−2)，得y1= a1(x1+1)(x1−2)=，y2= a2( x2+1)( x2−2)=，y3= a3(x3+1)( x3−2)= ，分别得到顶点坐标 ，，抛物线于x轴的交点坐标是（-1，2），据此作出函数图像，结合函数图像即可得答案．
【详解】
解：设y1= a1(x1+1)(x1−2)，y2= a2( x2+1)( x2−2)，y3= a3(x3+1)( x3−2)，
∵a1>a2>a3>0，
∴开口大小为：y1﹤y2＜y3，
∴函数图像大致为下图，

∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
当y1=1，y2=2，y3=3时，分别交函数于A、B、C三点，
∴x1﹥x2﹥x3，
∴B、C、D错误，不符合题意，A正确，符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是在于根据题意作出函数图像，由函数图像直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．
7．已知二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为6，则m的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解．
【详解】
由，可得，
∵m＜0，
∴当x=-1时，函数有最大值，且，
在范围内，函数先递增再递减，
则：当x=-3时，y=3+6m，
当x=2时，y=3+16m，
∵m＜0，
∴函数的最小值为：，
∵，
∴，
∴解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式是解答本题的关键．
8．二次函数图象上一点，当时，存在b=0，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解析式求得对称轴为，根据题意分两种情况讨论，分别求得时的函数值，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】

抛物线开向上，对称轴为
①当时，，时，
即
解得
即
②
当时，
故当时，，时，此情形不存在
③时，，时，

解得
无解
综上所述，
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据题意分情况讨论是解题的关键．
9．二次函数（）的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③若与是抛物线上的两点，则；④，其中正确的结论是（       ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象可得c=2，b=-a，结合图象逐个推导即可求解．
【详解】
解：根据图象可知，c=2，抛物线与x轴有两个交点，所以；
即，；①正确；
根据图象可知，当x=-1时，函数值小于0，即，
∴；②错误；
根据图象可知，当x=1时，函数值大于0，
∴；③正确；
根据抛物线开口向下，
∴；
抛物线对称轴为直线，；
∴，
把代入得，，
解得，；④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确进行推理证明．
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（﹣2，m＋2），B（4，n）均在这条抛物线上，则下列正确的是（       ）
A．m﹣n≥﹣2 B．m﹣n＞﹣2 C．m﹣n＜2 D．m﹣n＜﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质可知点P为抛物线的顶点，从而得到抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点P(2，y0)，且对于抛物线上任意一点(x1，y1)都有y1≥y0，
∴点P(2，y0)为抛物线的最低点即顶点，此时a＞0，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴根据抛物线的对称性可得点（-2，m+2）与点(6，m+2)关于抛物线的对称轴对称，
∵a＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵6＞4，
∴m+2>n，
∴m-n＞-2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，数形结合法，掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则_____
【答案】-7
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系与方程解的概念得到，根据所求通过恒等变形求解即可．
【详解】
解：、分别为一元二次方程的两个实数根，
，
由可得，即，
，即，
故答案为：-7．
【点睛】
本题考查代数式求值，涉及到一元二次方程根与系数关系、方程解的概念，根据所求代数式，准确将已知条件恒等变形求值是解决问题的关键．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式得出△=0，即b2＝4a，将该式代入后进一步变形即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，
把b2＝4a代入得：
原式＝
=
＝4
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式的实际运用，熟练掌握一元二次方程根的判别式，是解题关键．
13．设，是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程解的定义得到，则原式可化简为，然后根据根与系数的关系得到，，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
解：，是方程的两个实数根，
则，，
且，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（≠0）的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
14．已知一元二次方程的一个根为，则该方程的另一个根为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先将代入求得m的值，然后解一元二次方程即可求出另一根．
【详解】
解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴，即，
∴，，
解得：或，
∴该方程的另一根为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，利用求出m的值是解答本题的关键．
15．从2，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（m2﹣6）x的图象经过第二、四象限，且使关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是 _____．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】
先利用正比例函数的性质可判断m可以取2，0，−1，−2，再根据根的判别式的意义得到m＋1≠0且Δ＝m2−4（m＋1）≥0，则m可以取−2，−3，然后确定满足题意得m的值，最后根据概率公式求解．
【详解】
解：∵函数y＝（m2−6）x的图象经过第二、四象限，
∴m2−6＜0，
∴m可以取2，0，−1，−2，
∵关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋mx＋1＝0有实数根，
∴m＋1≠0且Δ＝m2−4（m＋1）≥0，
∴m可以取−2，−3，
∴满足条件的m的值只能为−2，
∴使函数y＝（m2−6）x的图象经过第二、四象限，且使关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋mx＋1＝0有实数根的概率＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率公式：某随机事件的概率＝这个随机事件发生的情况数除以总情况数．也考查了根的判别式和正比例函数的性质．
16．点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据a＜0，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，可求出t=，根据根据t+1＞t，，即可求出t的取值范围．
【详解】
根据a＜0，可知抛物线开口向下，
根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，
则有时，y随x的增大而增大；
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有，
解得，
∵t+1＞t，，
又∵则有时，y随x的增大而增大；
∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，
当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，
随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有，
继续正方向移动，则有，
∴满足的t的取值范围：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线图像的性质，根据当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时求出t的临界值是解答本题的关键．
17．在平面直角坐标系中，，抛物线的解析式为．
（1）若此抛物线经过A，B两点，则_________；
（2）若此抛物线经过点A，且与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是_________．
【答案】     1     或
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点代入解析式即可求解；
（2）根据题意分两种情况讨论，分别根据直线与抛物线只有1个交点以及经过时，求得的值，进而求得的取值范围．
【详解】
（1）将点代入，得，
，
解得，
，
故答案为：1；
（2）当此抛物线经过点A，则，得，
则
则抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，将代入得，
，
解得，
线的解析式为，
，
则，
，
，
解得，即时抛物线与直线AB有两个交点，但根据越小，函数开口越大，∴当时，可知当时，另外一个交点在A点左侧，舍去，
当时，与线段有两个不同的交点，

当时，当经过点时，

，
解得，
∴时，与线段有两个不同的交点，
综上所述，当或时，与线段有两个不同的交点，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
18．抛物线（a、b、c是常数，）的对称轴是直线，图象与x轴一个交点横坐标在-2和-1之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则p的值有3个．其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据对称轴可得a，b之间关系，知c和与x轴的交点可简略画出函数图象，借助函数图象分析四个结论是否正确．
【详解】
解：二次函数对称轴x = 1，c<0，与y轴一个交点横坐标在―2和-1之间，可作出函数大致图象，

①对称轴，则b=-2a ，
故①正确；
②由图可知，当x=-1时，y<0，
即y=a-b+c=a +2a+c =3a+c<0，
故②正确；
③函数图象开口朝上，距离对称轴越近，y值越小，
∵点A离对称轴距离为4，点B离对称轴距离为，，
∴；
故③错误；
④若一元二次方程ax2+bx+c=p(p<0)的根为整数，
即二次函数y = ax2+bx+c与直线y=p(p<0)的交点横坐标为整数，
横坐标可以是-1，0，1，2，3，
∵x=-1与x=3，x=0与x=2关于对称轴对称，分别为一组，
∴对应P点的位置有三个，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查二次函数与图象与系数之间的关系、二次函数上点的坐标特征和判定根的情况，解题的关键是数形结合思想，借助函数图象分析解题．
19．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】
解：由题意得
解得
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
20．已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：是方程的一个根；当时，随的增大而减小；；正确的是______把所有正确结论的序号都写在横线上

【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：抛物线开口向下，故错误，不符合题意；
方程的一个根是，函数对称轴为：，则是方程的一个根，符合题意；
当时，，正确，符合题意；
当时，随的增大而减小错误，不符合题意；
抛物线和轴有两个交点，故，符合题意；
故答案为：．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用函数图象确定字母系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
三、解答题
21．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米．

(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米
(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米
【解析】
【分析】
（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
(1)
设篱笆的一面AB的长为x米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)
由题意得，
时，S取得最大值，此时，S=312.5，
所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的应用及最值问题，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍.
(1)求商家购买笔和圆规的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？
【答案】(1)商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元；
(2)每个圆规的售价为11元
【解析】
【分析】
（1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，列出分式方程，即可求解；
（2）设每个圆规的售价为m元，根据笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程，进而即可求解．
(1)
解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，
由题意得：，
解得：x=4，
经检验：x=4是方程的解，
∴10-x=6，
答：商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元．
(2)
设每个圆规的售价为m元，
由题意得：(8-4)×50+（m-6）×（）=400，
解得：m=10或m=11，
∵降价幅度不超过10%，
∴m=11，
答：每个圆规的售价为11元．
【点睛】
本题主要考查分式方程和一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
23．设a，b为实数，关于的方程无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
【答案】5
【解析】
【分析】
先将分式方程通分去分母化成整式方程，再根据方程无实数解得出关于含a、b的整式的取值范围，再据此作答即可求解．
【详解】
将化简得：，
∵原分式方程无实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了将分式方程化为一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况得到方程判别式的符号以此来求解代数式值的知识，注重整体代入是解答本题的关键．
24．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，求方程的另一个根及的值．
【答案】(1)，；(2)7，
【解析】
【分析】
(1)首先根据分式的运算进行化简，再把a的值代入即可求得；
(2)把代入方程，即可求得m的值，再根据公式法解一元二次方程，即可求得另一个根．
【详解】
解：(1)


当时，原式
(2) 把代入方程
得
解得m=7
故方程为
解得
故方程的另一个根为
【点睛】
本题考查了分式的化简求值问题，利用一元二次方程的解求参数及公式法解一元二次方程，熟练掌握和运用分式的化简及利用一元二次方程的解求参数的方法是解决本题的关键．
25．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线经过A，B两点．


(1)求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．
(2)当直线l向下平移b个单位时，与的图象有唯一交点，求b的值．
(3)若直线分别交x轴，y轴于D，C两点，在y轴上是否存在一点Q，使得与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，作图象见解析
(2)b的值为
(3)存在，点Q的坐标为或
【解析】
【分析】
（1）带点求解即可；
（2）由题意得，由即可求解；
（3）根据题意，分析出符合题意的情况并求解即可；
(1)
解：将代入中得，解得：
∴
将代入中得，
∴
将、代入得，
解得：
∴
如图：


(2)
平移后的表达式为：
由题意可得
则

∴（舍去）
(3)
如图：


当时，轴，
∴
当时，
将x=0代入得
将y=0代入得
∴
∵
∵
∴，即
∴
∴
综上点Q的坐标为或
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
26．某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：
x（米）
0
0.4
0.8
1
2
3.2
4
y（米）
2
2.16
2.24
2.25
2
1.04
0

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；


(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；
(3)当球拍触球时，球离地面的高度为米．
①求此时发球机与球的水平距离；
②现将发球机向下平移了米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多少米？
【答案】(1)答案见解析；
(2)2.25；；
(3)①3米；②1.5米或2.5米．
【解析】
【分析】
(1)用描点，连线画出图象即可；
(2)从图象中得出结论；设函数解析式为y=a(x-1)²+2.25，然后用待定系数法求函数解析式即可；
(3)①把y=代入解析式，解一元二次方程即可；
②先求出平移后的解析式，再把y=代入平移后的解析式解一元二次方程即可．
(1)
如图所示：


(2)
由图象和表中数据得，最高点离地面2.25米，
故答案为：2.25；
设抛物线的解析式为y=a(x-1)²+2.25，
把（0，2）代入抛物线得：2=a(0-1)²+2.25,
解得：a=-0.25=，
∴y与x的函数解析式为：；
(3)
①当y=时， ，
解之可得：
x=3或x=-1（舍去），
所以此时发球机与球的水平距离为3米；
②由题意得：
，
当y=时， ，
解得:x=1.5或x=0.5，
∴球拍的接球位置应前进1.5米或2.5米．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握运用描点法画函数的图象、利用待定系数法求二次函数的解析式、求一元二次方程的解等是解题关键．
27．北京冬奥会的召开掀起了全民冰雪健身的狂潮，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小雪坡，运动员从点正上方滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．

(1)当运动员滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度为米，求抛物线的解析式．
(2)在（1）的条件下，当运动员滑行高度与小雪坡的竖直距离为米时，求运动员滑出后离处的水平距离．
(3)运动员若想滑行到小雪坡坡顶正上方时，与坡顶距离不小于米，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)运动员运动的水平滑出距离为8米
(3)的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）将和代入中，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设运动员运动的水平滑出距离为米时，运动员与小雪坡的竖直距离为米，根据题意可列方程，求解即可；
（3）求出当时，运动员达到坡顶正上方，根据题意列不等式组，求解即可．
(1)
将和代入中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
(2)
设运动员运动的水平滑出距离为米时，运动员与小雪坡的竖直距离为米，
由题意，得，整理，得，
解得（舍去），或，
答：运动员运动的水平滑出距离为8米．
(3)
∵抛物线过，∴．
，∴当时，运动员达到坡顶正上方，
则，解得．
故的取值范围为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的实际应用及不等式组的应用，正确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．
(1)求c的值及a，b满足的关系式．
(2)结合函数图象判断抛物线能否同时经过点．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．
【答案】(1)c=3， 3a+b=-1；
(2)能，y=
【解析】
【分析】
（1）将点和代入解析式即可求解；
（2）根据题意求得对称轴，设，将和代入解析式，待定系数法求解析式即可求解．
(1)
抛物线经过点和，
，
，
c=3， 3a+b=-1；
(2)
，，
抛物线的对称轴为
若同时经过点，
则对称轴为，
故存在抛物线能否同时经过点
设，将和代入解析式，
，
解得，
，
．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元．
(1)求每瓶A型号消毒水的进价；
(2)该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售．当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）．
①分别写出，关于x的函数关系式；
②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值；
③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价．
【答案】(1)每瓶A型号消毒水的进价为20元
(2)①，
②销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元
③4
【解析】
【分析】
（1）设每瓶A型号消毒水的进价为x元，则每瓶B型号消毒水的进价为（x+10）元，根据一共需要280元，列出方程，求解即可；
（2）①根据原售出瓶数减去因涨价减少的瓶数，列出y1与x的解析式即可；根据金额除以单价列出y2与x的解析式即可；
②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，根据总利润等于销售两种消毒水利润和列出关系式为=-5(x-45)2+2125，然后利用函数最值求解即可；
③销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，列出不等式-5(x-45)2+2125≥1945，利用图象法求出x取值范围，再由，且x为3的倍数，确定出x值，即可求解．
(1)
解：设每瓶A型号消毒水的进价为x元，依题意，得
，
解得：，
答：每瓶A型号消毒水的进价为20元．
(2)
解：①y1=100-5(x-30)=250-5x，
y2=(2000-20y1)÷30=[2000-20(250-5x)] ÷30=x-100，
∴，；
②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，依题意得：
，
，
∵，（x为大于30的整数）
∴，且x为3的倍数；
∵-5<0，
∴当元时，w有最大值，最大值为2125元，
答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元；
③由题意，得-5(x-45)2+2125≥1945.
解得：39≤x≤51，
∵，且x为3的倍数，
∴x=39,42,45,48，
∴每瓶A型号消毒水有4种定价．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，二次函数的应用．根据题意，列出函数关系式是解题的关键．
30．（1）基本问题：

①在正方形ABCD中，E是BC边上一点．如图①，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到．由此可得，与线段BE相等的线段是DF，与相等的角是．
②类比①的方法解决问题：如图②，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边上一点，且，则线段BE、DF、EF之间的数量关系是______．（直接写出结论，不需证明）
（2）拓展运用：
如图③，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是BC边上一点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，EQ．设．
①当时，求线段CF的长．
②在中，设边QE上的高为h，求h关于m的函数表达式及h的最大值．
【答案】（1）②BE＋DF＝EF；（2）①当m＝时，线段CF的长为；②h关于m的函数表达式为；当m＝时，h有最大值，最大值为
【解析】
【分析】
（1）②如图，将绕点逆时针旋转至，证明≌即可得到结论；
（2）①如图，过点F作FG⊥BC于点G，证明△BAE≌△GEF，得到CG＝BE＝，再根据勾股定理即可得到CF的长；
②如图，将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABK，证明△EAQ≌△EAK，得到∠1＝∠2，再证明△ABE∽△ECP，得到h关于m的函数表达式为，求最值即可.
【详解】
解：（1）②如图，将绕点逆时针旋转至，

，，
∵ADH=B=ADC=90°,
∴点F,点D,点H共线，       
，
，
，
，
，
≌，
，
；
故答案为：BE＋DF＝EF.

（2）①如图，过点F作FG⊥BC于点G.

∵△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF＝90°
∴AE＝EF ∠EAF＝∠AFE＝45°
∵四边形ABCD是边长为1的正方形
∴AB＝BC＝1   ∠B＝90°
∴∠BAE＋∠BEA＝90°
∠GEF＋∠BEA＝90°
∴∠BAE＝∠GEF
在△BAE和△GEF中
   
∴△BAE≌△GEF.
∴AB＝EG＝1
∴BE＝FG＝m＝
又BC＝1
∴CG＝BE＝
在Rt△CFG中
CF＝
即当m＝时，线段CF的长为
②如图，将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABK，

∴∠ABK＝∠D＝90°，∠BAK＝∠DAQ   AK＝AQ
∴∠ABK＋∠ABE＝180°
∴点K、B、E三点在同一条直线上
∵∠EAQ＝45°
∴∠EAK＝∠BAK＋∠BAE＝∠DAQ＋∠BAE＝45°
∴∠EAQ＝∠EAK
在△EAQ和△EAK中

∴△EAQ≌△EAK
∴∠AEQ＝∠AEK
∵∠AEF＝90°
∴∠1＋∠AEQ＝90°
   ∠2＋∠AEK＝90°
∴∠1＝∠2
过点P作PH⊥EQ于点H
∵PC⊥EC
∴PC＝PH＝h
又∠BAE＝∠2   ∠ABE＝∠2
∴△ABE∽△ECP.
∴
∵AB＝1   BE＝m
∴EC＝1－m
∴
∴h关于m的函数表达式为.
配方，得
∵＝－1＜0
∴当m＝时，h有最大值，最大值为
【点睛】
本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、三角形相似.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．