专题01 数与式的运算-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题01数与式的运算

【知识点梳理】

知识点1：绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式；

（2）完全平方公式．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式；

（2）立方差公式；

（3）三数和平方公式；

（4）两数和立方公式；

（5）两数差立方公式．

知识点3：二次根式

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．

（1）分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入

有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

（2）二次根式的意义

知识点4：分式

（1）分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

；

．

上述性质被称为分式的基本性质．

（2）繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

【题型归纳目录】

题型1：绝对值

题型2：乘法公式

题型3：二次根式

题型4：分式

【典例例题】

题型1：绝对值

例1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对

例2．已知x，y满足，则的平方根为（     ）

A．2 B．±2 C．4 D．±4

例3．如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a﹣3|﹣＝_____．

例4．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则

(1)请你直接写出的“近距”______﹔

(2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标：

例5．计算：．

题型2：乘法公式

例1．对于二次三项式（m、n为常数），下列结论：

①若，且，则；

②若，则无论x为何值时，都是正数；

③若，则：

④若，且，其中a、b为整数，则m可能取值有10个．

其中正确的有______．（请填写序号）

例2．先阅读后解题：

若，求m和n的值．

解：等式可变形为：

即，

因为，，

所以，

即，．

像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．

请利用配方法，解决下列问题：

(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；

(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；

(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．

例3．材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．

例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±：

材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）；

请根据材料解答下列问题：

(1)=         ；=           ．

(2)化简： ++…+．

例4．方法探究：

已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．

问题解决：

(1)对于二次多项式，我们把x＝        代入该式，会发现成立；

(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；

(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．

例5．先化简，后求值：，其中x，y满足．

例6．【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．

【典例分析】已知实数x，y满足x+y＝4，试求代数式x2+y2的最小值．

【分析】均值换元法：由x+y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2+t，再代入代数式换元求解．

【解法】∵x+y＝4，∴设x＝2+t，y＝2﹣t，

∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2

＝2t2+8≥8，

∴x2+y2的最小值是8．

【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：

(1)若实数a，b满足a+b＝2，求代数式a2+b2+2的最小值；

(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．

(3)若实数a，b，c满足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．

题型3：二次根式

例1．若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．

例2．已知，求的值．

例3．（1）计算：

_______

_______

_______

（2）由以上计算结果：可知的倒数是_______．

（3）比较与的大小．

例4．计算：

(1)

(2)

(3)

例5．一只虫子在平面直角坐标系内爬行，从P点出发向右爬行3个单位，再向上爬行5个单位到达点Q，点P坐标为(，n)，设点Q的坐标为(m，+1)．　

(1)求m和n的值．

(2)已知，求x，y，及代数式的值．

题型4：分式

例1．计算的结果是________．

例2．计算：______．

例3．计算：__________．

例4．化简：．

例5．先化简，再求值：，其中．

【过关测试】

一、选择题

1.如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中：；；；其中正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.已知，，且，则的值为   

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

  3.实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
 

A. 表示的数可以是 B.
C.  D.

4.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是   

A.  B.  C.  D.

5.已知，为不同的两个实数，且满足，，当为整数时，的值为   

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

6.若，则为   

A.  B.  C.  D.

7.如果，，那么代数式的值是

A.  B.  C.  D.

8.若，则的值是

A.  B.  C.  D.

9.已知，，则代数式的值为 

A.  B.  C.  D.

10.若能用完全平方公式因式分解，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

11.已知、、为的三边，且满足，则的形状是   

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

12.对于任何整数，多项式都能

A. 被整除 B. 被整除
C. 被整除 D. 被整除

13.已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ）

A.  B.  C.  D.

14.下列等式成立的是

A.  B.  C.  D.

15.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

16.如果代数式有意义，那么实数的取值范围是______．

17.在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为          ．

18.若实数、满足等式，且、恰好是等腰三角形的边长，则这个等腰三角形的周长是_____________．

19.已知，则______．

20.计算的结果是______．

21.已知，则代数式的值为_________．

22.如果分式的值为零，那么则的值是__________．

23.若，则的值为          ．

24.已知、、是三角形的三边，化简____．

25.如果一个三角形的三边长分别是，，，则化简的结果是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

26.已知，满足方程组且．

试用含的式子表示方程组的解

求实数的取值范围

化简．

27.已知实数，，，，，，且，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是，求的值．

28.下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．

解：设，

则原式第一步

第二步

第三步

第四步．

回答下列问题：

该同学第二步到第三步运用了因式分解的 

A.提取公因式

B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式

该同学因式分解的结果   填“彻底”或“不彻底”，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：   ．

请你模仿以上方法尝试对多项式进行分解．

29.阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．

下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．

解：设

原式第一步

第二步

第三步

第四步

请根据上述材料回答下列问题：

小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____；

A.提取公因式法        平方差公式法        完全平方公式法

老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____；

请你用换元法对多项式进行因式分解．

30.先化简，再求值：，其中．

31.化简：，并求当时的值．

32.化简再求值：，其中，．

33.已知．
求的值；
化简并求值：．