2021-2022学年陕西省榆林市府谷中学、绥德中学高一（下）第二次月考数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市府谷中学、绥德中学高一（下）第二次月考数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 数列，，，，的一个通项公式为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列关于向量，，的运算，一定成立的有(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在等差数列中，其前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数中是奇函数且最小正周期为的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知角的终边过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 数列满足，对任意的都有，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知向量，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 向量，的夹角为 D. 在方向上的投影是

9. 已知函数在上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. ，
B. 的图象关于原点对称
C. 若，则
D. 存在，，，使得

11. 已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 在等比数列中，，公比，若，则的值为______．
14. 函数的值域为______．
15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
16. 已知，，为坐标原点，若对任意实数，都成立，则实数的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知向量，满足，，且，的夹角为．
    若，求实数的值；
    求与的夹角的余弦值．
18. 已知公差不为的等差数列中，，是和的等比中项．
    求数列的通项；
    令，求数列的前项和．
19. 已知，，，．
    求的值；
    求的值．
20. 设向量，，函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为．
    求取得最大值时，的取值集合；
    令函数，对任意实数，恒有，求实数的取值范围．
21. 已知数列满足，
    写出该数列的前项；
    求数列的通项公式；
    求数列的前项和．
22. 某机械零件是圆心角为的扇形，其样品采用手工制作．如图，首先从一长，宽的矩形铁块上截下一块四边形铁块，然后再打磨掉阴影部分，得到半径为的扇形，与所在的圆相切，设，阴影部分面积为．
    求函数的解析式，并写出定义域；
    当为何值时，有最小值？并求出该最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：数列，，，，可写为，，，，，
故数列，，，，的一个通项公式为．
故选：．
改写为，，，，，从而可写出通项公式．
本题考查数列的通项公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：当，时，，，故A错误；
选项B是分配律，是正确的；
当，时，，，故C错误；
当，，时，
，，故D错误．
故选：．
对于选项A、、，可举反例判断其错误，选项B是分配律．
本题考查了平面向量线性运算及数量积的综合应用，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为是等差数列，
由等差数列性质得，
所以得，
由等差数列的求和公式得，
故选：．
由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：：为偶函数，不符合题意；
：为偶函数，不符合题意；
：为偶函数，不符合题意；
：为奇函数且周期，符合题意．
故选：．
由已知结合三角形函数的周期性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的奇偶性及周期性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
即．
故选：．
根据两角差的正切公式，构造，即可得解．
本题考查两角差的正切公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：角的终边过点，，
，，
，
故选：．
利用任意角的三角函数的定义可求得，，再利用二倍角的正弦即可求得答案．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角的正弦，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：数列满足，对任意都有，
即有时，，
可得
，
．
故选：．
由题意可得时，，由数列的恒等式：，运用等差数列的求和公式，可得，即可求出答案．
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对选项A，，因为，
所以，故A错误；
对选项B，，
所以，故B错误；
对选项C，，故C正确；
对选项，在方向上的投影是，故D错误；
故选：．
利用向量数量积、模、夹角、投影等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
利用特殊的函数值，即可判断选项A，，由即可判断选项C，．
【解答】
解：由函数的图象可知，，
对于选项A，中的函数，当时，函数值均为，
故选项A错误，选项B错误；
由图可知，，
对于选项D中的函数，定义域中取不到，
故选项D错误，选项C正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：函数，
对于：由于函数的最小正周期为，所以，故A错误；
对于：由于，故函数关于对称，故B错误；
对于：由于，故，所以函数在该区间上单调递增，故，故C正确；
对于：存在，，，由于，所以，
所以，由于，
故，
所以成立，故D错误．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质，函数的单调性，周期性和对称性的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：设点为线段的中点，点为线段靠近点的三分之一点，

，
，，
，
：，
故选：．
利用向量加法原理分别计算出和占的面积比，即可解出．
本题考查了向量的加法，利用比例表示面积，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
令，

，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
，
，
存在，使得成立，
，
令，得，
则，，
或，
，
，即，
解得，
实数的取值范围是
故选：．
根据题意，令，进而证明数列是以为首项，为公差的等差数列，故可得，在结合题意将问题转化为，再求数列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案．
本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：数列是等比数列，
，
，
，
，
故答案为：．
根据所给的等比数列的两项，写出两项之间的关系，代入数字，求出变量的值，这是一个等比数列的基本量的运算问题，是数列一章的基础知识．
本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
 

14.【答案】 

【解析】解法一：由题意可以设，，
则，，
所以函数的值域为
解法二：原函数变形为，
，
，
．
则函数的值域为
故答案为：
此为含有三角函数型分式函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解．或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解．
本题主要考查余弦函数的值域，考查分式函数含三角函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，即，
，
，，解得，
，，
．
故答案为：．
由判别式，结合同角三角函数的关系式，可解得，再根据诱导公式化简所求式子，代入运算即可得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据已知得向量，，
所以，
由得，
因为，，所以，
所以，解得或，结合，得到，
所以实数的最小值为．
根据向量的坐标运算表示出，得到关于的不等式组，解出即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以，
解得．
因为，
，
所以，，
故与的夹角的余弦值为． 

【解析】由，结合平面向量数量积的运算法则，展开运算即可；
根据，分别求得与，再由平面向量的数量积，即可得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的数量积，模长的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为．
由于，
所以，
解得．
所以．
由得，
所以． 

【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由，知，
因为，且，所以，，
因为，所以，
又，所以，
，，
所以．
，
因为，，所以，
所以． 

【解析】先结合诱导公式与同角三角函数的关系式求得，的对应三角函数值，再由二倍角公式与两角和的正切公式可得的解，由两角和的正弦公式可得的解．
本题考查三角函数的化简与求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，
，
且与的最小正周期相同，都为，
故，故，
故，．
令，
解得，，，
即的取值集合为；
，
，，
令，，
则可化为，
二次函数开口向下，对称轴为，
故，
解得，． 

【解析】本题综合考查了平面向量，三角恒等变换，三角函数的性质及二次函数的性质，同时考查了恒成立问题转化为最值问题的应用，属于中档题．
由题意，利用平面向量及三角恒等变换化简，且与的最小正周期相同，从而可得，．
令求的取值集合；
化简，换元，，从而利用二次函数的性质求最值，将恒成立问题转化为最值问题．
 

21.【答案】解：数列满足，
所以，，，，；
由条件，，
得，
因为，
所以，．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故．
由知，，
则，，
，，
得，
得． 

【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设与圆弧的切点为，连接，
因为，
则，
所以，，
则，
则，
当点与重合时，，
当点与重合时，，则，，所以，
故，
所以，；
由可知，，，
因为，
又，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值． 

【解析】设与圆弧的切点为，连接，计算出，的长，可计算出四边形的面积，再减去扇形的面积，即可得到的解析式，结合实际情况求出该函数的定义域即可；
利用换元法，，则，可得，然后利用基本不等式求解最值即可．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．