2021-2022学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在▱中，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知在中，、、所对的边分别是、、，则添加下列条件，不能判定是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B.
C. ：：：： D. ：：：：

5. 如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度与时间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派去．(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 已知，，，中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

8. 如图，正方形和正方形中，点在上，已知，，点是的中点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
    已知：如图，在中，，点是的中点．
    求证：．
    证明：延长到，使，连接、，
    中间的证明过程排乱了：
    ，
    ，，
    四边形是平行四边形，
    四边形是矩形．
    ，．
    则中间证明过程正确的顺序是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 已知正比例函数为常数，若随的增大而减小，则______．
12. 小何同学根据舞蹈比赛中位评委给出的分数，制作了一张表格如下．如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是______．

13. 已知，，则的值为______．
14. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度米与火车行驶时间秒之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
    火车的长度为米；
    火车的速度为米秒；
    火车整体都在隧道内的时间为秒；
    隧道长度为米．其中正确的结论______填序号
15. 如图，矩形中，，点为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

16. 计算：；
    ．

四、解答题（本大题共7小题，共49分）

17. 已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且求证：．

18. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点．
    求一次函数的解析式；
    在所给平面直角坐标系中画出中的函数图象；
    此函数图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，若，请直接写出点的坐标．

19. 随着电影长津湖的热映，中学生对抗美援朝这段历史产生了极大的兴趣．某中学组织全校学生开展“抗美援朝”知识竞赛，随机抽取了九年级名学生的成绩单位：分，满分分进行收集、整理与分析，过程如下．
    收集数据：
    
    整理数据：

分析数据：

______，______．
若该校九年级有名学生，请估计该校九年级成绩达到分及以上的学生人数．
若该校八年级学生成绩的平均数为分，中位数为分，方差为，你认为哪个年级的成绩较好？请作出评价，并至少从两个方面说明理由．

20. 某商店王老板借助网络平台了解到、两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：

王老板计划购进、两款网红杯子共个进行销售，设购进款杯子个，、两款网红杯子全部售完后获得的总利润为元．
求出与之间的函数关系式；
若王老板计划用不超过元资金一次性购进、两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．

21. 如图，在菱形中，为，的交点，，，分别为，，的中点．
    
    求证：四边形是矩形；
    连接，若，，求的长．
22. 已知：在中，、、所对的边分别记作、、如图，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有；
    如图，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
    分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图所示，其面积由小到大分别记作、、，根据中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；
    若中，，，求出图中阴影部分的面积．
     

23. 【特例感知】如图，在正方形中，点、分别为，的中点，、交于点．
    易证≌，可知、的关系为______；直接填写结果
    连接，若，求的长．
    【初步探究】如图，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为求证：．
    【基本应用】如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．不能合并为一项，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：：：：：，
，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B.，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.：：：：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，
故注水过程的水的高度是先慢后快，故选项C符合题意，
故选：．
根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快．
本题主要考查函数图象的知识，根据与的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：乙和丙的平均成绩较好，
从乙和丙中选择一人参加比赛，
，
选择乙参赛，
故选：．
首先比较出较小的平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：当点在直线上时，，
解得：，
此时正比例函数的解析式为
当时，，
点不在直线上；
当时，，
点在直线上；
当时，，
点在直线上．
故选：．
当点在直线上时，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，进而可得出正比例函数的解析式，再分别代入其余各点的横坐标求出值，对边各点的纵坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正方形和正方形中，点在上，，，
，，，
延长交于，连接、，
则，，，
四边形和四边形是正方形，
，
，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：．
根据正方形的性质求出，，，延长交于，连接、，求出，，，根据正方形性质求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出的长和得出，有一定的难度．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于直线，令，得到，即，，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是．
故选：．
过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接、，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
，
．
则中间证明过程正确的顺序是，
故选：．
先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形．得，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：正比例函数为常数，
，
，
随的增大而减小，
，
，
，
故答案为：．
根据正比例函数的定义可得，求出的值，再根据正比例函数的增减性，可得，求出的取值范围，从而确定的值．
本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题的关键．
 

12.【答案】中位数 

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分，表中数据一定不发生变化的是中位数．
故答案为：中位数．
利用方差、中位数、平均数和众数的定义进行判断．
本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，

；
故答案为．
求得，，将代数式进行适当的变形后，代入即可．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图象可知，火车的长度是米，故说法错误；
在段，所用的时间是秒，路程是米，则速度是米秒．故说法正确；
整个火车都在隧道内的时间是：秒，故说法正确；
隧道长是：米，故说法错误．
正确结论有．
故答案为：．
根据函数的图象即可确定在段，所用的时间是秒，路程是米，则速度是米秒，进而即可确定其它答案．
本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，如图，
，
根据轴对称的性质得，
，
是等腰直角三角形，
；
当时，如图，
根据轴对称的性质得，，，
、、在同一直线上，
根据勾股定理得，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即；
综上所述：的长为或；
故答案为：或．
分两种情况分别求解，当时，如图，根据轴对称的性质得，得；
当时，如图，根据轴对称的性质得，，，得、、在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理得，，代入相关的值，计算即可．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
根据平方差公式和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
 

17.【答案】证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：一次函数的图象与直线平行，
设，
一次函数的图象经过点．
，
解得，
一次函数的解析式：；

当时，，
当时，，解得，
所以，函数图象经过点，，
函数图象如图：


点，，点在轴上，
，
，
，
，
或． 

【解析】根据一次函数的图象与直线平行可设一次函数的解析式为，然后把已知点代入进行计算求出值，即可得解；
利用描点法法作出函数图象即可；
根据三角形面积可知，由图象可得结论．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的图象、三角形面积等知识，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，得出、的坐标．
 

19.【答案】   

【解析】解：，
九年级名学生的成绩由低到高排列，第，个数据分别是，，
所以中位数为，
故答案为：，；

估计全校九年级成绩达到分及以上的学生人数为名，
答：估计该校九年级成绩达到分及以上的学生人数为名；

八年级的成绩较好．理由如下：
从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可得；
总人数乘以样本中成绩达到分及以上的学生人数所占比例；
分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
 

20.【答案】解：由题意可得，，
即与之间的函数关系式为；
由题意得，，
解得，，
又，，
随的增大而增大，
当时，有最大值，此时，
个，
答：购进个款杯子，个款杯子，可获得的最大利润是元． 

【解析】根据题意，可以写出与的函数关系式；
根据服装店计划投入不超过元购进、这两款杯子，可以得到的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到王老板可获得的最大利润．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：，，分别为，，的中点，
、是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：如图，

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，分别为，的中点，
，，
，
由可知，四边形是矩形，
，，
． 

【解析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、
勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
由三角形中位线定理得，，得四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
证是等边三角形，得，得，再由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，，即可解决问题．
 

22.【答案】解：，
根据勾股定理可知：；

；


． 

【解析】由扇形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即；
根据中的求解即可得出答案；
利用中的结论进行求解．
本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
 

23.【答案】， 

【解析】【特例感知】解：四边形是正方形，
，，
点，是，的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；

解：延长交的延长线于，

，
，
又，，
≌，
，
，
又，
；

【初步探究】证明：如图，过点作，交于，交于，

，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
又，，
≌，
；

【基本应用】解：如图，过点作于，则四边形中，，

由翻折变换的性质得，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点是的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
的长为．
【特例感知】由“”可证≌，即可得出结论；
由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可求解；
【初步探究】由“”可证≌，可得；
【基本应用】由全等三角形的性质可证，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．