初中数学华师大版八年级上册第13章 全等三角形综合与测试单元测试精练

这是一份初中数学华师大版八年级上册第13章 全等三角形综合与测试单元测试精练，共39页。试卷主要包含了0分），【答案】A，【答案】D，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

华师大版初中数学八年级上册第十三章《全等三角形》单元测试卷 
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠B=30°，AC=23，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
2. 用三个不等式a>b,ab>0,a>b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M，N，使∠MBN=30°.若AM=m，MN=x，CN=n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为(    )
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 随x，m，n的值而定
4. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC的长可能是(    )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为(    )
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
6. 如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是(    )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
7. 已知△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△DEC，DE交BC于点F，连接BE，点M是BC的中点，连接EM，则下列结论错误的是(    )
A. △ADC≌△BEC
B. 若CD平分∠ACB，则BD=BE
C. 若AB=2，则ME长度的最小值是32
D. 若BDAD=12，则BFFC=14
8. 如图，在锐角三角形ABC中AB=52，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是(    )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
9. 如图，已知三角形ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．FG为三角形AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC.①BD=CE；②∠AHC=60°；③FC=CG；④S△CBD=S△CGH；其中说法正确的有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为(    )
A. 2
B. 3
C. 22
D. 23
11. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据△O′C′D′≌△OCD，可得∠A′O′B′=∠AOB，则说明△O′C′D′≌△OCD的依据是(    )

A. ＳＳＳ B. ＳＡＳ C. ＡＳＡ D. ＡＡＳ
12. 如图，AB // CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°，下列结论：①CD // PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则∠BEP−∠DFP∠GPH=2，其中正确结论的个数是(    )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 下面是六个推断：
①因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
②因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
③因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
④因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
⑤因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
⑥因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有______个，其序号是______．
14. 如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC=3DE=3，连接BD，BE，则BD+BE的最小值是______ ．


15. 如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，点E，F在边BC上，BE=CF=2EF，点D在△ABC内，且AG=GD=GE=19，则△ABC的周长为______．

16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为____．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图所示，现有下列4个事项：
(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠B，(3)FG⊥AB于G，(4)CD⊥AB于D．
以上述4个事项中的(1)、(2)、(3)三个作为一个命题的已知条件，(4)作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．

18. 综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：△ACE≌△ABD．
(2)若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数．
(3)过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH=HF．

19. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

20. 如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长．
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．


21. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．

(1)求证：BD=CE．
(2)若∠BAC=48°，求∠COD的度数．
(3)若G为CE上一点，GE=OD，AG=OC，且AG // BD，求证：BD⊥AC．
22. 如图，直线AB，点P为直线AB外一点．

(1)过点P作AB的垂线；(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)
(2)你能证明上述作图的合理性吗？(画出图形，简要说明画法，并说明理由)
(3)如图，已知四边形ABCD，满足AB=AD，CB=CD，若AC=8，BD=6，则四边形ABCD的面积为________．

23. 如图，∠AOB=∠EOF=90∘，连接AB．

(1)用尺规作图法在射线OF上作OC=OB，在射线OE上取点D使CD=AB;
(2)连接CD，找一点P使它到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小，并说明理由;
(3)设∠AOF=α，
 ①当α=42∘时，求∠BOE的大小;
 ②当∠AOB绕点O旋转任意角度时，请用α表示∠AOF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
24. 已知△ABC，点D在边BC上(不与点B，C重合)，点E是△ABC内部一点．给出如下定义：若∠AEB=∠AEC，∠DEB=∠DEC，则称点E是点D的“等角点”．

(1)如图1，若点E是点D的“等角点”，则∠AEB+∠DEC=_______°；
(2)如图2，若AB=AC，点D是边BC的中点，点E是中线AD上任意一点(不与点A，D重合)，求证：点E是点D的“等角点”；
(3)如图3，若∠ACB=90°，且∠BAD>∠CAD，△ABC内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在，请作出点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；若不存在，请说明理由．
25. ∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．
(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=____°；
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO=60°，则∠D=____°；
②随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：如图，在AB上取一点E，使AE=AC=23，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=23，
∴AB=43，
∵AE=AC=23，
∴BE=AB−AE=23，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=23，
∴EF=12BE=3，
故线段CQ长度最小值是3，
故选：D．
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，证明△CAQ≌△EAP(SAS)，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．

2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】
解：①若a>b，ab>0，则a>b；假命题：
理由：∵a>b，ab>0，
∴b ∴a ②若ab>0，a>b，则a>b，假命题；
理由：∵ab>0，
∴a、b同号，
∵a>b，
∴ab>0；
③若a>b，a>b，则ab>0，假命题；
理由：∵a>b，a>b，
∴当a、b异号，
∴ab<0．
∴组成真命题的个数为0个；
故选A．  
3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH.连接HN.通过全等证明∠HCN=120°，HN=MN=x，即可解决问题．
【解答】
解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵∠MBN=30°，
∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，
∴∠NBM=∠NBH，
∵BM=BH，BN=BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN=NH=x，
∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，
∴∠NCH=120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．
故选A．  
4.【答案】A 
【解析】解：在AC上截取AE=AB=5，连接PE，

∵AC=9，
∴CE=AC−AE=9−5=4，
∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，
∴∠CAD=∠BAD，
在△APE和△APB中，
AE=AB∠EAP=∠BAD,AP=AP,
∴△APE≌△APB(SAS)，
∴PE=PB=3，
∵4−3 解得1 ∴PC取6，
故选：A．
在AC上取AE=AB=5，然后证明△APE≌△APB，根据全等三角形对应边相等得到PE=PB=3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒

5.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题证明线段最短有一点的难度．但通过构造全等三角形，利用全等三角形和直角三角形的性质就变得容易．连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．推出△ADK≌△AEB，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=42，MB=22，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小．
【解答】
解：连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．

因为∠ACB=90°，MG⊥EB
所以∠KAD=∠BAE，
在△ADK与△ABE中，
AK=AB∠KAD=∠BAEAD=AE,
∴△ADK≌△AEB，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=42，BM=22，
∴MG=2，
∵∠G=90°
∴ME≥MG，
∴当ME=MG时，ME的值最小，
∴ME的最小值=2．
故选A．  
6.【答案】A 
【解析】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．

∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ABH=∠OCH，
∵∠AHB=∠CHO，
∴∠O=∠BAH=90°，
∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，
∴PQ=12BD，PQ//BO，QR=12EC，QR//CO，
∵BO⊥OC，
∴PQ⊥RQ，PQ=QR，
∴△PQR是等腰直角三角形，
∴S△PQR=12⋅PQ2，
∵AB=5，AD=2，
∴3≤BD≤7，
∴32≤PQ≤72，
∴98≤12⋅PQ2≤498，
∴△PQR的面积不可能是8，
故选：A．
连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H.首先证明△PQR是等腰直角三角形，利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题；
本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

7.【答案】D 
【解析】解：如图：

∵△ABC、△DEC是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，故选项A正确，不符合题意；
若CD平分∠ACB，如图：

∴∠ACD=∠BCD=30°，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
由△ADC≌△BEC可知AD=BE，
∴BD=BE，故选项B正确，不符合题意；
若AB=2，如图：

∵M是BC中点，
∴BM=12BC=12AB=1，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴E的轨迹是在BC下方，与BC夹角为60°的直线BE，
当ME⊥BE时，ME最小，此时ME=BM⋅sin60°=32，故C正确，不符合题意；
若BDAD=12，过D作DK/​/AC交BC于K，如图：

∵DK/​/AC，
∴∠DKB=∠ACB=60°=∠DBK，
∴△DBK的等边三角形，
∴DK=BD=BK，
∵BDAD=12，
∴BD=12AD，
∴BK=12CK，即CK=2BK，
∵∠DKB=60°=∠FBE，
∴△DKF∽△EBF，
∴DKBE=FKBF，
∵BE=AD，DK=BD，
∴DKBE=BDAD=12=FKBF，
∴BF=2FK，
设FK=x，则BF=2x，BK=3x，
∴CK=2BK=6x，
∴CF=CK+FK=7x，
∴BFCF=2x7x=27，故D错误，符合题意，
故选：D．
根据△ABC、△DEC是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，即有∠ACD=∠BCE，△ADC≌△BEC(SAS)，可判断选项A正确；若CD平分∠ACB，结合△ADC≌△BEC可知AD=BE，可判断选项B正确；若AB=2，根据M是BC中点，E的轨迹是在BC下方，与BC夹角为60°的直线BE，可得ME最小为32，可判断C正确；若BDAD=12，过D作DK/​/AC交BC于K，证明△DKF∽△EBF，设FK=x，则BF=2x，BK=3x，可得BFCF=2x7x=27，判断D错误．
本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握旋转的性质．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查轴对称−最短问题、垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．因为AD平分∠CAB，所以点B关于AD的对称点B′在线段AC上，作B′N′⊥AB于N′交AD于M′.由BM+MN=B′M+MN，推出当M与M′重合，N与N′重合时，BM+MN的值最小，最小值为B′N′，只要证明△AB′N′是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】
解：∵AD平分∠CAB，
∴点B关于AD的对称点B′在线段AC上，作B′N′⊥AB于N′交AD于M′．

∵BM+MN=B′M+MN，
∴当M与M′重合，N与N′重合时，BM+MN的值最小，最小值为B′N′，
∵AD垂直平分BB′，
∴AB′=AB=52，
∵∠B′AN′=45°，
∴△AB′N′是等腰直角三角形，
∴B′N′=5，
∴BM+MN的最小值为5．
故选B．  
9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
①由∠AFD=60°可证明△CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN(AAS)得CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC(SAS)，有∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH=∠AFH=60°，若FC=CG，可得∠FCG=60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确．
【解答】
解：①因为三角形ABC是等边三角形，
所以∠B=∠ACE=60°，BC=AC，
因为∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
所以∠BCD=∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，
所以△BCD≌△CAE(ASA)，
所以BD=CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：

因为∠EFC=∠AFD=60°
所以∠AFC=120°，
因为FG为△AFC的角平分线，
所以∠CFH=∠AFH=60°，
所以∠CFH=∠CFE=60°，
因为CM⊥AE，CN⊥HF，
所以CM=CN，
因为∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，
所以∠CEM=∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90∘CM=CN，
所以△ECM≌△GCN(AAS)，
所以CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，
所以∠MCN=∠ECG=60°，
由①知△CAE≌△BCD，
所以AE=CD，
因为HG=CD，
所以AE=HG，
所以AE+EM=HG+GN，即AM=HN，
在△AMC和△HNC中，
AM=HN∠AMC=∠HNC=90∘CM=CN，
所以△AMC≌△HNC(SAS)，
所以∠ACM=∠HCN，AC=HC，
所以∠ACM−∠ECM=∠HCN−∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，
所以△ACH是等边三角形，
所以∠AHC=60°，故②正确；
③由②知∠CFH=∠AFH=60°，若FC=CG，则∠CGF=60°，从而∠FCG=60°，这与∠ACB=60°矛盾，故③不正确；
④因为△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
所以S△AMC−S△ECM=S△HNC−S△GCN，即S△ACE=S△CGH，
因为△CAE≌△BCD，
所以S△BCD=S△ACE=S△CGH，故④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C．  
10.【答案】B 
【解析】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥BC于H，过F作FM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，如图：

∵等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，
∴∠NBE=60°，BD=12AB=2，BH=2，AH=23，
∴A(2,23)，H(2,0)，
设BE=m，则BN=12m，NE=32m，DN=2−12m，
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴DE=EF，∠DEF=60°=∠DBE，
∴∠FEM+∠DEB=120°=∠DEB+∠BDE，
∴∠FEM=∠BDE，
又∠END=∠FME=90°，
∴△DEN≌△EFM(AAS)，
∴DN=EM=2−12m，NE=FM=32m，
∴BM=BE+EM=m+2−12m=2+12m，
∴F(2+12m,32m)，
令x=2+12m，y=32m，消去m可得y=3x−23，
即F点在直线y=3x−23上运动，
而直线y=3x−23与x轴交点为(2,0)，即直线y=3x−23与x轴交点为H，
∴HM=BM−BH=12m，
∴tan∠FHM=FMHM=32m12m=3，
∴∠FHM=60°，
∴∠AHF=30°，
过A作AK⊥直线HF与K，则AF的最小值即为AK，
在Rt△AHK中，AK=12AH=12×23=3，
∴AF的最小值为3，
故选：B．
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥BC于H，过F作FM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，由等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，得A(2,23)，H(2,0)，设BE=m，则BN=12m，NE=32m，DN=2−12m，证明△DEN≌△EFM(AAS)，可得F(2+12m,32m)，即知F点在直线y=3x−23上运动，直线y=3x−23与x轴交点为H，可得∠FHM=60°，∠AHF=30°，过A作AK⊥直线HF与K，则AF的最小值即为AK，由30°所对直角边等于斜边的一半可得AF的最小值为3．
本题考查等边三角形中的旋转变换，解题的关键是作辅助线，求出点F的轨迹，本题有一定的难度．

11.【答案】A 
【解析】
【分析】
此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
显然运用的判定方法是SSS．
故选A．
  
12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理的推论以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由∠A+∠AHP=180°，可得PH/​/AB，根据AB/​/CD，可得AB//CD//PH，再根据平行线的性质、角平分线定义以及角的和差关系进行解答，即可得出正确结论．
【解答】
解：∵∠A+∠AHP=180°，
∴PH//AB，
∵AB/​/CD，
∴CD//PH，
故①正确；
∴AB//CD//PH，
∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP=2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP=180°−∠PGH=180°−(∠HPG+∠PHG)，
即∠AGP=∠HPG+∠PHG，
∵∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠GPH=∠FPG，∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG
=∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH−∠FPG
=∠A+∠FPG+∠PHG−∠EPG
=∠A+∠PHG，
∵AB//PH，
∴∠A+∠PHG=180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°，
故④正确；
∵∠BEP−∠DFP=∠EPH−∠FPH=(∠EPG+∠GPH)−∠FPH=∠FPG+∠GPH−∠FPH
=∠GPH+∠GPH=2∠GPH，
∴∠BEP−∠DFP∠GPH=2为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．  
13.【答案】1  ⑥ 
【解析】解：①因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；
②因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；
③因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；
④因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；
⑤因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小题错误；
⑥符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确．
故正确的结论有1个，其序号是⑥．
故答案为：1，⑥．
分别根据角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理对各小题进行逐一判断．
本题考查的是角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

14.【答案】37 
【解析】解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．

∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE//TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+TD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，
∴∠WCK=60°，
∵WK⊥CK，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=12CW=32，WK=3CK=332，
∴TK=1+3+32=112，
∴TW=TK2+WK2=(112)2+(332)2=37，
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，
∴BD+BE≥37，
∴BD+BE的最小值为37．
故答案为37．
如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K.证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．
本题考查轴对称−最短问题，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

15.【答案】15 
【解析】解：如图，连接AE，连接AD并延长交BC于点N，过点G作GMIDE于点M，连接BD、CD，

设EF=2x，且x>0，
则BE=CF=2EF=4x，
∴BC=BE+EF+CF=4x+2x+4x=10x，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF=EF=2x，∠DEF=∠DFE=60°，
∴∠BED=∠CFD=120°，
在△BED和△CFD中，
DE=DF∠BED=∠CFDBE=CF，
∵△BED≌△CFD(SAS)，
∴BD=CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=10x，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AN垂直平分BC，
∴BN=CN=12BC=12x10x=5x，
∵∠ANE=90°，BE=CF=4x，
∴EN=FN=5x−4x=x，
∴AN=AB2−BN2=(10x)2−(5x)2=53x，
∵GD=GE，GM⊥DE，
∴∠GMD=∠ANE=90°，
∴DM=12DE=x，
∵∠DGM=∠EGM=12∠DGE，
∴EN=DM=x，
∵AG=GD=GE=19，
∴A、D、E在以G为圆心、以19为半径的圆上，
∴∠EAN=12∠DGE(圆周角定理)，
∴∠EAN=∠DGM，
在△EAN和△DGM中，
∠EAN=∠DGM∠ANE=∠GMDEN=DM，
∴△EAN≌△DGM(AAS)，
∴AE=GD=19，
∵∠ANE=90⋅(已证)，
∴EN2+AN2=AE2，
∴x2+(53x)2=(19)2，
解得x=12或x=−12(舍去)，
∴BC=10x=10×12=5，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长为3BC=3×5=15，
故答案为：15．
连接AE，连接AD并延长交BC于点N，过点G作GMIDE于点M，连接BD、CD，设EF=2x，且x>0，则BE=CF=2EF=4x，BC=BE+EF+CF=4x+2x+4x=10x，然后证明△BED≌△CFD(SAS)，可得BD=CD，证明AN垂直平分BC，再证明△EAN≌△DGM(AAS)，可得AE=GD=19，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解决本题的关键是得到△EAN≌△DGM．

16.【答案】14 
【解析】
【分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4·AD=24，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，
∴MC+DM=MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=12+12×4=14  
17.【答案】证明：∵∠3=∠B，
∴DE/​/BC，
∴∠1=∠BCD．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCD，
∴GF/​/CD，
∴∠CDB=∠BGF．
∵FG⊥AB，
∴∠BGF=90°，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB． 
【解析】先由平行线的判定定理得出DE/​/BC，GF/​/CD，再由FG⊥AB于G得出∠BGF=90°，进而可得出结论．
本题考查的是命题与定理，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE．
∴∠CAE=∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)；
(2)解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC=∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°．
∴∠DAE+∠DFE=180°，
∵∠BFC+∠DFE=180°，
∴∠BFC=∠DAE=∠BAC=50°；
(3)证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．

∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE=S△ABD，CE=BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴12CE⋅AJ=12BD⋅AH，
∴AJ=AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
AF=AFAJ=AH，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL)，
∴FJ=FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
AE=ADAJ=AH，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL)，
∴EJ=DH，
∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH． 
【解析】(1)可利用SAS证明结论；
(2)由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE=180°，根据∠BFC+∠DFE=180°，可求得∠BFC=∠DAE，即可求解；
(3)连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J.结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ=FH，EJ=DH，进而可证明结论．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD
∴△ABE≌△CBD(SAS)；
(2)解：
∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°． 
【解析】(1)由条件可利用SAS证得结论；
(2)由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键．

20.【答案】解：(1)全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD( SAS)；
(2)如图3，由(1)得：△BCD≌△ACE，

∴BD=AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=2，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，
∴AE=AD2+DE2=9+4=13，
∴BD=13；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
在Rt△ACF中，AF=32，
∴S△ACD=12×CD×AF=12×2×32=32，
∴CF=12AC=1×12=12，
FD=CD−CF=2−12=32，
在Rt△AFD中，AD2=AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，
∴AD=3． 
【解析】(1)依据等式的性质可证明∠BCD=∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
(2)由(1)知：BD=AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AFB=∠CFO，
∴∠COF=∠BAC=48°，
∴∠COD=180°−∠COF=180°−48°=132°，
答：∠COD的度数为132°；
(3)证明：如图，连接AO，

∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵AD=AE，GE=OD，
在△ADO和△AEG中，
AD=AE∠ADO=∠AEGGE=DO，
∴△ADO≌△AEG(SAS)，
∴AG=AO，∠DAO=∠EAG，
∵AG=OC，
∴OA=OC，
∵∠OAG=∠DAO+∠DAG，
∴∠OAG=∠EAG+∠DAG=∠DAE=∠BAC，
由(2)知：∠COF=∠BAC，
∴∠COF=∠OAG，
∵AG/​/BD，
∴∠AOF=∠OAG，
∴∠COF=∠AOF，
∵OA=OC，
∴BD⊥AC． 
【解析】(1)根据AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD，从而得出∠BAD=∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；
(2)结合(1)证明∠COF=∠BAC=48°，进而可以解决问题；
(3)连接AO，证明△ADO≌△AEG，可得AG=AO，∠DAO=∠EAG，然后证明∠COF=∠OAG，根据AG/​/BD，可得∠AOF=∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；

22.【答案】(1)如图PQ即为所求

(2)如图，连接PC、PD、QC、QD，直线PQ交AB于点O，

∵在△PCQ和△PDQ中，
PC=PDPQ=PQCQ=DQ
∴△PCQ≌△PDQ(SSS)
∴∠CPQ=∠DPQ，
∴180°−∠CPQ=180°−∠DPQ，
即∠CPO=∠DPO，
∵在△PCO和△PDO中
PC=PD∠CPO=∠DPOPO=PO
∴△PCO≌△PDO(SAS)
∴∠POC=∠POD
又∵∠POC+∠POD=180°
∴∠POC=90°
∴PQ⊥AB
(3)24．
 
【解析】
【分析】
此题(1)主要考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
(2)考查全等三角形判定方法，利用SSS，SAS判定．
(3)考查三角形面积问题，可以考虑S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可求的结果．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：设BD与AC交于点E，
∵AB=AD，CB=CD，
由(2)知，AC垂直平分BD，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=12BD·AE+12BD·CE
=12BD(AE+CE)
=12BD·AC
=12×6×8=24，
故答案为24．  
23.【答案】解：(1)用尺规在射线OF上作OC=OB，在射线OE上取点D使CD=AB，如图所示：

(2)连接BD交OC于点P，根据“两点之间线段最短”可得：P点到O、C两点的距离之和最短，且P点到B、D两点的距离之和最短，
因此，点P到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小；
(3)∵∠AOF=42°，∠AOB=∠EOF=90∘，
∴∠BOF=∠AOE=90°−∠AOF=48°，
∴∠BOE=∠BOF+∠AOF+∠AOE=48°+42°+48°=138°；
(4)分两种情况讨论：
①当∠AOF在∠BOE的内部时，

∵∠AOF=α，∠AOB=∠EOF=90∘，
∴∠BOF=∠AOE=90°−∠AOF=90°−α，
∴∠BOE=∠BOF+∠AOF+∠AOE=90°−α+α+90°−α=180°−α，
即∠BOE+∠AOF=180°；
②当∠AOF在∠BOE的外部时，

∵∠AOF=α，∠AOB=∠EOF=90∘，∠AOF+∠AOB+∠EOF+∠BOE=360°，
∴∠BOE=360°−∠AOF−∠AOB−∠EOF=360°−α−90°−90°=180°−α，
即∠BOE+∠AOF=180°；
综上，∠AOF和∠BOE之间的数量关系是∠BOE+∠AOF=180°． 
【解析】本题考查了尺规作图，关于线段的性质：两点之间线段最短，角的和差计算，
(1)根据作一条线段等于已知线段的作法作图即可；
(2)连接BD交OC于点P，根据“两点之间线段最短”可得结论；
(3)先求出∠BOF和∠AOE的度数，再根据∠BOE=∠BOF+∠AOF+∠AOE即可求解；
(4)分两种情况讨论：①当∠AOF在∠BOE的内部时、②当∠AOF在∠BOE的外部时，分别根据角的和差进行求解即可．

24.【答案】(1)解：180；
(2)证明：连接BE，CE，
∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，

在△BAE与△CAE中，
∵{AB=AC,∠BAD=∠CAD,AE=AE
∴△BAE≌△CAE(SAS)，
∴∠AEB=∠AEC，
∴∠DEB=∠DEC，
∵点E是△ABC内部一点，∠AEB=∠AEC，∠DEB=∠DEC，
∴点E是点D的“等角点”．
(3)解：△ABC内存在点E是点D的“等角点”．
 如图，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于F，在线段BF的延长线上截取FH=BF，连接AH，CH，延长HC交AD于E，连接BE，则点E即为所求．

∵BF=FH，BF⊥AF，
∴BE=EH，AB=AH，
又∵EF⊥BH，
∴∠BED=∠CED，
∴∠AEB=∠AEC，
∴点E是点D的“等角点”． 
【解析】
【分析】
本题考查了新定义问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，用尺规作垂线以及分类讨论的思想，解题关键是理解新定义“等角点”．
(1)根据“等角点”的定义可得∠AEB=∠AEC，∠DEB=∠DEC，然后由周角的定义进行求解即可；
(2)连接BE，CE，证明△BAE≌△CAE得出∠AEB=∠AEC，∠DEB=∠DEC，即可根据“等角点”的定义进行证明；
(3)△ABC内存在点E是点D的“等角点”，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于F，在线段BF的延长线上截取FH=BF，连接AH，CH，延长HC交AD于E，连接BE，则点E即为所求.运用尺规作图的作法结合等腰三角形的性质和“等角点”的定义进行证明即可．
【解答】
解(1)∵若点E是点D的“等角点”，
∴∠AEB=∠AEC，∠DEB=∠DEC，
∵∠AEB+∠AEC+∠DEB+∠DEC=360°，
∴∠AEB+∠DEC=180°．
故答案为180；
(2)见答案；
(3)见答案．  
25.【答案】解：(1)135°；
   (2)①45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°−∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC−∠BAD=45°+α−α=45°；
(3)∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴∠E=180°−∠EAO−∠AOE，
=45°−∠EAO=45°−12∠BAO
=45°−12(180°−90°−∠ABO)=12∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°>90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，
此时∠ABO=45°；
④当∠E=3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，
此时∠ABO=135°>90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°． 
【解析】
【分析】
(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
(3)①当∠EAF=3∠E时，②当∠EAF=3∠F时，③当∠F=3∠E时，④当∠E=3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【解答】
解：(1)∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=45°，
∴∠AEB=135°；
故答案为135°；
   (2)①∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABN=150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=12×150°=75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB=30°，
∴∠D=180°−∠ABD−∠BAD−∠AOB=180°−75°−30°−30°=45°，
故答案为45；
②见答案；
(3)见答案．