华师大版八年级上册第13章 全等三角形综合与测试单元测试练习
展开华师大版初中数学八年级上册第十三章《全等三角形》单元测试卷
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 以下命题：面包店某种面包售价元个，因原材料涨价，面包价格上涨，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；一列自然数，，，，，，依次将该列数中的每一个数平方后除以，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 下列命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，同位角相等 B. 相似三角形的面积比等于相似比
C. 菱形的对角线相等 D. 相等的两个角是对顶角
- 下列命题是真命题的有( )
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；
点为直线外一点，点、、为直线上的三点，，，，那么点到直线的距离是；
与的两边分别平行，比的倍少，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图，在和中，，，则能说明≌的依据是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，，，，将下列选项变为已知条件后，仍不能判断≌的是( )
A. B. C. D.
- 如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，小明在以为顶角的等腰三角形中用圆规和直尺作图，作出过点的射线交于点，然后又作出一条直线与交于点，连接，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
- 如图，在纸片上有一直线，点在直线上，过点作直线的垂线，嘉嘉使用了量角器，过刻度线的直线即为所求；淇淇过点将纸片折叠，使得以为端点的两条射线重合，折痕即为所求，下列判断正确的是( )
A. 只有嘉嘉对 B. 只有淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都不对
- 如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹的作法是( )
A. 以点为圆心，长为半径画弧
B. 以点为圆心，长为半径画弧
C. 以点为圆心，长为半径画弧
D. 以点为圆心，长为半径画弧
- 如图，在中，，，的平分线相交于点，于点，于点，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
- 如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是( )
A.
B.
C. 与互余的角有个
D. 点是的中点
- 如图，在中，为边上的一点，分别以、为圆心，以大于一半为半径画弧，两弧交点连线交于，已知，，则的周长是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______ ．
- 如图，是正内的一点，若将绕点逆时针旋转到，则等于______度．
- 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明≌，则这两个三角形全等的依据是____写出全等的字母简写
- 如图，中，，，平分，于，现给出以下结论：平分；平分；；其中正确的是______写出所有正确结论的序号
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 如图，是的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．；；平分．
由上述条件可得哪几个真命题？请按“”的形式一一书写出来；
请根据中的真命题，选择一个进行证明．
- 请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．
等角的补角相等；
绝对值相等的两个数相等． - 和如图所示，其中，，．
如图，连接、，求证：；
如图，连接、、，若，，，，求的长．
- 如图，已知中，，，点与点都在射线上，且，．
说明的理由；
说明的理由．
- 在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、．
与有怎样的关系？请说明你的理由．
把改成什么条件，还能得到中的结论？
- 如图，在中，，，动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
为多少时，是等边三角形？
、在运动过程中，的形状不断发生变化，当为多少时，是直角三角形？请说明理由．
- 如图，已知锐角，点是边上的一定点，请用尺规在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
- 已知，求作：点，使，且点到的两边距离相等．
- 如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．注：
如图，若直角三角板的一边放在射线上，则______；
如图，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数；
如图，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得：，故是正确的；
如图：
设；则，
，
．
．
故是错误的．
如图：为的中点，两边为，；
把中线延长加倍，得≌，
所以，所以与对应三角形全等，得与对应角相等，再根据两边及夹角相等，两个三角形全等，
故是正确的．
设该列自然数为，则新数为，则，
，
原数与对应新数的差是先变大，再变小．
故是错误的．
故选：．
列代数式求解；
利用三角形内角和及外交关系定理求解；
利用三角形全等进行判断；
利用作差比较代数式的大小．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理及正确计算．
2.【答案】
【解析】解：两直线平行，同位角相等，是真命题；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，是假命题；
菱形的对角线互相垂直，不一定相等，是假命题；
相等的两个角不一定是对顶角，是假命题；
故选：．
根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】
【解析】解：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，错误，条件是在同一平面内．
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，正确．
点为直线外一点，点、、为直线上的三点，，，，那么点到直线的距离是，错误，只能说距离不超过．
与的两边分别平行，比的倍少，则，错误，本题有两种情形，也可能是，
故选：．
根据垂线公理判断即可．
根据平行线的判定和性质判断即可．
根据点到直线的距离的定义判断即可．
根据平行线的性质判断当与的两边分别平行时，有两种可能或．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.【答案】
【解析】证明：在和中，
，
≌．
故选：．
根据证明三角形全等即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：
，，
，，
，
A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
根据平行线的性质得出，，求出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意证得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，通过等量代换证得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由作图可知，平分，点是的中点，
，
，
，
，
．
故选：．
由作图可知，平分，点是的中点，利用等腰三角形的性质，三角形的中线的性质求解即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
【解析】解：嘉嘉利用量角器画角，可以画垂线，方法正确．
淇淇过点将纸片折叠，使得以为端点的两条射线重合，折痕垂直直线，方法正确，
故选：．
根据垂线的定义判断即可．
本题考查作图尺规作图的定义，解题关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是作图基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．
根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
【解答】
解：用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、，
第二步的作图痕迹的作法是以点为圆心，以的长为半径画弧．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
，，，
，
四边形是矩形，
，
选项A不符合题意；
平分，，，
，
平分，，，
，
，
选项B不符合题意；
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
选项C不符合题意；
，
，
平分，平分，
，，
，
，
选项D符合题意；
故选：．
过点作于点，由，，，得出四边形是矩形，得出，可判断选项A；由角平分线的性质得出，可判断选项B；进而得出四边形是正方形，得出，可判断选项C；由三角形内角和定理及角平分线的性质得出，进而得出，可判断选项D；继而得出答案．
本题考查了角平分线的性质，掌握矩形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定与性质，三角形内角和定理等知识是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：点，分别是，平分线上的点，
，，
，
，故A选项结论正确；
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，故B选项结论正确；
与互余的角有，，，共个，故C选项结论错误；
，
点是的中点，故D选项结论正确．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由作图可知，点在线段的垂直平分线上，
，
的周长，
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质求解即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是证明，利用转化的思想解决问题．
13.【答案】三个内角都等于的三角形是等边三角形
【解析】解：命题“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”．
故答案为：三个内角都等于的三角形是等边三角形．
逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大．
14.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
由图知，旋转角，
故答案为：．
由是等边三角形知，结合图形得旋转角，从而得出答案．
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质和等边三角形的性质．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质定理的逆定理．
利用作法得到和的三边对应相等，从而根据”“可证明≌，然后根据全等三角形的性质得到．
【解答】
解：由作法得，，
则根据“”可判断≌，
所以．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
符合题意；
平分，
，
，
，
不平分，
不符合题意；
在和中，
，
≌，
，，
平分，
符合题意；
，
，
符合题意；
故答案为：．
由等腰直角三角形的性质及垂直的性质得出，得出符合题意；由角平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，得出不符合题意；证明≌，得出，，得出符合题意；由，得出，得出符合题意；即可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，垂线的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：上述问题有三种正确命题，分别是：
命题：；命题：；命题：．
解：不妨选择命题：．
证明：，，．
平分，．
．
【解析】根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．
任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明．
本题考查的是平行线的性质与判定以及角平分线的定义，本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
18.【答案】解：题设：有两个角相等；结论：这两个角的补角相等；是真命题；
题设：有两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；是假命题；
反例：，．
【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查命题与定理，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
19.【答案】证明：，，
，，
，，
，
≌，
．
解：，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
由知：≌，
，，
，
．
【解析】只需证≌，
先证明是直角三角形，再用勾股定理求．
本题考查全等三角形的判定和性质，确定全等三角形的条件是求解本题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，设和交于点，
≌，
，
，
．
．
【解析】证明≌，即可解决问题；
设和交于点，根据≌，可得，然后根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可解决问题．
本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键．
21.【答案】解：，理由如下：
等边，，
，，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
；
等边，
等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，
可把改为：是边的中线或是的平分线．
【解析】由等边三角形的性质，，由，得，则有，再由三角形的外角性质，即有，从而得，故得；
根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进行求解即可．
本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”的掌握．
22.【答案】解：要使是等边三角形，即可得：，
在中，，，．
，
可得：，，
即，
解得：，
故答案为：；
当为或时，是直角三角形，
理由如下：
，，，
，
动点以，以的速度出发，
，，
是直角三角形，
或，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得．
所以，当为或时，是直角三角形．
【解析】根据等边三角形的性质解答即可；
分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．
23.【答案】解：作图如下：
．
【解析】本题主要考查的是基本作图的知识，明确作一个角等于已知角的方法是解题的关键；根据同位角相等，两直线平行线的判定定理可知，只要过点作使得其等于，那么；接下来根据作一个角等于已知角的方法作出即可．
24.【答案】解：如图，作的垂直平分线和的角平分线，它们相交于点，则点为所求．
【解析】由可得点在线段的垂直平分线上，由点到的两边距离相等得到点在的平分线上，于是作的垂直平分线和的角平分线，它们的交点为点．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线和角平分线．
25.【答案】，
【解析】解：如图，，
故答案为：；
如图，平分，，
，
，
；
，
理由是：如图，，，
，
即．
故答案为：，．
根据图形得出，代入求出即可；
根据角平分线定义求出，代入即可；
根据图形得出，，相减即可求出答案．
本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
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