初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试单元测试同步训练题

这是一份初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试单元测试同步训练题，共33页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
华师大版初中数学八年级上册第十四章《勾股定理》单元测试卷 
考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接CF，现在有如下4个结论：
①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=14．
其中正确结论的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 图甲是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2)演化而成的．如图乙中的OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有条．(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为(    )

A. 5 B. 3+52 C. 22 D. 10
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为(    )

A. 403 B. 154 C. 245 D. 6
5. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于A，B两点，点P在以C(−2,0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为(    )
A. 4932
B. 2518
C. 3225
D. 98
6. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).现分别在DG，BE上取点N，M(如图2)，使得DN=BM=EF，连接AM，CM，AN，CN.记△ADN的面积为S1，△AMB的面积为S2，若正方形ABCD的面积为272，且NF+DF=5，则S2−S1的值为(    )

A. 1 B. 2 C. 52 D. 3
7. 将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是(    )
A. 12≤h≤13 B. 11≤h≤12 C. 11≤h≤13 D. 10≤h≤12
8. 如图，在△ABC中，∠B=45°，点D在BC边上，CE⊥AD于点E，交AB于点F，FC=AD，若AF=6，BC=8，则AC的长是(    )

A. 52−1 B. 52 C. 35 D. 41
9. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(    )


A. 12 m B. 13 m C. 16 m D. 17 m
10. 如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离cm．(    )


A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
11. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是(    )

A. 13m B. 17m C. 18m D. 25m
12. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(    )
A. 12m
B. 13m
C. 16m
D. 17m
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为______．


14. 把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB=2，则BD=______．


15. 《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺，葛藤生于圆柱底部A点，等距离缠绕圆柱7周，恰好长到圆柱上底面的B点．那么葛藤的长度是________尺．


16. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是____．




三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图1，△ABC就是一个格点三角形．
(1)在图1中，作出△ABC关于直线m成轴对称的图形△A′B′C′；并直接写出△A′B′C′的面积为______；
(2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形；
(3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA+EC的值最小(保留作图痕迹，并标上字母E)；
(4)在图4的直线m上找出一点F，使得|FA−FC|的值最大(保留作图痕迹，并标上字母F)．


18. (1)已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE，连接CE.求证：①BD=CE，②∠DCE=120°；
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE，类比题(1)请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE；
①则题(2)的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连结BE，若BE=10，BC=6，直接写出AE的长。


19. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”.构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和(或平方差)等于第三个数的平方”，即满足以下关系：
(ㅤㅤ)2+(ㅤㅤ)2=(ㅤㅤ)2；①
或
(ㅤㅤ)2−(ㅤㅤ)2=(ㅤㅤ)2；②
要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：
(x+y)2−(x−y)2=4xy.③
如果等式③的右边也能写成“(ㅤㅤ)2”的形式，那么它就符合②的关系．
因此，只要设x=m2，y=n2，③式就可化成：(m2+n2)2−(m2−n2)2=(2mn)2．
于是，当m，n为任意正整数，且m>n时，“m2+n2，m2−n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．
(1)当m=2，n=1时，该组勾股数是______；
(2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m−n=1，求m，n的值；
(3)若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5(p是任意正整数)，则另外两个数分别为______，______(分别用含p的代数式表示)．
20. 已知∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上．

(1)如图①，若AO=4，BO=3，AB=BC，∠ABC=90°，求AC的长．
(2)如图②，若AO=4，BO=3，△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求OD的长．
(3)如图③，若AO=6，分别以AB，OB为直角边，B为直角顶点在△AOB外侧做等腰直角△ABE和等腰直角△OBF，连结EF交ON于点P，当点B由O点出发沿射线ON移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，直接写出PB的长：若变化，直接写出PB的取值范围．
___________________________
21. 请阅读下列材料：
已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．


22. 如图，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m．
(1)这个梯子底端离墙有多少米？
(2)如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？为什么？

23. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
(1)求高台A比矮台B高多少米？
(2)求旗杆的高度OM；
(3)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．


24. 如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少厘米?


25. 我们知道电视机的屏幕是矩形．如图，AD的长度称为屏幕宽，AB的长度称为屏幕高，对角线AC的长度称为该电视机的屏幕尺寸(单位：吋)．
电视机的屏幕宽、屏幕高比有下列两种型号：

屏幕宽：屏幕高
Ⅰ型
4：3
Ⅱ型
16：9
(1)在Ⅰ型电视机中，当屏幕宽为20吋时，求该电视机的屏幕尺寸；
(2)当Ⅱ型电视机的屏幕尺寸为54吋时，求该电视机的屏幕宽与屏幕高；
(3)已知两种型号的电视机屏幕尺寸一样，试比较它们的面积的大小．(已知：1337≈118，结果保留整数位)


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：如图，连接DF．

∵四边形ABCD都是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL)，
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，设GD=GF=x，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(4+x)2=82+(12−x)2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF//AG，故③正确，
∵S△ECG=12×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=35×24=725，故④错误，
故选：B．
①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．
②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．
④错误．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

2.【答案】B 
【解析】解：∵OA1=1，
∴由勾股定理可得OA2=12+12=2，
OA3=(2)2+12=3，
…，
∴OAn=n，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，完全平方数有1，4，9，16，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有4条，
故选：B．
OA1=1，根据勾股定理可得OA2=12+12=2，OA3=(2)2+12=3，找到OAn=n的规律，即可得到结论．
本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn=n的规律是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：

设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF=AB=5m，
由已知可得：∠AFL=90°−∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，
∴△AFL≌△FGM(AAS)，
∴AL=FM，
设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2，
∴x2+(x+m)2=(5m)2，
解得x=m或x=−2m(舍去)，
∴AL=FM=m，FL=2m，
∵tan∠AFL=APAF=ALFL=m2m=12，
∴AP5m=12，
∴AP=5m2，
∴FP=AP2+AF2=(5m2)2+(5m)2=52m，BP=AB−AP=5m−5m2=5m2，
∴AP=BP，即P为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CP=AP=BP=5m2，
∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
∴CPFP=CNAF=PNAP，即5m252m=CN5m=PN5m2，
∴CN=m，PN=12m，
∴AN=AP+PN=5+12m，
∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
∴BCAC=CHCE，
∵CE=10+2，
∴25+1=CH10+2，
∴CH=22，
故选：C．
设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF=AB=5m，证明△AFL≌△FGM(AAS)，可得AL=FM，设AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+(x+m)2=(5m)2，可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=5m2，FP=52m，BP=5m2，即知P为AB中点，CP=AP=BP=5m2，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=12m，即得AN=5+12m，而tan∠BAC=BCAC=CNAN=25+1，又△AEC∽△BCH，得BCAC=CHCE，即25+1=CH10+2，故CH=22．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识．
在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H.判定△AFE≌△AF′E，则EF=EF′，因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【解答】
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．

在Rt△ABC中，依据勾股定理可知AB=10．
∵S△ABC=12BC·AC=12AB·CH，
∴CH=AC·BCAB=245，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE=∠F′AE．
在△AFE和△AF′E中，
AF=AF′∠FAE=∠F′AEAE=AE,
∴△AFE≌△AF′E(SAS)，
∴EF=EF′
则EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为245．  
5.【答案】C 
【解析】解：连接BP，

由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为32，
∴BP长的最大值为32×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(−2t)2，
t=0(舍)或−45，
∴B(−45,−85)，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=−45×(−85)=3225；
故选：C．
作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．

6.【答案】A 
【解析】解：如图2中，设DN=BM=EF=a，NG=EM=b，
则有(a+b)2+(2a+b)2=272a+b+2a+b=5，
解得a2=2，
∵S2−S1=12⋅a⋅(2a+b)−12⋅a⋅(a+b)=12a2=1，
故选：A．
如图2中，设DN=BM=EF=a，NG=EM=b，构建方程组求出a2，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、弦图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

7.【答案】A 
【解析】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=25−12=13cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB=AB2+BC2=122+52=13cm，
故h=25−13=12cm．
故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．
故选：A．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．

8.【答案】D 
【解析】解：如图，过A点作AN⊥BC交FC于O点，交BC于N点，过F点作FM⊥BC于M点．

∵∠FCM+∠NOC=90°，∠DAN+∠AOE=90°，且∠NOC=∠AOE，
∴∠DAN=∠FCM．
又∠AND=∠CMF=90°，AD=CF．
∴△ADN≌△CFM(AAS)．
∴AN=MC，DN=FM，
∵∠B=45°，
∠BMF=90°，∠ANB=90°，
∴△BMF和△ANB都是等腰直角三角形，
设BM=FM=a，AN=BN=b，
∴BF=2a，AB=2b，
∵AN=CM，
∴BC=BM+MC=BM+AN=a+b，
∵AF=6，BC=8，
∴AF=AB−BF=2b−2a=6，
BC=a+b=8，
∴2b−2a=6a+b=8，
解得 a=8−322b=8+322，
∴AN=BN=b=8+322，
∴CN=BC−BN=8−8+322=8−322，
在Rt△ANC中，利用勾股定理，得
AC=AN2+NC2=(8+322)2+(8−322)2=41．
故选：D．
过A点作AN⊥BC交FC于O点，交BC于N点，过F点作FM⊥BC于M点．证明△ADN≌△CFM，可得AN=MC，DN=FM，根据∠B=45°，∠BMF=90°，∠ANB=90°，可得△BMF和△ANB都是等腰直角三角形，设BM=FM=a，AN=BN=b，可得AF=AB−BF=2b−2a=6，BC=a+b=8，联立方程组可得a和b的值，再根据勾股定理即可求出AC的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二元一次方程组，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．本题属于中考选择题的压轴题．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的意义，在用勾股定理解决实际问题时，首先应根据实际问题抽象出数学图形，即画出符合题意的几何图形，构造直角三角形，然后根据勾股定理就可以顺利求出边长．
【解答】
解：如图所示，作BC⊥AE于点C，则BC=DE=8m，
设AE=xm，则AB=xm，AC=(x−2)m，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(x−2)2+82=x2，解得x=17．
即旗杆的高度为17m．
故选D．

  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【解答】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm−4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C2=122+92=152．
∴A′C=15cm
故选B．  
11.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度=132−52=12(米)，
∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17米．
故选B．  
12.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的意义，在用勾股定理解决实际问题时，首先应根据实际问题抽象出数学图形，即画出符合题意的几何图形，构造直角三角形，然后根据勾股定理就可以顺利求出边长．
【解答】
解：如图所示，作BC⊥AE于点C，则BC=DE=8m，
设AE=xm，则AB=xm，AC=(x−2)m，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(x−2)2+82=x2，解得x=17．
即旗杆的高度为17m．
故选D．

  
13.【答案】6 
【解析】解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．
得∠A=∠ABE
根据折叠，得∠ABE=∠CBE
再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°
∴CE=12BE=2
则AC=4+2=6．
运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．
此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．

14.【答案】1+3 
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AB=2，BF=AF=12BC=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=AD2−AF2=3，
∴BD=BF+DF=1+3，
故答案为：1+3．
过点A作AF⊥BC于F，先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

15.【答案】29 
【解析】
【分析】
此题考查了学生对圆柱的计算及勾股定理的实际应用能力，理解清楚题意对解题也很重要．根据题意画出平面图，则可得到大矩形的对角线AB′的长就是葛藤的实长，根据勾股定理即可求得AB′的长．
【解答】
解：由于枯木上下粗细相差不大，不妨设此枯木为一圆柱体，因为葛藤绕枯木七周而达顶，这样需将枯木滚动七周，表面展开成7个并排的矩形，如下图：
每个矩形底边都等于3尺，高都等于20尺，大矩形的对角线AB′的长就是葛藤的实长，
∴AB′=AA′2+A′B′2=212+202=29(尺)．
故答案为29．  
16.【答案】55 
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则sin∠BAC=BCAB=55，
故答案为：55．  
17.【答案】5.5 
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

△A′B′C′的面积=3×4−12×2×3−12×1×4−12×1×3=5.5；
故答案为：5.5；
(2)如图，点D即为所求；

(3)如图，点E即为所求；

(4)如图，点F即为所求．

(1)在图1中，作出△ABC关于直线m成轴对称的图形△A′B′C′；出△A′B′C′的面积；
(2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形；
(3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA+EC的值最小；
(4)在图4的直线m上找出一点F，使得|FA−FC|的值最大．
本题考查了作图−轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．

18.【答案】证明：(1)①如图1，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
②∵△ABD≌△ACE
∴∠ACE=∠B=60°
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°
(2)∠DCE=90°；BD2+CD2=DE2
证明：如图2，
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE
∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2
∴BD2+CD2=DE2
(3)①(2)中的结论还成立。
理由：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠ABC=45°，BD=CE
∴∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°=∠ECD
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2
∴BD2+CD2=DE2
②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6
∴CE=BE2−BC2=102−62=8
∴BD=CE=8
∴CD=8−6=2
∴Rt△DCE中，DE=CE2+CD2=82+22=68
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=682=34 
【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。
(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
②由△ABD≌△ACE以及等边三角形的性质，得出∠ACE=∠B=60°，则∠DCE=∠ACE+∠ACB=120°；
(2)先判定△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠ACE=∠B=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
(3)①运用(2)中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE=8，进而得出CD=8−6=2，在Rt△DCE中，求得DE=68，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长。

19.【答案】3，4，5  2p+3  2p2+6p+4 
【解析】解：(1)当m=2，n=1时，m2+n2=5，m2−n2=3，2mn=4，
∴该组勾股数是3，4，5，
故答案为：3，4，5；
(2)∵(m2+n2)−(m2−n2)=2n2>0，
∴m2+n2>m2−n2，
∵m2+n2−2mn=(m−n)2>0，
∴m2+n2>2mn，
∴最大的数为m2+n2，
①当m2−n2最小时，(m2+n2)+(m2−n2)=2m2=72，
解得m=6或m=−6(舍去)，
又∵m−n=1，
∴n=5；
②当2mn最小时，(m2+n2)+2mn=(m+n)2=72，
解得m+n=±62(舍去)，
综上所述，m=6，n=5；
(3)2p2+6p+5=(p2+2p+1)+(p2+4p+4)=(p+1)2+(p+2)2，
令m=p+2，n=p+1，则
m2−n2=(p+2)2−(p+1)2=2p+3，2mn=2(p+2)(p+1)=2p2+6p+4，
∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，
故答案为：2p+3，2p2+6p+4．
(1)将m=2，n=1代入计算，即可得到m2+n2=5，m2−n2=3，2mn=4，进而得出该组勾股数是3，4，5；
(2)依据作差的方法即可判断出最大的数为m2+n2，再分类讨论：①当m2−n2最小时，②当2mn最小时，分别依据最大的数与最小的数的和为72，且m−n=1，即可得出m，n的值；
(3)先利用配方法，得到2p2+6p+5=(p+1)2+(p+2)2，再令m=p+2，n=p+1，即可得到另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4．
本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．

20.【答案】解：(1)∵∠MON=90°，
∴AB=AO2+BO2=42+32=5，
又∵AB=AC=5，∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=52+52=50；
(2)当点D在OM上方时，连结OD，作DH⊥ON于H，

∴∠DBH+∠ABO=180°−∠ABD=90°，
又∵∠MON=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBH=∠BAO，
∵∠DHB=∠BOA=90，BD=AB，
∴△BDH≌△ABO(AAS)，
∴DH=BO=3，BH=AO=4，
∴OH=BH+BO=4+3=7，
∴OD=OH2+DH2=72+32=58，
当点D在OM下方时，连结OD，作DH⊥ON交ON反向延长线于H，

∴∠DBH+∠ABO=∠ABD=90°，
可证△BDH≌△ABO(AAS)，
∴DH=BO=3，BH=AO=4，
∴OH=BH−BO=4−3=1，
∴OD=OH2+DH2=12+32=10，
综上，OD的长为58或10；
(3)3． 
【解析】
【分析】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)由勾股定理解答即可；
(2)分两种情况：①当点D在OM上方时，连结OD，作DH⊥ON于H；②当点D在OM下方时，连结OD，作DH⊥ON交ON反向延长线于H，分别根据全等三角形的判定与性质与勾股定理即可求得OD的长；
(3)作EG⊥ON于G，根据全等三角形的判定与性质可得结果．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图示，作EG⊥ON于G，

可证△ABO≌△BEG(AAS)，
∴AO=BG，OB=EG，
又∵FB=OB，
∴FB=EH，
∵∠FPB=∠EPB，∠FBP=∠EGP=90°，
∴△FPB≌△EPG(AAS)，
∴PB=PG=12BG，
∴PB=12AO=12×6=3．
故答案为3．  
21.【答案】解：(1)DE2=BD2+EC2；

(2)关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC−∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
即DE2=BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB.连接DT．

∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠TBC=∠TBD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAT=∠DAE，
∵AD=AD，
∴△DAT≌△DAE(SAS)，
∴DT=DE，
∵DT2=DB2+EC2，
∴DE2=BD2+EC2；

(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与(2)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°． 
【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；
(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．
此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．

22.【答案】解：(1)由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，
可得：b=7米，
答：这个梯子底端离墙有7米；

(2)不是．
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24−4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米． 
【解析】(1)由题意得a=24米，c=25米，根据勾股定理a2+b2=c2，可求出梯子底端离墙有多远．
(2)由题意得此时y=20米，c=25米，由勾股定理可得出此时的x，继而能和(1)的b进行比较．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．

23.【答案】解：(1)10−3=7(米)
(2)如图：

作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°
∴∠AOE=∠OBF
在△AOE和△OBF中，∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBFOA=OB，
∴△AOE≌△OBF(AAS)，
∴OE=BF，AE=OF
即OE+OF=AE+BF=CD=17(m)
∵EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7(m)，
∴2EO+EF=17，
则2×EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
(3))由勾股定理得OB=OA=ON=13，
∴MN=15−13=2(m)．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米． 
【解析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
(1)由题意直接可得．
(2)作AE⊥OM，BF⊥OM，可证△AOE≌△BFO，可得AE=OF，OE=BF，则AE−BF=EF=7，且AE+BF=17可求AE=OF=12，OE=BF=5，即可求OM的长．
(3)根据勾股定理可求OA=OB=ON=13，即可求MN的长．

24.【答案】解：将长方体展开，连接AB′，

∵AA′=1+3+1+3=8(cm)，A′B′=6(cm)，
 根据两点之间线段最短，AB′=82+62=10(cm)．
故所用细线最短需要10厘米. 
 
【解析】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决.要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

25.【答案】解：(1)∵电视机屏幕宽：屏幕高=4：3，Ⅰ型电视机屏幕宽为20吋，
∴20：屏幕高=4：3，
∴屏幕高为15吋，
∴该电视机的屏幕尺寸为202+152=25吋；
(2)∵Ⅱ型电视机的屏幕宽AD：屏幕高AB=16：9，
设屏幕宽AB=x吋，则屏幕高BC=AD=169x吋，
∴屏幕尺寸AC=AB2+BC2=x2+(169x)2=54，
则33781x2=2916，
∴x=542×92337≈54×918=27(负值舍去)，
∴AD=169x=169×27=48(吋)，
∴该电视机的屏幕宽与屏幕高分别为48吋，27吋；
(3)设Ⅰ型电视机AB=y吋，则AD=43y吋，
∴面积为：y⋅43y(吋 2)，屏幕尺寸AC=y2+(43y)2(吋)，
设Ⅱ型电视机AB=x吋，则AD=169x吋，
∴面积为：x⋅169x(吋 2)，屏幕尺寸AC=AB2+BC2=x2+(169x)2(吋)，
∵两种型号的电视机屏幕尺寸一样，
∴y2+(43y)2=x2+(169x)2，
∴259y2=33781x2，
∴y2x2=33781×925，
∴yx=3379×25≈183×5=65，
∴面积比为：(y⋅43y)：(x⋅169x)=43×916×(65)2=27：25．
∴Ⅰ型电视机与Ⅱ型电视机面积比为：27：25．
∴Ⅰ型电视机面积更大． 
【解析】(1)根据电视机屏幕宽：屏幕高=4：3，Ⅰ型电视机屏幕宽为20吋，进而可得出结论；
(2)根据Ⅱ型电视机的屏幕宽AD：屏幕高AB=16：9，设屏幕宽AB=x吋，则屏幕高BC=AD=169x吋，利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题；
(3)设Ⅰ型电视机AB=y吋，则AD=43y吋，面积为：y⋅43y(吋 2)，屏幕尺寸AC=y2+(43y)2(吋)，设Ⅱ型电视机AB=x吋，则AD=169x吋，面积为：x⋅169x(吋 2)，屏幕尺寸AC=AB2+BC2=x2+(169x)2(吋)，根据两种型号的电视机屏幕尺寸一样，列出等式进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．