2021-2022学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 矩形、菱形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，在中，，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列二次根式：；；；将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5. 用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，矩形的对角线交于点，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若：：，交于，则：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 某商场销售某种水果，第一次降价，第二次又降价，则这两次平均降价的百分比是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，则下列结论正确的有个．(    )
    ；
    由点、、、构成的四边形是菱形；
    ；
    ．
    其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
15. 如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点若，则的大小为______度．

16. 最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值是______．
17. 如图，在直角中，已知，于点，若，则的长是______．

18. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接若，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解方程：
    ；
    ．
21. 如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，求树高．

22. 如图，矩形的对角线、交于点，且，．
    
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．
23. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价元，在销售过程中发现，当销售价为元时，每天可售出件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价元，平均可多售出件．
    若每件冰墩墩周边降价元，商家平均每天能盈利多少元？
    每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利元？
24. 如图在中，，，点为的中点，点，分别为，边上的动点．
    若点，分别为，的中点，求线段的长；
    若，
    求证：∽；
    试问与相似吗？并说明理由．
     

25. 利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：
    材料一：已知，求、的值．
    解：，
    ，
    ，
    ，
    ，
    ．
    材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？
    ，，．
    代数式有最小值；
    ，，．
    代数式有最大值．
    学习方法并完成下列问题：
    代数式的最小值为______；
    如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为米，则花圃的最大面积是多少？
    已知的三条边的长度分别为，，，且，且为正整数，求周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：．
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：；
；
，
，
所以，和是同类二次根式，
故选：．
先把每一个二次根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即可解答．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，即，
故选：．
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
由条件可求得为等边三角形，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，方程没有实数根，故本选项正确；
B、，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D、，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选：．
分别计算出每个方程的判别式即可判断．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：：：，
设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
故选D．
通过证明∽，可得：，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：∽，，，，
，即，解得，
四边形为矩形，
，
由勾股定理得：
．
故选：．
先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设这两次平均降价的百分比是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
这两次平均降价的百分比是．
故选：．
设这两次平均降价的百分比是，利用经过两次降价后的价格原价这两次平均降价的百分比，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
平行四边形是菱形，故正确；
，，
是的中位线，
，，
，
，
，故正确；
连接，如图：

是等边三角形，平分，平分，
到三边的距离相等，
，
，故正确；
正确的是，
故选：．
由证明≌，得出，证出是的中位线，得出，正确；
先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，得出四边形是菱形，正确；
证是的中位线，得，，则，再由，则，正确；
连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则，正确；即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大．
 

13.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围为且．
故答案为：且，
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，且为正方的对角线，
与关于直线对称，，
，
为的外角，
，
，
故答案为．
根据正方形的对称性可知，与关于直线对称，得到，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．
本题主要考查正方形的性质，解题关键是是利用了正方形关于对角线所在的直线对称求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
，
或，
或，
，
，
．
故答案为：．
根据同类二次根式和最简二次根式的定义列出方程，求出的值，根据二次根式有意义的条件进行判断即可得出答案．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
．
又，
由勾股定理，得．
，同角的余角相等，
∽．
，即．
．
故答案为：．
利用射影定理求得的长度；然后根据勾股定理推知的长度；最后由相似三角形∽的对应边成比例求得的长度．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角相等以及同角的余角相等等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
则，即，
，
，；
，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

21.【答案】解：过作交于点，交于点，如下图所示：
由已知得，，，，
，，
四边形为矩形，
米，米，米，
米，
，，
，
∽，
，
，
解得，
米．
答：树高为米． 

【解析】过作交于点，交于点，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形，
，，，
，
平行四边形是菱形；
解：在矩形中，，，，
，
，
连接，交于点，

四边形为菱形，
为中点，
为中点，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质求出，根据菱形的判定得出即可．
利用含度角的直角三角形的性质求出，，连接，交于点，根据菱形的性质得出为中点，求出，求出，求出菱形的面积即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，
注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
 

23.【答案】解：


元．
答：商家平均每天能盈利元．
设每件冰墩墩周边降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件冰墩墩周边降价元或元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利元． 

【解析】利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润每件的利润每天的销售量，即可求出结论；
设每件冰墩墩周边降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：、分别为，的中点，
，
又，，
，
；

，，
，
又，
，
又，
，
∽；

与相似，理由如下：
由得：，
又为的中点，
，
，
，
∽． 

【解析】由勾股定理求得，在根据三角形中位线定理求得结论；
由等腰直角三角形求得，由于，得到，根据三角形内角和定理求得，得到，根据三角形相似的判定即可证得结论；
由相似三角形的性质和得到，又，根据三角形相似的判定即可证得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，证得是解决问题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
设花圃的面积为平方米，根据题意，
得


，
，
，
当时，，
花圃的最大面积为平方米；
，
，
，
，，
，
为正整数，
最小为，
周长的最小值为．
将代数式配方即可；
设花圃的面积为平方米，根据题意得配方成，即可求出最大面积；
根据配方法可得和的值，再根据三角形的三边关系即可求出的最小值，进一步求周长最小值即可．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．