2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版

2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列分式中，属于最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 把分式中的、都扩大倍，则分式的值(    )

A. 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 缩小为原来的

3. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 年月日“天宫课堂”开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富演示了微重力环境下细胞学实验、人体运动、液体表面张力等神奇现象．细胞的大小依据细胞种类不同有很大的差异，目前已知最小的细胞是支原体，直径只有，已知，则用科学记数法可以表示为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 某地为了响应习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植树木棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划增加了，结果提前天完成任务，列出方程，则表示(    )

A. 原计划每天种植树木的数量
B. 志愿者加入后实际每天种植树木的数量
C. 原计划参与种植树木的人数
D. 志愿者加入后实际参与种植树木的人数

6. 关于的分式方程有增根，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列结论中，不正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半
D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

8. 若点，，都是反比例函数图象上的点，且则、、的大小关为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 公园内有一段矩形走道，其地面使用灰色与白色两种全等的等腰直角三角形地砖铺列，如图所示，若其中灰色等腰直角三角形地砖排列总共有个．则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是(    )
    ；与全等的三角形共有个；四边形与四边形面积相等；由点、、、构成的四边形是菱形．

A.  B.  C.  D.

11. 如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且点不与点，重合．过点作于点，于点，连接，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，以的各边为边分别向外作正方形，，连结，点为的中点，连结，，若要求出的面积，只需知道(    )

1. 的面积
   B. 正方形的面积
   C. 正方形的面积
   D. 正方形的面积

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 化简：的结果是______．
14. 将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．
15. 如图，已知点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴的负半轴上，若，则的值为______．

16. 若一个平行四边形的一个内角平分线把一条边分成和两条线段，则该平行四边形的周长为______．
17. 如图，在平行四边形中，于，于，，且，则平行四边形的周长等于______．

18. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 已知．
    化简．
    若点在直线与反比例的图象的交点，求值．
22. 近日，俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注，此次事件也让我们深切体会到：只有祖国强大了，人民群众才能安居乐业．某校组织七、八年级各名学生举行了“少年强则国强”演讲比赛．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了名学生，统计这部分学生的比赛成绩，相关数据统计、整理如下：
    【收集数据】
    七年级名同学比赛成绩统计如下：，，，，，，，，，；
    八年级名同学比赛成绩统计如下：，，，，，，，，，．
    【整理数据】两组数据各分数段，如表所示：

【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

【问题解决】根据以上信息完成下列问题：
______，______，______，______；
请你估计哪个年级的比赛成绩更稳定；
按照比赛规定分及其以上算优秀，请估计这两个年级比赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？

23. 如图，菱形的对角线与交于点，分别过点、点作、的平行线交于点，连接交于点．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求的长．

24. 冰墩墩是年北京冬奥会的言祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品很受大家喜爱．已知型号的冰墩墩手办比型号的冰墩墩钥匙扣的单价多元，用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．
    求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
    若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？

25. 如图，一次函数与反比例函数图象交于点，，轴于点，轴于点．
    填空：______，______，______；
    观察图象，直接写出在第二象限内取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
    是线段上的一点，连接，，若，求点的坐标．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
    求证：≌；
    请直接写出点的坐标，并求出直线的函数关系式；
    若点是轴上的一个动点，点是线段上的点不与点、重合，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点坐标．若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，不符合题意；
B.原式，不符合题意；
C.原式为最简分式，符合题意；
D.原式，不符合题意．
故选：．
利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
把分式中的、都扩大倍，进行化简即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质，把分式中的、都扩大倍，进行化简是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，，
，，
点在第一象限，
故选：．
根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：设原计划每天种植树木棵，则实际每天植树棵，
依题意得：，
故选：．
设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，即可得出关于的分式方程．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
把代入中，
，
解得：，
故选：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故选项C不符合题意；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
由菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的性质与判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
又，
．
故选：．
先判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，判断出、、的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
答：步道上总共使用个三角形地砖．
故选：．
中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到三角形的个数为．
本题考查了矩形的性质和图形的变化类，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，≌≌≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，正确；
，
由菱形的性质得：≌≌，
在和中，
，
≌，
≌≌≌≌≌≌，不正确；
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故正确；
故选：．
由证明≌，得出，证出是的中位线，得出，正确；
先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，因此，得出四边形是菱形，正确；
由菱形的性质得出≌≌，由证明≌，得出≌≌≌≌≌≌，得出不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出正确；即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
，
的最小值为，
故选：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得，时，有最小值，由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长交于点，交于点，连接，，，

四边形，四边形，四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
若要求出的面积，只需知道正方形的面积．
故选：．
连接并延长交于点，交于点，连接，，，证明≌，≌，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

13.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
由分式的减法法则可知同分母，分子直接相减，再约分即可求解．
本题考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式加减法法则，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母分式的加减利用通分转化为同分母分式再加减．
 

14.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为：．
故答案为：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

轴，，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据轴，可得，再根据反比例函数的几何意义即可求出的值．
本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，
的平分线交于点，

，
，

，
分两种情况进行讨论：
当，时，，，平行四边形的周长；
当，时，，，平行四边形的周长；
综上所述：▱的周长是或．
故答案为或．
利用平行四边形的性质和角平分线证出，得出，由此求出另一边，从而求出周长，注意两种情况．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：于，于，
，
，
，
，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，，
同理可得，
平行四边形的周长是，
故答案为：．
由于，于，，易求得的度数，又由在平行四边形中，证得与是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得与是等腰直角三角形是关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
解集为，
，
；
分式方程两边都乘以得：，
解得：，
分式方程有非负整数解，
，
，
，
，
综上所述，且，
符合条件的所有整数的数有：，，，，
和为．
故答案为：．
分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得的范围；综上所述，求得的范围．根据为整数，求出的值，最后求和即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时一定记得要检验．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、有理数的平方的知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方等知识点的运算．
 

20.【答案】解：原方程化为：
，
两边同乘，得：
，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是原方程的解． 

【解析】根据解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤，首先对原方程进行变形，把分母化为相同的是解题关键．
 

21.【答案】解：


．
点在直线与反比例的图象的交点，
将点分别代入得，，
，
． 

【解析】直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：将七年级名同学比赛成绩重新排列为：，，，，，，，，，，其中在范围内的数据有个，
故．
中位数，
将八年级名同学比赛成绩重新排列为：，，，，，，，，，．
其众数，
平均数，
故答案为：，，，；
，，
因为，
所以估计八年级学生的竞赛成绩更稳定；
人，
答：估计这两个年级比赛成绩达到优秀学生的人数共有人．
根据平均数、中位数和众数的概念求解即可；
根据方差的意义即可得出答案；
用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
由得：四边形是矩形，
，，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，得，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由矩形的性质得，，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元；
设能购买个型号的纪念品，则购买个型号的纪念品，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买个型号的纪念品． 

【解析】设种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元，由题意：用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．列出分式方程，解方程即可；
设能购买个型号的纪念品，则购买个型号的纪念品，由题意：所花费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】    

【解析】解：一次函数与反比例函数图象交于点，，
，，
，，，
故答案为：，，；
当时，一次函数的值大于反比例函数的值；
由可知，一次函数设点坐标为，
和的面积相等，
，
解得，
点坐标为
利用待定系数法即可求得；
根据图象即可求得；
由于点在直线上；可设，利用两个三角形的面积相等列方程求出，进而确定点的坐标．
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，，
，
将线段绕着点顺时针旋转得到，
，
在和中，，
≌；
解：在中，令，则；
令，则，
点的坐标为，点的坐标为，
设，
由得：≌，
，，
点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
将、代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为；
解：存在，理由如下：
点在线段上，直线的解析式为，
设点，
点在轴上，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标点的纵坐标，
，
解得：，
，
设点的坐标为，分两种情况：
如图所示：

则，
解得：，
；
如图所示：

则，
则，
；
综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或． 

【解析】利用同角的余角相等可得出，由旋转的性质可得出，结合即可证出≌；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设，则点的坐标为，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，进而可得出点，的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
设点，由题意得，，则点的纵坐标点的纵坐标，求出，则，设点的坐标为，分两种情况，由平行四边形的性质得出方程，解方程即可．
本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，由待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．