2021-2022学年广东省潮州市湘桥区九年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省潮州市湘桥区九年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在下列四个实数中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 截止到年月日，诠释伟大抗美援朝精神的电影长津湖累计票房已突破亿元，其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. ，且
C. ，且 D.

6. 有两个袋子，装着形状、大小相同的小球，其中甲袋有红球个，白球个，乙袋有红球个，白球个，从两个袋中各随机摸出一个球，两个都是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，▱的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为上一动点，则的最小值为(    )

A. 无法确定 B.  C.  D.

9. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连，则线段的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 计算：______．
12. 把多项式因式分解的结果是______．
13. 如图，直线，如果，那么______．

14. 若，，则的值是______．
15. 已知，则 ______ ．
16. 如图，菱形中，，，延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到；再延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到按此规律，得到，记的面积为，的面积为，的面积为，则______．

17. 如图，正方形中，对角线、交于点，的平分线交于，交于，于，交于，交于，连接、，以下结论：≌；四边形是菱形；；，其中正确的结论是______只填序号

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 解方程组：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
    作出绕点逆时针旋转得到的；
    点运动的路径的长为______直接写出答案

20. 为迎接建党周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：回顾重要事件；列举革命先烈；讲述英雄故事；歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
    
    本次被调查的学生共有______名，在扇形统计图中“项目”所对应的扇形所占的百分比为______；
    在扇形统计图中“项目”所对应的扇形圆心角的度数为______，并把条形统计图补充完整；
    若该校有学生人，则估计参加“项目”讲述英雄故事的学生共有______名．
21. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多元，该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
    求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
    由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了元桶、元桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
22. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    请直接写出时的取值范围；
    过点作轴，于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．

23. 如图，中，，以点为圆心，为半径作，为上一点，连接、，，平分．
    求证：是的切线；
    延长、相交于点，若，求的值．

24. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
    求线段的长；
    如图，，分别是线段，上的动点与端点不重合，且，设，．
    写出关于的函数解析式，并求出的最小值；
    是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
     

25. 已知抛物线．
    证明：该抛物线与轴总有两个不同的交点；
    设该抛物线与轴的两个交点分别为，点在点的右侧，与轴交于点，，，三点都在上．
    试判断：不论取任何正数，是否经过轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
    若点关于直线的对称点为点，点，连接，，，的周长记为，的半径记为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以所给的四个实数中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得：．
故选：．
根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如下：

共种等可能的情况数，其中两个都是红球的有种，
则两个都是红球的概率是．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出摸到两个都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

由作图可知，平分，
，，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为，
故选：．
如图，过点作于根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积是，小正方形面积是，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，
，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
如图，连接，作于首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题；
【解答】
解：如图，连接，作于．

，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大，
在中，，，
，，
在中，，
的最大值为，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先计算零指数幂和绝对值，然后计算加法，求出算式的值即可．
此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：；．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，

，
，
故答案为：．
根据补角的定义和平行线的性质求解．
此题主要考查平行线的性质和补角定义，关键是熟练地应用平行线的性质和补角定义解题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
根据同底数幂除法法则计算即可．
本题考查了同底数幂除法，熟记法则是解题的关键，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
等式两边同时除以，得，
解得：，
故答案为：．
根据方程的解的定义得到，根据等式的性质计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握方程的解的定义、等式的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作于，则，

四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
，
的面积，
同理的面积，
，

，
故答案为：．
过作于，则，根据菱形的性质得出，，求出，，求出高，再求出的面积，同理求出，，，根据求出的结果得出规律，再根据求出的规律得出答案即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，图形的变化类，三角形的面积等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是线段的垂直平分线，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
四边形是菱形；正确；
设，菱形的边长为，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得，
，，
四边形是正方形，
，
，
≌，
，
，
，错误；
，，
，
在和中，
，
≌，
，正确；
故答案为：．
证明≌，得出，得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出，，由正方形的形状得出，，，证出，得出，因此，即可得出正确；
设，菱形的边长为，证出，由正方形的性质得出，，证出，由证明≌，正确；
求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行线得出，得出，因此正确；
证明≌，得出，正确．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：． 

【解析】利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握与运用．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．

，，
点运动的路径的长为．
故答案为：．
根据旋转的性质作图即可．
利用弧长公式求出即可．
本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解答本题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：本次被调查的学生共有：名；
在扇形统计图中“项目”所对应的扇形所占的百分比为，
故答案为：，；
项目的人数有：人，
图中“项目”所对应的扇形圆心角的度数为：；
补全统计图如下：

若该校有学生人，则估计参加“项目”讲述英雄故事的学生共有名，
故答案为：．
根据项目的人数和所占的百分比求出总人数，“项目”的人数除以总数即可得所占的百分比；
用总人数减去其它项目的人数，求出项目的人数，再用乘以“项目”所占的百分比即可得出“项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；
用总人数乘以参加“项目”的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价为元桶，乙种消毒液的零售价为元桶．
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
 

22.【答案】解：把代入中得，
反比例函数的表达式为，
，
把和代入一次函数得，
解得，
一次函数的表达式为；

从图象可以看出，时的取值范围为或；

点，点，
则，
由得，
故点或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
观察函数图象即可求解；
点，点，则，由得，进而求解．
本题考查了反比例函数的图象的性质以及一次函数的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

23.【答案】解：证明：平分，
．
又，，
≌，
，
，
即是的切线；
由可知，，
又，
∽．
，且≌，
：：，
：：．
，
：：．
． 

【解析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，正切的定义，证明出∽是解题的关键．
根据证明≌，所以，进而，所以是的切线；
易证∽，因为，且≌，所以：：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得：：：，根据正切的定义即可求出的值．
 

24.【答案】解：如图中，

四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：，设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
．

如图中，

，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
当时，有最小值，最小值．

存在．由题意：，可以推出，推出，
有两种情形：如图中，当时，

，，
∽，
，
，
，
．

如图中，当时，作于．

，
，
，
，
，
，
，
由∽，可得，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】由翻折可知：，设，则在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
证明∽，可得，由此即可解决问题．
存在．有两种情形：如图中，当时．如图中，当时，作于分别求解即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：令，
，
，
，
，
该抛物线与轴总有两个不同的交点；
令，
，
，
或，
，，
，，
令，
，
，
．
通过定点理由：如图，

点，，在上，
，
在中，，
在中，，
，
点的坐标为，
因此，是否经过轴上的定点；
如图，

由知，点，
，
点在上，
点是点关于抛物线的对称轴的对称点，
，
是的直径，
，
，
，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，，
． 

【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，对称性，求出点，，的坐标是解本题的关键．
令，再求出判别式，判断即可得出结论；
先求出，，，
判断出，求出，即可求出，即可得出结论；
判断出，得出是的直径，进而设，得，，即可得出结论．