2022届西藏自治区拉萨中学高三下学期第八次月考数学（理）试题含解析

2022届西藏自治区拉萨中学高三下学期第八次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合 ， ，则等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解不等式，化简集合，求出，再和求交集，即可得出结果.

【详解】由得或，则或，因此；

又，则.

故选：C.

【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.

2．设,复数 (是虚数单位)的实部为,则复数的虚部为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法运算化简复数，根据复数实部为2，求得，进而得结果.

【详解】 ,

∵复数的实部： ∴ ，∴复数的虚部：

故选C.

【点睛】本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为的形式，是这个复数的实部，b是这个复数的虚部.

3．正项等差数列的前和为，已知，则=（     ）

A．35 B．36 C．45 D．54

【答案】C

【分析】由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.

【详解】正项等差数列的前项和，

，

，

解得或（舍），

，故选C.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.

4．下列说法正确的是（     ）

A．若“”为真命题，则“”为真命题

B．命题“”的否定是“”

C．命题“若，则”的逆否命题为真命题

D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】C

【分析】选项A，根据“或”一真则真，“且”一假则假，可得正误；选项B，含有一个量词的命题的否定要注意：一改量词，二改结论；选项C，通过判断原命题的真假，可得C的正误；选项D，求出方程的根，即得D的正误.

【详解】“”为真，则命题有可能一真一假,则“”为假，故选项A说法不正确；

命题“”的否定应该是“”，故选项B说法不正确；

因命题“若，则”为真命题,所以其逆否命题为真命题，故选项C说法正确；

若，则；若，则或.所以“”是“”的充分不必要条件，选项D说法不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查逻辑连结词、命题和充分必要条件，属于基础题.

5．已知函数在点处的切线经过原点，则实数（        ）

A． B．0 C． D．1

【答案】D

【分析】先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解

【详解】函数f（x）＝xlnx+a，

f′（x）＝lnx+1，∴f′（1）＝1，

切线方程为y＝x﹣1+a，故0＝0﹣1+a，解a＝1．

故选D．

【点睛】本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题．

6．函数，的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（     ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【详解】，即值域，若在区间上随机取一个数的事件记为，则，故选B．

7．设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据中点坐标公式可求得，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.

【详解】设，，中点横坐标为，则，解得：；

.

故选：C.

8．为了得到函数的图象，只需把上所有的点（       ）

A．先把横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位

B．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位

C．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左右移个单位

D．先把横坐标缩短到原来的，然后向右平移个单位

【答案】A

【分析】根据三角函数图象变换的结论判断各选项的对错即可.

【详解】把上所有的点横坐标缩短到原来的倍，可得的函数图像，

再将其向左平移个单位可得，A对，

把上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，可得的函数图像，

再将其向左平移个单位可得，B错，

把上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，可得的函数图像，

再将其向左平移个单位可得，C错，

把上所有的点横坐标缩短到原来的倍，可得的函数图像，

再将其向右平移个单位可得，D错，

故选：A.

9．已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据双曲线的焦点坐标，求得a和b的关系，由焦点到渐近线的距离得，解得a和b，问题得解．

【详解】解：设双曲线的方程为：，其渐近线方程为：

依题意可知，

解得，

∴双曲线C的渐近线方程为，

故选D．

【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，属基础题．

10．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值.

【详解】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，

由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，

球的大圆是该等边三角形的内切圆，

所以，，

，

所以球与圆锥的表面积之比为

故选：B

【点睛】本题考查了球的内切问题，考查了球的表面积公式、圆锥的表面积求法，需熟记公式，属于基础题.

11．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，求其导数结合条件得出单调性，再结合的奇偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案.

【详解】设，则，

∵ 当时，，

当时，，即在上单调递减.

由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.

又，所以当或时，；

当或时，.

所以当或时，.

故选：B.

12．已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】【分析】

如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则、、 设因为所以点轨迹为

令则

则

由 得 故选

点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点．

二、填空题

13．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数的值为___．

【答案】

【分析】根据向量的夹角公式建立等式可求解.

【详解】由题意有，解得，

由，可知，因此.

故答案为：

14．展开式中的常数项为__________．

【答案】

【详解】，令，得，

∴常数项为．

15．设实数，满足，则的最小值为_________．

【答案】4

【分析】根据题意作出平面区域，目标函数可化为，通过平移确定其在轴的截距为的最小值．

【详解】根据题意做出平面区域，如图所示：

目标函数，即表示为斜率，在轴的截距为

如虚线所示，通过平移可得在点处时取到最小值

，解得，即，则的最小值为4

故答案为：4．

16．已知椭圆 与双曲线 有公共的左、右焦点,它们在第一象限交于点,其离心率分别为,以为直径的圆恰好过点,则________.

【答案】.

【分析】由椭圆定义与双曲线的定义，求得，利用勾股定理可得，从而可得结果.

【详解】由椭圆定义得，①

在第一象限，由双曲线定义得，②

由①②得，

因为为直径的圆恰好过点,

所以，，

，

，

，即，故答案为2.

【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的定义、简单性质与离心率，属于中档题.求解与圆锥曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、焦距等圆锥曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式.

三、解答题

17．已知△ABC的内角A、B、C满足.

(1)求角A；

(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将，转化为，再由余弦定理求解；

（2）根据△ABC的外接圆半径为1，得到，再利用余弦定理结合基本不等式求得，再由求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以；

(2)因为△ABC的外接圆半径为1，

所以，

由余弦定理得，

，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以，

故△ABC的面积S的最大值是.

18．下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，， .

参考公式：

相关系数

回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【答案】（1），说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；

（2）回归方程为，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨.

【分析】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，利用公式，求得的hi，即可得到结论；

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，，即可得到回归直线的方程，得到预测.

【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得

，，，

，

∴.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（2）由及（Ⅰ）得，

∴.

所以关于的回归方程为：.   

将2018年对应的代入回归方程得.

所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨.

【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，利用表中的数据，利用公式，准确、合理的运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【详解】（Ⅰ）由已知得.

取的中点，连接，由为中点知，.

又，故，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且

.

以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，

，，，，

， ，.

设为平面 的一个法向量，则

即

可取.

于是.

【解析】

空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．

【技巧点拨】

（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．

20．如图,椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.

【答案】（1）（2）存在定点,使得为定值.

【分析】（Ⅰ）根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，结合性质   ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，表示为，利用韦达定理化简可得，令可得结果.

【详解】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,

设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,

,则,,

可得.设点,

那么,

若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,

此时,,

当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,

此时,,, ,

综上,在轴上存在定点,使得为定值.

【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21．已知函数

（Ⅰ）若曲线在处的切线与轴平行，求实数的值；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数和几何意义即可求出；（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数，求出函数的最值，即可求出参数的取值范.

详解：Ⅰ，

，．

由于曲线在处的切线与x轴平行，

，

解得，

Ⅱ由条件知对任意，不等式恒成立，

此命题等价于对任意恒成立

令，．

，．

令，．

则．

函数在上单调递减．

注意到，即是的零点，

而当时，；当时，．

又，所以当时，；当时，．

则当x变化时，的变化情况如下表：

因此，函数在，取得最大值，所以实数．

点睛：本题考查了新定义和函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．

22．选修44：坐标系与参数方程：在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．

【答案】（1）曲线C1的普通方程为：，曲线C2的直角坐标方程为：x-y+4=0．

（2）

【分析】（1）利用平方法消去参数方程中的参数，可得普通方程，极坐标方程利用两角差的正弦公式展开，由 即可得直角坐标系方程；（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，利用椭圆的参数方程设出点的坐标，由点到直线距离公式，结合辅助角公式利用三角函数的有界性可得结果.

【详解】（1）由曲线C1：，得，

∴曲线C1的普通方程为：，

由曲线C2：，展开可得：，

即曲线C2的直角坐标方程为：x-y+4=0．

（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，

椭圆上的点到直线x-y-4=0的距离为，

∴当时，d的最小值为．

【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

23．已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围．

【答案】（1）或；（2）

【分析】（1）由题意利用绝对值的几何意义，找到表示数轴上的坐标为x的点P到、2对应点A、B的距离之和正好等于7的点，利用几何意义可得到不等式的解集；

（2）当时，根据绝对值的性质，原不等式可化为，由不等式恒成立的意义得到关于的不等式组，由此求得实数的取值范围。

【详解】解：1当时，函数，表示数轴上的坐标为x的点P到、2对应点A、B的距离之和，而和3对应点、到、对应点的距离之和正好等于7，当P在、之间（不包括、）时，，当P在、之外（包括、）时，，所以不等式的解集或；

2若的解集包含，即当时，恒成立，由于在上，

∴等价于即．

由于当时该不等式恒成立，所以，，

∴，即.

【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的恒成立问题，（1）的关键是绝对值的几何意义；（2）的关键是根据这一条件，将题设不等式化简，并根据绝对值不等式的性质转化为不含绝对值的一次不等式组，进而结合不等式恒成立的意义求解，属于中档题．