2022届河南省名校联盟高三下学期考前模拟卷数学（文）试题含解析

2022届河南省名校联盟高三下学期考前模拟卷数学（文）试题

一、单选题

1．复数的虚部为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法和乘法算出，即得.

【详解】，

其虚部为.

故选：C.

2．已知集合，，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题化简集合，再根据交集的定义求解即可．

【详解】∵集合，又，

所以，

故选：B．

3．雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”．某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v（单位：m/s）与直径d（单位：mm）的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据散点图的分布即可选择合适的函数模型.

【详解】由一次函数，二次函数及指数函数的性质可知，BCD不符合散点的变化趋势，

由散点图分布可知，散点图分布在一个幂函数的图像附近，

因此，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是.

故选：A.

4．若x，y满足约束条件则的最小值为（       ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由题画出可行域，数形结合即求.

【详解】作出可行域，为如图所示的阴影部分，作出直线并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点B时，z取得最小值，

由解得

所以，

故.

故选：C.

5．在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（       ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由，

因为，，成等差数列，

所以，于是有，

即，或舍去，

故选：B

6．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）．

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【分析】先根据奇偶性求出参数a，在计算 即可.

【详解】由奇函数的性质可知   

a=2，

；

故选：D.

7．已知，，，则（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．

【详解】由题意得，

，

，

，

因为函数在上单调递增，

所以，则，

所以.

故选：D．

8．在数字电路中通常采用二进制进行计数和运算，二进制数就是各位上为数字0或1的数，且每个位置均可为0．二进制数可转化为十进制数，例如三位二进制数011，转化为十进制数就是．则从所有的三位二进制数中随机抽取一个，该二进制数对应的十进制数大于3的概率为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题设列举出所有三位二进制数及对应的十进制数大于3的二进制数，应用古典概型的概率求法求结果.

【详解】由题设，三位二进制数有，共8种，

其中对应的十进制数大于3的为，共4种，

所以二进制数对应的十进制数大于3的概率为.

故选：C

9．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用坐标法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则，

∴，

∴，

即异面直线EF与所成角的余弦值为.

故选：A.

10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，点，，过A且垂直于x轴的直线与抛物线交于点C，过C作BC的垂线，交x轴于点D，则下列命题正确的个数为（       ）．

①点C的坐标为；②的面积为8；③；④直线CD与抛物线相切．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由题可得或可判断①，进而可求直线的方程及点可判断②，求出可判断③，利用直线的方程及抛物线方程可判断④，即得.

【详解】将代入抛物线，可得或，故①错误；

若，则，

则直线的方程为，即，则，

若，则，

则直线的方程为，则，

故无论或，都有，则，故②正确；

由，故③错误；

若，直线的方程为，联立抛物线方程可得，

，故直线与抛物线相切，

若，直线的方程为，联立抛物线方程可得，

，故直线与抛物线相切，故④正确；

综上，②④正确.

故选：B.

11．已知等差数列的前n项和为，，，则满足的n的最大值为（       ）．

A．1013 B．1014 C．1015 D．1016

【答案】B

【分析】利用等差数列的基本量运算可得，，进而可得，即得.

【详解】设等差数列的公差为，

则，，

∴，，

∴，，

由，可得，即，

当时，，当时，，当时，，

所以满足的n的最大值为1014.

故选：B.

12．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右顶点分别为A，B，过其右焦点F作x轴的垂线与E交于C，D两点，四边形BCDG为平行四边形，过O作AG的平行线，分别与直线BG，CD交于点P，Q，设梯形BFQP的面积为S，则（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题，利用几何关系及双曲线性质，由参数可表示等线段以及，比较即可得出结果

【详解】由题，，将代入双曲线得，，故，又，故为中位线，故，

在中，，有，故，故有，

故选：D

二、填空题

13．已知平面向量，的夹角为，且，，则______．

【答案】7

【分析】根据平面向量数量积的性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.

【详解】因为平面向量，的夹角为，且，，

所以由，

故答案为：

14．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为______．

【答案】

【分析】根据三角函数最小正周期的定义求出，进而求出的解析式，结合正弦函数的单调性即可求出函数的最小值.

【详解】因为，且函数的最小正周期为，

所以，

所以，

由，得，

又函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当即时，函数取得最小值，且最小值为-2.

故答案为：-2.

15．如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球心C在线段VO上，圆锥VO的底面半径为1，母线长为2，则球C的表面积为______．

【答案】

【分析】根据相切的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】设球C的半径为，

因为圆锥VO的底面半径为1，母线长为2，

所以，

设球C与圆锥VO的侧面的一个切点为，如下图所示：

所以有，，

在直角三角形中，，

所以球C的表面积为，

故答案为：

16．已知函数，，若存在实数，使成立，则实数______．

【答案】0

【分析】令，利用导数求出函数在处取得最小值，进而可证明，即可得出结果.

【详解】令，

令，则，

由，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

当且仅当即时等号成立，

即，当且仅当等号同时成立时，等号成立，

故，即.

故答案为：0.

三、解答题

17．某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解“双减”工作的实际效果，在该校随机抽取了100名小学生，调查他们周末完成作业的时间（以下简称作业时间，单位：h），将统计数据按，，…，分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该校有1200名学生，估计全校学生作业时间不低于2h的人数；

(3)估计该校学生作业时间的中位数．

【答案】(1)

(2)480

(3)1.8

【分析】（1）根据直方图的性质即面积之和等于1即可求解；

（2）以频率作为概率，计算出作业用时大于等于2h的频率，乘以总人数即可；

（3）判断中位数所在的区间，根据中位数将直方图总面积一分为二即可求解.

【详解】(1)根据频率分布直方图，，

解得；

(2)样本中作业时间不低于的频率为，

故估计该校1200名学生中，作业时间不低于的人数为；

(3)因为前三组频率之和为，

前四组频率之和为，

故中位数在第四组中，

设中位数为m，则，解得．

故估计该校学生作业时间的中位数为1.8；

综上，，作业时间不低于的人数为480，估计该校学生作业时间的中位数为1.8.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求；

(2)若，，求AB边上的高．

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式可得，进而可得，然后利用二倍角公式即得；

（2）利用和角公式可得，进而即得.

【详解】(1)因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以．

(2)因为，所以，

易知A为锐角，所以，

所以．

设AB边上的高为h，则．

19．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．

(1)指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；

(2)若，求点B到平面的距离．

【答案】(1)E为的中点，答案见解析

(2)

【分析】（1）E为的中点，取的中点E，连接DE，可得答案；

（2）连接BD，作，垂足为F，由线面垂直的判断定理可得平面．

利用可得答案．

【详解】(1)E为的中点．作图如下：如图，取的中点E，连接DE，， 平面即为该四棱柱所得的截面.

(2)连接BD，作，垂足为F，

在直四棱柱中，平面ABCD，所以，

因为，所以平面，

由，可得，，，

所以，

所以，

在梯形ABCD中，计算可得，，

所以，

又，由勾股定理可知，

设点B到平面的距离为d，

则，

解得，故点B到平面的距离为．

20．已知椭圆的左焦点与圆的圆心重合，过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为．

(1)求C的方程；

(2)已知点，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据圆心坐标求出c，根据椭圆的定义可知的周长为，结合求出，即可得出椭圆的标准方程；

(2)设直线的方程、、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出、，根据两点坐标求出直线的斜率，进而可得，即可证明.

【详解】(1)设椭圆的半焦距为．

圆的圆心为，所以．

因为的周长为，由椭圆的定义得，

所以，，

所以椭圆C的方程为．

(2)由已知得l与x轴不重合，设，

设，，

联立，可得，

则，．

．

因为，

所以，所以，

则在中，，所以．

21．已知函数，．

(1)分析函数的单调性；

(2)是否存在实数k，使得当时，恒成立？若存在，求出k的所有值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；

(2)存在，实数 k 的所有可能取值只有1．

【分析】（1）利用导数与单调性的关系即得；

（2）由题可知，则k只能为1，构造函数，，利用导数求函数的最值即证.

【详解】(1)由题意，

所以，，

因为，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

(2)因为，若 k 存在，则 k 只能为1．

下面证明．

设，则，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即．

设，

则，

对于函数，

所以，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

综上，．

所以实数 k 的所有可能取值只有1．

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），直线l的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求和l的极坐标方程；

(2)若射线与交于A点，与交于B点，与l交于C点，且A，B均不同于点O，求．

【答案】(1)，；

(2)2.

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的平方和关系进行消参，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可；

（2）利用代入法，结合极径的性质进行求解即可.

【详解】(1)由的参数方程得其普通方程为，

故极坐标方程为，即．

l的极坐标方程为，

整理得；

(2)将代入的极坐标方程得，

将代入的极坐标方程得，

将代入l的极坐标方程得．

所以．

23．设函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为m，实数a，b满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，即可求出不等式的解集；

（2）首先得到的函数图象，即可得到，则，在根据的几何意义计算可得；

【详解】(1)解：，

由，得或或，

解得，

即不等式的解集为．

(2)解：由（1）可得的函数图象如下所示：

所以，即，则，

的几何意义为圆上的点到点距离的平方，

显然，所以，即的最小值为．