2022届上海市高三高考冲刺卷五数学试题含解析

这是一份2022届上海市高三高考冲刺卷五数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据之间的关系进行判断即可.
【详解】由，解得或，则，
又因为，所以集合与集合有公共元素0，且没有包含关系，
故选项A中的韦恩图是正确的.
故选：A.
2．已知、为非零向量，未知数，则“函数为一次函数”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义以及向量的运算和性质分别判断即可．
【详解】
，
若，则，
如果同时有，则函数恒为0，
不是一次函数，故是不必要条件；
如果是一次函数，则，
故，故是充分条件.
故选：A．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】记三角形数构成的数列为，计算可得；易知．据此确定复合题意的选项即可.
【详解】记三角形数构成的数列为，
则，，，，…，
易得通项公式为；
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为．
将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得都为正整数的只有．
故选C．
【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义，逐一检验即可
【详解】由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】
本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.
二、填空题
5．已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，则_________．
【答案】1
【分析】列出方程组，根据其解为求解.
【详解】解：因为关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，
所以关于x、y的二元一次方程组是，
又因为其解为，
所以，则，
故答案为：1
6．计算：_________．
【答案】
【分析】将式子分母有理化后即可求解.
【详解】
.
故答案为：
7．下列说法正确的是___________.
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④若直线平面，直线平面，则.
【答案】①④
【分析】根据空间中直线之间的位置关系可判断①、②、③，再由线面垂直的性质可判断④.
【详解】解：对于①，如图，
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，故①正确；
对于②，过空间中不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，故②错误；
对于③，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故③错误；
对于④，若直线平面，直线平面，则，故④正确.
∴正确的是①④.
故答案为：①④.
8．从键盘侠中随机抽取100名小学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在、、三组内的学生中，用分层抽样的方法选取17人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为_________．
【答案】6
【分析】根据给定的频率分布直方图求出各组的频率，再利用分层抽样计算出身高在内的学生数作答.
【详解】由频率分布直方图知，身高在内的频率依次为，
因此，身高在内的频率为，则身高在内的人数比为：，
所以利用分层抽样抽取的17人中，在内的人数为：.
故答案为：6
9．对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．
【答案】
【分析】由题意可得，，结合题意分类讨论确定集合．
【详解】∵，则，即，则
若，则取，则
若，则取，则，
经检验满足题意
∴
故答案为：．
10．在的展开式中，x的系数为_________．
【答案】17
【分析】利用二项式定理写出两个二项式的展开式，再分析计算作答.
【详解】因，，
则在的展开式中，含x的项为：，
所以所求x的系数为17.
故答案为：17
11．已知函数，在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A点，它的反函数的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点．已知四边形的面积是7，则k的值为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得，可求得，，，结合题意利用面积求解．
【详解】∵，则，，则
联立方程，解得，即
四边形的面积为，解得
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为_________．
【答案】
【分析】求出直线l的普通方程，设出点P坐标，再利用点到直线距离列式，借助二次函数求解作答.
【详解】依题意，直线l的普通方程为：，设点，
于是得点P到直线l的距离，当且仅当时取等号，
所以当时，点P到直线l的距离的最小值为.
故答案为：
13．已知复数z是方程的一个根，集合，若在集合M中任取两个数，则其和为零的概率为_________．
【答案】
【分析】由题意解出，根据复数的乘方以及集合的互异性确定，根据古典概型处理运算．
【详解】，即，解得
当时，
则，，，
当时，
则，，，
则集合有4个元素：，，，，即
若在集合M中任取两个数，共有如下可能：，共6个基本事件，其和为零的有，共2个基本事件，则其和为零的概率为
故答案为：．
14．设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为_________．
【答案】
【分析】根据图像结合几何知识可证，利用错位相减法求数列的前n项和．
【详解】的倾斜角，设圆、与直线的切点分别为，连接，过作，垂足为，
则
∵，整理得
数列是以首项，公比的等比数列，即
∴，设数列的前n项和为，则有：
两式相减得：
即
故答案为：．
15．如图，是圆锥底面中心O到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为_________．
【答案】
【分析】旋转形成两个圆锥，用体积公式求出体积，再计算出大圆锥的体积，根据两体积的关系可获解.
【详解】设过点的一条母线为，其中为顶点，过点作的垂线交于，
令圆锥的体积为，，，母线与轴线的夹角为，
则，
将看作是底面积相同的两个圆锥，
则有，
，
从而可得，，，，
于是有，（由于为锐角）
所以.
故答案为：
16．已知平面向量满足，记向量在、方向上的投影分别为x、y，在方向上的投影为z，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.
【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数；
（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【详解】解：（1）当时，
即；故此时函数是奇函数；
因当时，，故
，且
于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；
由不等式，得，
令因，故
由于函数在单调递增，所以；
因此，当不等式在上恒成立时，
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
18．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可；
（2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.
【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为，
则数列是等差数列，，公差为，
又，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；
（2）记11月日新感染者人数为，
11月日新感染者人数最多，当时，.
当时，，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以，
得，即
解得或(舍)，
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程.
19．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形（正四棱锥被平行于底面的平面截去一个小正四棱锥后剩下的多面体）玻璃容器Ⅱ的高均为，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线、的长分别为和．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒l，其长度为．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
(1)求容器Ⅰ、容器Ⅱ的容积；
(2)①将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度；
②将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度．
【答案】(1)；；
(2)①；②.
【分析】（1）利用正四棱柱和正四棱台的体积公式计算作答.
（2）分别作出玻璃棒l所在的正四棱柱和正四棱台的对角面，借助解三角形知识分别求解作答.
【详解】(1)容器Ⅰ的底面正方形面积，其容积，
容器Ⅱ的底面面积，底面面积，
容器Ⅱ的容积.
(2)①由正四棱柱的定义知，对角面是矩形，设玻璃棒的另一端落在上的点M处，如图，
由得：，，
设与水面的交点为，过作交AC于，在容器Ⅰ中，平面，则平面，
因此，，
所以玻璃棒l没入水中部分（水面以下）的长度为.
②是正四棱台两底面中心，由正四棱台的结构特征知，对角面是等腰梯形，
点分别是两底的中点，设玻璃棒的另一端落在上的点N处，如图，
过G作交于点K，则，，而，
因此，，，
，显然为钝角，，
在中，由正弦定理得，，
于是得，
设与水面的交点为，过作交直线EG于，在容器Ⅱ中，平面，则平面，
因此，，
所以玻璃棒l没入水中部分（水面以下）的长度为.
20．在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值；
(3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）设P点坐标，根据所给的条件列方程即可求解；
（2）由于椭圆的对称性，圆D的圆心必定在y轴上，G点纵坐标的最大值必定在y轴上，立方程解出 的解析式，求导即可；
（3）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解.
【详解】(1)设 ，依题意有 ， ，即 ，
整理得： 或 ；
(2)当 时， ，即圆D的半径为 ，当 最大时，
必有 ， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在时， 取最大值= ；
(3)
设 ， ，当 时，有 ,
由弦长公式得 ，
，
∴ ， ，
此时 ，点P的坐标为 或 ;
综上，轨迹C的方程为 ， 取最大值=，
存在，P 或P.
21．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（e是自然对数的底数）
(1)解方程：；
(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：_________，并证明；
(3)无穷数列，是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
(3)，理由见解析.
【分析】（1）直接解方程，先解出，即可求出x的解；
（2）类比两角和的正弦公式写出即可，结合双曲函数定义以及指数运算法则，证明左式等于右式即可；
（3）分及讨论，由形式可类比余弦二倍角公式和双曲余弦二倍角公式（用类比（2）的方式证明），即可分别构造并用数学归纳法证明，（，），或，（，m为不为0的实数），最后求解，即可得出结果.
【详解】(1)，解为，即；
(2)；
证明：左式，
右式
，
左式=右式，得证；
(3)i.当时，存在，使得，构造，可用数学归纳法证明如下：
当时，；
当时，，
于是成立，得证.
于是，即此时不存在实数，使得.
ii.当时，由，函数值域为，于是存在不为0的实数m，使得，
类比余弦二倍角公式得，，证明如下：
，得证.
构造，可用数学归纳法证明如下：
当时，；
当时，；
当时，，
于是，
于是在时成立；
于是，令，得，同（1）可解得或，即，即，于是，
综上，存在实数，使得成立.
【点睛】i. 双曲函数是与三角函数类似，可类比其和差公式；
ii.数列的形式可类比余弦二倍角公式和双曲余弦二倍角公式，可构造或来求解