2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期第七次模拟考试数学（文）试题含解析

这是一份2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期第七次模拟考试数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式及对数不等式求集合A、B，再应用集合的交运算求.
【详解】由题意，，
∴.
故选：C．
2．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程
【详解】抛物线的标准方程为，焦点在轴上
，即
则准线方程为
故选
【点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题．
3．已知，则“且”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由可以举反例
【详解】解：充分性：若，则，充分性得证；
必要性：若，取，满足条件，但不能得出，
故为非必要条件；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4．设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①与具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心；
③若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；
④若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由判断①正确；由线性回归方程恒过样本点的中心判断②；由回归直线方程的意义可判断③，④．
【详解】由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故①正确；
因为回归直线必过样本点的中心，所以②正确；
由线性回归方程的意义知，某女生的身高增加1cm，其体重约增加0.85kg，故③正确；
当某女生的身高为170cm时，其体重估计值是58.79kg，这不是确定值，因此④不正确．
故选：C．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，所以；
故选：B
6．运行如图所示的算法框图，当输入的的值为（ ）时，输出的值为4．
A．3B．-1或3C．2或3D．-1或2或3
【答案】A
【分析】该程序的功能为计算分段函数的值，由分段函数的性质即可得结果.
【详解】由框图可知，，所以当时，，
故选：A.
7．已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，利用几何法求最值.
【详解】根据题意,作图如下：
设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:.
所以要使取得最小值,只需最小.
因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),
此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0.
因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：.
当P为(,1)时, 取得最小值2.
故选：B．
8．记曲线（且）所过的定点为，若点在双曲线：的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】易知，则的一条渐近线的斜率，根据公式即可求得结果.
【详解】,当时，即，，
所以定点，则的一条渐近线的斜率，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查曲线恒过定点，考查双曲线的渐近线，双曲线的离心率的求法，属于基础题.
9．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．若，则，
D．将的图象向右平移个单位得的图象
【答案】D
【分析】先对函数化简得，由正弦函数的对称中心可判断A；根据的范围求的值域可判断B；根据正弦函数的周期性可判断C；利用图象的平移变换可判断D，进而可得正确选项.
【详解】，
对于A：令，可得，所以点不是的图象的对称中心，故选项A不正确；
对于B：当时，，，
所以，故选项B不正确；
对于C：的最小正周期为，所以若，则，，故选项C不正确；
对于D：将的图象向右平移个单位得的图象，故选项D正确；
故选：D．
11．已知数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“退位相减法”可求得的通项公式，从而求解
【详解】解：数列满足，且①；
当时，②；
①减②得，
所以，（），
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
故选：A．
12．已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设切点，求得切线方程，根据切线过点，得到，再根据存在3条直线与曲线相切，则方程有三个不同根，利用导数法求解.
【详解】解：设切点，
因为，
则，，
所以切线方程为，
因为切线过点，
所以，
即，
令，
则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
因为存在3条直线与曲线相切，
所以方程有三个不同根，则，
故选：D
二、填空题
13．已知向量，，若，则______．
【答案】或或
【分析】由向量平行的坐标公式求解即可.
【详解】由题意得，即，所以或．
故答案为：或6
14．若x，y满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】8
【分析】先画出可行域，再结合目标函数的几何意义，通过图即可得解.
【详解】作出不等式组所表示的区域如下：
由得，平移直线，
当经过点时，截距最小，最大
由，解得，此时的最大值为8，
故答案为：8.
15．要考查某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则所抽取样本中第三袋牛奶的编号是_________．（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
【答案】169
【分析】按随机数表法读数规则即可求解
【详解】解：从第8行第5列的数开始向右读，第一个数为583，不符合条件，第二个数为921，不符合条件，第三个数为206，符合条件，以下依次为：766，301，647，859，169，555，其中766，647，859，不符合条件，故第三个数为169．
三、双空题
16．已知函数，若存在互不相等的实数，，，使得，则（1）实数的取值范围为_________；（2）的取值范围是_________．
【答案】
【分析】画出的图象，由题意可知直线与函数的图象有4个交点，从而可求出实数的取值范围，不妨设，则必有，，从而有，且，利用对勾函数的性质可求出的范围，进而可求出的取值范围
【详解】解：函数的图象如图：
，
即直线与函数图象有4个交点，故．
，不妨设，
则必有，，
，则，且，
，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
，
．
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数学转化思想和数形结合的思想，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题
四、解答题
17．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的值；
(2)求边的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可求，再结合三角恒等变换运算处理；（2）由题意可得，在中，利用余弦定理代入计算．
【详解】(1)在中，由正弦定理知，，所以，
所以，因为，所以，所以．
(2)由（1）知，，所以，在中，由余弦定理知，，
所以．
18．如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面，O为的中点，且．
（1）证明：平面．
（2）若异面直线与所成角的正切值为，求三棱柱的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【分析】（1）连接，连接交于G，连接，通过证明四边形为平行四边形得，进而证明平面.
（2）先根据异面直线与所成角的正切值为得，再证明平面，最后根据体积计算公式计算即可得答案.
【详解】（1）证明：连接，连接交于G，连接．
易证，且，
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：由（1）知，，
所以异面直线与所成角即直线与所成角
所以．
因为底面为正方形，所以，
又侧棱垂直底面，所以．
因为，所以平面，
所以．
因为，
所以，
所以．
故三棱柱的体积．

【点睛】本题考查线面平行的证明，几何体的体积的求解，是中档题.
19．2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下分布表：
（1）求的值，并补全频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；
（3）根据马克隆值可将棉花分为，，三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值.
【答案】（1），频率分布图答案见解析；（2）众数，中位数为；（3）(万元).
【分析】（1）根据分布表重量之和为2吨求，计算频率/组距即可补全直方图；
（2）由频率分布直方图求众数及中位数即可；
（3）计算所抽2吨样本的产值，预测总的2000吨的产值即可.
【详解】解：（1）由分布表知，
，
解得
在直方图中对应的频率/组据值为，补全频率分布图如下，
（2）由频率分布直方图知，马克隆值落在区间内的频率最大，故众数，
因为，
，
所以中位数在区间内，中位数为.
（3）2吨样本的产值为
，估算棉花种植基地今年的总产值为：(万元).
20．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况判断导数的正负，可求出函数的单调区间，
（2）由（1）可得，分，和可求出函数的最值，从而可求出，再利用导数可求出的最小值
【详解】(1)因为，所以．
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，时，；时，；
故在和上单调递增，在上单调递减．
(2)由（1）可知：
①当时，在上单调递增，；
②当，即时，在上单调递减，；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，又，．
故当时，；当时，；
综上可得：，
当时，；令，则，
设，，
所以在上递减，又递增，所以在上递增，
所以在上递减，在上递增，
所以故的最小值为．
21．已知椭圆：的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用题设条件可以列出一组关于，，的方程，解出，，即得所求（2）分情况讨论，当直线的斜率不存在时，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，以为参数表示，求其取值范围即得所求
【详解】(1)设椭圆：的焦点为，，
由点，且的面积为，可得，解得，
又由，可得，所以，
所以椭圆的标准方程为．
(2)①当直线的斜率为时，，
则；
②当直线的斜率不为时，设，，直线的方程为，
由 整理得，
则，，
又，，
所以
，
令，当时，；
当时，，
设，则由对勾函数性质可知，
于是，
故．
综上：
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若，是曲线上的两点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法消参可得，根据进行坐标转化；（2）题设问题与坐标原点有关，故利用极坐标处理问题，即设点得极坐标，代入处理．
【详解】(1)由参数方程可得，两式相乘得普通方程为．
故曲线的极坐标方程为，即．
(2)因为，所以可设，，
，
23．已知函数.
(1)若为非零实数，，证明：；
(2)若，对，使得，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】求出函数的最小值，根据，利用基本不等式求得的最小值，即可得证；
（2）对，使得，即为，根据结合基本不等式求得的最小值，从而可得出答案.
【详解】(1)证明：，
当且仅当时，取等号，
而，
当且仅当，即时，取等号，
所以；
(2)解：因为对，使得，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
由（1）知，
所以，解得，
所以的取值范围为.
马克隆值
重量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
0.12
0.06
0.02
马克隆值
或
3.4以下
级别
价格(万元/吨)
1.5
1.4
1.3