2022届安徽省皖江名校联盟高三上学期第四次联考数学（理）试题含解析

这是一份2022届安徽省皖江名校联盟高三上学期第四次联考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届安徽省皖江名校联盟高三上学期第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解对数、根式不等式求集合A、B，再应用集合的交补运算求.【详解】由题设，，，故或，所以故选：A.2．复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法得到再求模长.【详解】，所以.故选：B.3．已知等差数列的前项和为，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【详解】设等差数列的公差为，∵，∴．解得：，．则．故选：C．4．若，满足，则的最大值为（       ）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】D【分析】作出不等式组表示的平面区域，确定目标函数经过哪个点时取到最大值，计算即可.【详解】如图，画出表示的可行域，联立 ，解得，故得：，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，将代入目标函数得：，故选：D.5．在中，“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论.【详解】因为、，且余弦函数在上为减函数，在中，.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.6．成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合图形，多面体中，取的中点，做交于，做底面于点，坡面与底面所成二面角的为、 ，，设，得斜脊，因为矩形宽，长为8，得，可得答案.【详解】如图，多面体中，取的中点，做交于，做底面于点，则点在上，且点到的距离相等，即，做于点，连接，，则平面，所以，所以坡面与底面所成二面角为，又，则平面，所以，坡面与底面所成二面角为，所以正切值，不妨设，，可得斜脊，因为矩形宽，所以长为8，这样正脊，所以正脊与斜脊长度的比值为即.故选：B.7．已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.【详解】对两边平方得且化为，即，整理可得，解得或，代入．故选：A8．已知正方体的棱长为4，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（       ）A． B．18 C． D．【答案】C【分析】设是的中点，求三棱台的体积即得解.【详解】解：如图，截面是等腰梯形，是的中点，较小部分是三棱台.上底面面积，下底面面积，所以.故选：C9．已知函数，若，且，则的最小值等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据解析式，结合对数函数的性质判断的性质，可设，再由已知条件得，构造应用导数求最值即可.【详解】由解析式知：在各区间上均为增函数且连续，故在上单调递增，且，所以时，可设，则，得，于是，令，则，所以在上，在上，故在上递减，在上递增，所以的极小值也是最小值，且为，故的最小值是.故选：D.10．在中，，是上一点，且，，则面积的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，，利用两个三角形与的余弦定理消去得到，再由的余弦定理得到，消，即可得到，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】设，，，由余弦定理可得，，消去得，又，联立消去得所以，因此.故选：B.11．已知（为常数），则下列结论：（1）当时，是的极值点（2）若有3个零点，则实数的最小值是（3）时，的零点满足正确的个数有（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】的零点转化为：，构造函数求导数研究其单调性、极值点即可.【详解】（1）当时，，令，，，当时，，单调减，当时，，单调增，所以，，因此是增函数，在R上没有极值点，（1）错；（2）函数，，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，唯一的极小值，结合图像可知时，只有2个零点，结论（2）错误.（3）由（2）解答可知时，的唯一零点是负数，注意，，所以结论（3）正确.故选：B.12．已知函数，则（       ）A．2020 B．2021 C．4041 D．4042【答案】C【分析】根据关于点中心对称便可求的答案.【详解】解：由题意得：，关于中心对称，又.故答案为：C二、填空题13．已知，则______.【答案】2【分析】由已知可得，，再利用对数的运算性质可求得结果【详解】，，得，，所以故答案为：214．函数，，则的单调递减区间是______.【答案】（开区间、闭区间均对）【分析】先将化为只含有一个三角函数的形式，确定，再求出函数的减区间即可.【详解】,，令得,故答案为：15．已知是的外心，，若，则的最大值为______.【答案】【分析】设，得，求的最大值即可，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题.【详解】如图，延长交于，设，则.因为在上，所以，，求的最大值即可.注意到，而是定值，故最小，即时，取最大值.此时是等腰三角形，，..故答案为：16．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】令，其中，利用导数可得出，问题转化为对任意的恒成立，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】不等式等价于，令，其中，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，问题转化为对任意的恒成立，分离变量，令，则且不恒为零，则在单调递增，，所以，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题17．在锐角中内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由2倍角公式统一角度与函数名称后解方程即可；（2）先由余弦定理求得，再用正弦定理求解.(1)所以或者（舍去），又，所以；(2)由余弦定理，所以（时不是锐角三角形，舍去）.所以，可得.18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，，，为的中点，为的中点，点在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用三角形中位线定理，根据平行线的性质、线面平行的判定定理，结合面面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.(1)取中点，连接，，，由中位线定理得，所以平面又因为，得.因为平面，平面，所以平面因为，是平面内的2条相交直线所以平面平面，平面，因此平面；(2)由题设底面，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，易得平面的一个法向量.设与平面所成角为，则；19．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，证明：在上恒成立.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)证明见解析.【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，可得原函数单调性；（2）设，求导函数，分析导函数的符号，得出的单调性和最值可得证.(1)解：，令得，在上，单调递减，在上，单调递增，所以单调递增区间为，单调递减区间为；(2)解：由题设，，令，得，，在上单调递减，在单调递增，在取唯一的极小值，也是最小值，，所以在恒成立.20．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)令，证明：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由可得，再由可求出公差为2，从而可求出，由，得，两相减可求出，从而可求出，（2）利用错位相减法求出，再利用放缩法可证得结论(1)由，又，所以.因为，.由题设时，由，得，所以得，当时也满足，所以；(2)，所以错位相减得因为，，所以.21．在三棱锥中，，，，，点在上.(1)若（如图1），证明：；(2)若二面角是直二面角（如图2），求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据条件求出，从而求得相关角的大小，根据余弦定理可计算DM,BM的长，从而证明，，进而证明平面，根据线面垂直的性质证明结论；（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出相关向量的坐标，求平面的一个法向量，结合平面的法向量，根据数量积为零，可求得结果.(1)由题设，，，得，故，;当时，，由余弦定理，，在中，得，又中，得.因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，显然平面，故；(2)记（1）中点位置为，以为坐标原点，以过点作AC的垂线为x轴，以为y轴，以为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标，，，，令，，设平面的一个法向量，则，令， ，所以，平面的一个法向量是，当二面角是直二面角时，，所以， 此时，，所以.22．已知函数.(1)求函数的极值点；(2)若函数的图象与的图象有3个不同的交点，试求的取值范围.【答案】(1)极小值点，无极大值点(2)【分析】（1）先求函数的定义域，再对函数求导，然后分和讨论导数的正负，从而可求出函数的极值点，（2）将问题转化为有3个不相等的零点，然后对函数求导，分，和三种情况，讨论导数的正负，确定函数图象与轴的交点个数，从而可求出的范围(1)的定义域是，求导得当时，，函数没有极值点当时，令得，在上，单调递减，在上，，单调递增.所以函数有极小值点，无极大值点，综上，当时，没有极值点，当时，有极小值点，无极大值点，(2)问题等价于有3个不相等的零点，函数的定义域是，求导得，记，当时，在上，，单调递增，不可能有3个零点当，同样可得，.在上单调递增，不可能有3个零点.当时，令，得，，由韦达定理，，所以在上，，单调递增，在，，单调递增，在上，，单调递减，因为，，所以在区间考察的取值.因为，记求导得这里证明一下，当时，，因为，，所以在上单调递增，，即，在单调递增的区间上，，，所以存在唯一的使得，注意到，所以，由，所以在单调递增的区间上有唯一的零点，综上所述，函数的图像与的图像有3个不同的交点时，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的极值点，利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将问题转化为有3个不相等的零点，然后利用导数判断函数图象与轴的交点情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题