2021-2022学年浙江省宁波市效实中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市效实中学高二下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当没有元素时，可确定，且不等式在实数范围内有解；当只有一个元素时，分析可能的情况有：，得；或，得；或，无解.
【详解】A选项若，则，解得，符合；
B选项若，则，无解，故不符合；
C选项若，则，解得，符合；
D选项若，则，解得，符合.
故选：B.
2．已知a，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：若，因为，所以，即充分性成立；
由推不出，如，，满足，
此时，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.
【详解】解：由得，且，
当时，此时，排除B,C
函数的导数，
由得，即时函数单调递增，
由得且，即或时函数单调递减，
故选：D
【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.
4．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个B．24个C．18个D．6个
【答案】B
【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
各位数字之和为奇数的有两类：
两个偶数一个奇数：有=18个；
②三个都是奇数：有=6个．
∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．
故选B．
5．在某地举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有14名．参加此次数学竞赛的学生数大约为（ ）
参考数据：；；
A．1200B．900C．600D．300
【答案】C
【分析】利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】用表示参赛学生的竞赛成绩，
由已知可得全体参赛学生的竞赛成绩,所以，，
则，
即 ，
则参加此次数学竞赛的学生数大约为，
故选：C.
6．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
7．已知函数满足条件：对于，唯一的，，使得，当成立时，则实数a＋b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在上单调递增，则值域为，则当时，的值域为，可得，在结合，代入解得．
【详解】设当时，的值域为，当时，的值域为
则根据题意可得
当时，在上单调递增，则
即，则
∵，即且，则
∴
故选：D．
8．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A．－1B．＋1
C．2＋2D．2－2
【答案】D
【详解】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，
得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.
∵a、b、c>0.
∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，
∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.
故选D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
二、多选题
9．已知函数，（ ）
A．f（x）在区间上递减B．f（x）在区间上递减
C．f（x）在区间上递增D．f（x）在区间上递增
【答案】ACD
【分析】分情况去绝对值，再求导分析函数的单调性判断即可
【详解】由题意，，故当时，，单调递增；当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，可画出简图，故在上单调递减，在上单调递增
故选：ACD
10．设，，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；举出反例可判断B；利用作差法可判断C；分为和说明D.
【详解】对A，因为，所以
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对B，取，时，，，故B不成立；
对C，，故C成立；
对D，若，则成立，
若，则＝，
∴成立，故D正确；
故选：ACD.
11．随机变量X的分布列如下
其中a，b，c成等差，则下列结论可能正确的是（ ）
A．P（X＝3）＝0.5B．P（X＝3）＝0.7
C．E（2X＋1）＝5D．E（2X＋1）＝6
【答案】AC
【分析】a，b，c成等差，结合概率和为1，可得
对AB，再根据概率的性质分析的范围即可；
对CD，先计算出关于的表达式，进而得到的表达式，再根据的范围求解范围判断即可
【详解】对AB，由题意，，，故，即，故，由概率的性质可得，故A正确；B错误；
对CD，，故，故，因为，故，故C正确；D错误
故选：AC
12．先后抛掷一枚骰子两次，记第一次得到的点数为X，第二次得到的点数为Y，则（ ）
A．事件X＝1与事件X＋Y＝8相互独立
B．事件X＝1与事件X＋Y＝7相互独立
C．事件X＝2与事件X＋Y＝8相互独立
D．事件X＝2与事件X＋Y＝7相互独立
【答案】BD
【分析】根据相互独立事件满足判断即可
【详解】对A，设事件：“”，事件：“”，因为,，因为，故事件X＝1与事件X＋Y＝8不相互独立；
对B，设事件：“”，事件：“”，因为,，因为，故事件X＝1与事件X＋Y＝7相互独立；
对C，设事件：“”，事件：“”，因为,，因为，故事件X＝2与事件X＋Y＝8不相互独立；
对D，设事件：“”，事件：“”，因为,，因为，故事件X＝2与事件X＋Y＝7相互独立；
故选：BD
三、填空题
13．某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表
由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量约为________度．
【答案】69.4
【分析】由题意求，，根据回归直线方程过样本中心，代入求解得，再把代入回归直线方程运算求解．
【详解】根据题意得：气温的平均数（℃），用电量的平均数（度）
∵回归直线方程过样本中心，即，则
∴
当时，则
故答案为：69.4．
14．若函数是奇函数，则________．
【答案】
【分析】由为奇函数，可求出的值，再由，代入即可得出答案.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，，
所以.
故答案为：.
15．设f（x）是定义在上的函数，且f（x）>0，对任意a>0，b>0，若经过点，的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为a，b关于函数f（x）的平均数，记为，例如，当f（x）＝1（x>0）时，可得，即为a，b的算术平均数．当f（x）＝________（x>0）时，为a，b的调和平均数．（只需写出一个符合要求的函数即可）
【答案】x
【分析】直接按照题目中给出的定义以及调和平均数，进行化简即可.
【详解】设，则三点共线：
依题意，，则，化简得，
故可以选择.
故答案为： .
16．函数：满足，则这样的函数个数共有________个．
【答案】10
【分析】根据函数的定义，分别在一对一映射，三对一映射和三对二映射三种情况下讨论得到函数个数.
【详解】若为一对一映射，则，，，只有个函数；
若为三对一映射，则或2或，共有个函数；
若为三对二映射，则从中选出两个元素作为象，共种选择，其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身，而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有种选择.如：象为，则，，或
共有种选择，即共有个函数
综上所述：共有满足题意的函数个数为个
故答案为：10
四、解答题
17．已知集合，集合﹒
(1)条件“”是命题“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)求．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，；当时，或．
【分析】（1）讨论确定集合，根据题意可得是B的真子集，根据真子集的概念分析运算；（2）讨论与的大小关系，结合交集的定义运算求解．
【详解】(1)∵
∴时，；
当时，
或；
∵条件“”是命题“”成立的充分不必要条件，∴A是B的真子集
∴或，∴.
(2)当时，
当时，
当时，
当时，或．
18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．工人完成生产任务的工作时间（单位：min）整理如下（从小到大）：
第一种生产方式：68，72，76，77，79，82，83，83，84，85，86，87，87，88，89，90，90，91，91，92；
第二种生产方式：65，65，66，68，69，70，71，72，72，73，74，75，76，76，78，81，84，84，85，90．
(1)（ⅰ）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，
（ⅱ）并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
(2)根据（1）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附：
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）列联表见解析
(2)有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
【分析】（1）（ⅰ）从小到达排列可得答案；
（ⅱ）根据已知数据可完成表格；
（2）计算出与参考值比较可得答案.
【详解】(1)（1）（ⅰ）从小到达排列可得65，65，66，68，68，69，70，71，72，72，72，73，74，75，76，76，76，77，78，79，81，82，83，83，84，84，84，85，85，86，87，87，88，89，90，90，90，91，91，92，所以中位数（min）.
（ⅱ）
(2)因为，
有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．
(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)存在，常数项为
(2)
【分析】（1）根据可求得，从而确定展开式通项；令可得，代入通项即可得到常数项；
（2）设第项的系数最大，利用不等式法可解得，代入通项即可得到系数最大项.
【详解】(1)展开式的第项和第项的二项式系数相等，
，解得：；
展开式通项为：；
令，解得：，
展开式存在常数项，常数项为.
(2)由（1）知：；
假设展开式第项的系数最大，
则，解得：，；
则展开式中系数最大的项为第四项.
20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京举行，北京也成为全球唯一主办夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城．学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛．参加学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，3题都答对的学生可以获得冬奥吉祥物冰墩墩一个．学生们答对夏奥知识题的概率为p，答对冬奥知识题的概率为q，每题答对与否不影响后续答题．
(1)若，，则学生甲至少答对两题的概率是多少?
(2)竞赛吸引了540名学生参加．若p＋q＝1，则理论上需要准备多少个冰墩墩?
【答案】(1)
(2)个
【分析】（1）分情况答对两道和答对三道，分别计算概率并相加；（2）根据题意得获胜的概率为，利用导数求其最大值，根据题意540名学生中获胜的人数为，则，利用二项分布期望公式，代入求解．
【详解】(1)学生甲至少答对两题的概率
(2)某个学生获胜概率
构建，
令，则
∴在上单调递增，在上单调递减
则当时，取到最大值
设540名学生中获胜的人数为，则
∴随机变量的期望
即需要准备个数为．
21．定义函数f（x）与g（x）在区间I上是同步的：对，都有不等式恒成立．
(1)函数与g（x）＝x＋b在区间上同步，求实数b的取值范围；
(2)设a<0，函数与g（x）＝2x＋b在以a，b为端点的开区间上同步，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）易得在区间上，故只需即可；
（2）分①，②，③，④四种情况，分别列式求解的取值范围，进而求得各情况的范围，从而得到的最大值即可
【详解】(1)因为，且，故，所以恒成立，即，故
(2)①当b∴，在（b，a）上恒成立，即，，恒成立，
∵b∴
②当a∵f（x）和g（x）在（a，b）上是同步的，
∴，在（a，b）上恒成立，即
，，恒成立，
∵b<0，∴，2x＋b<0，∴，，∴，
∴，∴．
③当a<0∴，在（a，b）上恒成立，即
，，恒成立，∵b>0，而x＝0时，
，不符合题意．
④当a<0＝b时，由题意，，恒成立，
∴，∴，∴，
综上可知的最大值为．
22．已知函数有两个零点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）写出函数定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使有两个零点，只需最大值即可.
（2）函数有两个零点，，可得，两式相减得，
欲证，即证，设，构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.
【详解】（1）函数定义域为，.
令得，可得在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，
故欲使有两个零点，只需，即.
（2）证明：不妨设，则由（1）可知，
且，两式相减可得.
欲证，即证，
设，则即证，
构造函数，
则，
所以在上单调递增，故，
所以，原不等式得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，单调性以及最值问题，考查利用变量集中的思想解决不等式的证明，考查构造函数的思想，属于中档题.X
0
1
2
3
p
0.1
a
b
c
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
超过m
不超过m
合计
第一种生产方式
第二种生产方式
合计
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
超过m
不超过m
合计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
合计
20
20
40