2021-2022学年河南师范大学附属中学高二下学期3月月考数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年河南师范大学附属中学高二下学期3月月考数学（理）试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南师范大学附属中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．已知函数的定义域为，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的定义可求得的值.【详解】由导数的定义可得.故选：D.2．下列求导运算正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据初等函数导数公式和导数运算法则直接计算即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：B.3．函数f(x)＝exsinx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用导数求出曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率，再求切线的倾斜角.【详解】因为f′(x)＝exsinx＋excosx所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为.故选C.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．函数的图象在点处的切线方程为　　A． B． C． D．【答案】C【详解】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C5．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ）A．y＝x3 B．y＝ln（－x）C．y＝xe－x D．y＝x＋ 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及利用导数得出极值求解即可.【详解】A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数令，，则y＝x＋为奇函数，，当或时，；当或时，.故函数y＝x＋在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故y＝x＋存在极值.故选：D．6．已知的图象如图所示，则与的大小关系是（       ）A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定【答案】B【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案.【详解】由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．故选：B7．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（       ）A．45 B．55 C．90 D．110【答案】B【分析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球.【详解】根据规律，可以得知：第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球，则根据规律可知：第层有个球设第层的小球个数为，则有：故第十层球的个数为：故选：8．下面利用分析法证明问题的推理过程中不正确的是（       ）A．要证，只需证B．要证，只需证C．要证一元二次方程的两个根都大于2，只需证，且D．要证a，b，c，为等差数列，只需证【答案】C【分析】根据题意，依次分析各选项中推理过程是否正确，即可得答案．【详解】解：对A：且，是的充分条件，A正确；对B：若，变形可得，即，则是的充分条件，B 正确；对C：，且不能推出证一元二次方程的两个根都大于2 ，如 ，C错误；对D：若，则为等差数列，所以是为等差数列充分条件，D正确；故选：C.9．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用数学归纳法求解.【详解】当时，左端，当时，左端，，所以当时，左端应在的基础上加上，故选：D10．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.11．若点P是函数任意一点，则点P到直线的最小距离为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，令函数的导数等于的斜率求出切点，再求切点到的距离即可.【详解】解：当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，的斜率为1，令，解得或，因为，所以，，所以曲线上和直线平行的切线的切点为，到直线的距离为最小距离，故选：A.【点睛】考查求曲线上一点到给定直线的距离的最小值求法，基础题.12．已知函数，若f(x1)<f(x2)，则 (　 　)A． B． C． D．【答案】D【详解】；∴f(x)在R上为偶函数；；∴x>0时,f′(x)>0；所以f(x)在[0,+∞)上为增函数；而由f(x1)<f(x2)得,f(|x1|)<f(|x2|)；∴|x1|<|x2|；∴x21<x22.故选D.点睛： (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题13．(sinx＋cosx)dx＝__________．【答案】2【分析】由已知结合定积分的计算即可求解【详解】(sinx＋cosx)dx＝－cosx+＝－＋＝2．故答案为：214．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.【答案】8【详解】∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.15．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意知在上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于 的不等式，进而可求其取值范围.【详解】解：由题意知，知在上恒成立，则只需，解得.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在上恒成立问题，如若在上恒成立，可得 ；若在上恒成立，可得.16．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】试题分析：∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，即a＜2x﹣ex有解，令g′（x）=2﹣ex，g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．【解析】利用导数研究函数的单调性．三、解答题17．求下列函数的导数：（1）y＝（2）y＝【答案】（1） ；（2）【解析】（1）根据复合函数求导法则准确求导即可；（2）根据导数的四则运算准确求导即可.【详解】（1）令，则，所以；（2）.【点睛】本题考查复合函数求导和导数的四则运算，注意公式的准确记忆和使用，属基础题.18．（1）求定积分；（2）求图中所示阴影部分的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用原函数求得定积分.（2）利用定积分求得阴影部分的面积.【详解】（1）被积函数的一个原函数是，.（2）设所求图形面积为,由图看出是由左边部分和右边部分组成：其中，，所以.19．数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和，并证明：．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.【分析】（1）根据递推公式，得到，即可证明结论成立；（2）根据（1）的结论，先求出，再由等差数列的求和公式，得到，根据放缩法，化，再由裂项求和，即可得出结论成立.【详解】（1）证明：∵，∴，化简得，即，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以，．因此．【点睛】本题主要考查证明数列是等差数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.20．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且时，有极值.(1)求切线的方程；(2)求函数在上的极值和最小值.【答案】(1)(2)极大值为7，无极小值，最小值为【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出关于的方程组，求解得到的值，即可求出的解析式；（2）求出函数的导数，求出函数的单调区间，再根据函数的单调性，求出函数的极值和最小值即可．【详解】(1)解： ，则得解得经检验时满足题意，所以所以.所以，所以切线的方程为，即.(2)解：由（1）知，，令得；令得或.所以在上单调递增，在上单调递减，则函数在上的极大值为，无极小值，因为，所以函数在的最小值为.所以在上的极大值为7，无极小值，最小值为.21．（1）已知a，b，c，为不全相等的正数，求证：．（2）已知a，b，为正数且，求证：．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；【分析】（1）根据式子左边的结构特点分析，对其分解、组合变形可利用基本不等式证明；（2）根据“1”的代换，再利用基本不等式证明即可.【详解】证明：（1）a，b，c为不全相等的正数，即：，，且a，b，c不全相等，由基本不等式得：（2），，且 当且仅当即时，等号成立.22．设函数（其中）．(1)当时，求函数的单调区间和极值：(2)当时，证明函数在上有且只有一个零点．【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为和，极大值为，极小值为；(2)证明见解析.【分析】（1）将代入得到的解析式，令导函数，，求解即可得到的单调区间，根据极值的定义，即可得到函数的极值；（2）根据时，在上无零点，将问题转化为证明在有且只有一个零点，对分和两种情况进行讨论，即可证明结论．【详解】(1)解：当时，，，令，得，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，的单调递减区间为，单调递增区间为和，极大值为，极小值为；(2)证明：（其中），，当时，，则在上无零点，只需证明函数在上有且只有一个零点，①若，当时，，则在上单调递增，，，在有且只有一个零点；②若，则在上单调递减，上单调递增，，，令，，则，，，则，在上单调递增，，在上单调递增，，，在上有且只有一个零点，综上，在上有且只有一个零点．【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是将问题转化为证明在有且只有一个零点，对分和两种情况进行讨论.