2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．R

【答案】D

【分析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.

【详解】依题意，，而，

所以．

故选：D

2．的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由诱导公式直接化简求得结果即可.

【详解】解：．

故选：B

3．下列函数中，在区间单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据单调性依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，在区间有增有减，故A错误，

对选项B，，令，，则，

因为，在为增函数，在为增函数，

所以在为增函数，故B正确.

对选项C，，，解得，

所以，为减函数，，为增函数，

故C错误.

对选项D，在为减函数，故D错误.

故选：B

4．已知函数，下列含有函数零点的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在性定理即可求解.

【详解】解析：因为函数单调递增，且，

，

，

，

.

且

所以含有函数零点的区间为.

故选：C．

5．已知函数，则下列说法不正确的是（    ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增

C．是奇函数 D．的对称中心是

【答案】A

【解析】对进行研究，求出其最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，从而得到答案.

【详解】，最小正周期为；

单调增区间为，即，故时，在上单调递增；

定义域关于原点对称，，故为奇函数；

对称中心横坐标为，即，所以对称中心为

【点睛】本题考查了正切型函数的最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，属于简单题.

6．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.

【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得．

故选：B.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

故选

8．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，即可判断的大小.

【详解】解析：，则

故选：C．

9．函数（）的最大值为（       ）

A． B．1 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对函数进行化简，即可求出最值.

【详解】，

∴当时，取得最大值为3.

故选：C.

10．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为，

设时，的值域为，则由的值域为R可得，

∴，解得，即．

故选：D

11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.

【详解】由得，

∴.

故选：A.

12．若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.

【详解】∵，∴，

根据题意结合正弦函数图象可得

，解得.

故选：B.

二、填空题

13．已知幂函数是奇函数，则___________.

【答案】1

【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.

【详解】由题意得，∴或1，

当时，是偶函数；

当时，是奇函数.

故答案为：1.

14．已知函数对于任意实数x满足．若，则_______________．

【答案】3

【分析】根据得到周期为2，可得结合可求得答案.

【详解】解：∵，所以周期为2的函数，

又∵，∴．

故答案为：3

15．函数的定义域为_______________．

【答案】

【分析】由题可知，解不等式即可得出原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，

即，解得，

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

16．当时，函数取得最大值，则_______________．

【答案】

【分析】利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的最值解得，利用诱导公式求解即可.

【详解】解析：当时，取得最大值（其中），

∴，即，

∴．

故答案为：-3.

三、解答题

17．计算下列各题：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用指对幂运算性质化简求值；

（2）利用对数运算性质化简求值.

【详解】(1)原式.

(2)原式

.

18．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据题意可得，结合三角函数诱导公式即可求解.

（2）利用正切函数的诱导公式，及正切函数两角差公式即可求解.

【详解】(1)解析：（1）由已知可得．

．

(2)（2）．

19．已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)求函数的单调递增区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数恒等变换对函数进行化简，根据正弦型三角函数的性质求解函数的最小值即可；

（2）利用正弦函数的单调性，整体代换求解函数的单调递增区间即可.

【详解】(1)解析：（1），

∴当时取得最小值．

(2)（2）由（1）得，，

令，

得函数的单调递增区间为．

20．已知函数为偶函数．

(1)求a的值，并证明在上单调递增；

(2)求满足的x的取值范围．

【答案】(1)；证明见解析

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结

论；

（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.

【详解】(1)解：由题意函数为偶函数，

∴，即

∴对任意恒成立，解得．

∴

任取，则

由，可得，

∴，即，

∴在上单调递增．

(2)由偶函数的对称性可得在上单调递减，

∴，

∴，解得，

∴满足的x的取值范围是．

21．已知，，.

(1)求，的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；

（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.

【详解】(1)∵，∴.

∵，∴，

∴，且，解得，

∴，.

(2)∵，，∴，

∴，

∴

.

22．已知函数（，）的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；

(3)求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.

【答案】(1)

(2)

(3)当时，；当时，

【分析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；

（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；

（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可

【详解】(1)根据图象可知，且，的周期为：

解得：，此时，

，且

可得：

解得：

故

(2)当时，

令，又恒成立

等价于在上恒成立

令，

则有：开口向上，且，只需即可满足题意

故实数m的取值范围是

(3)由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点

在上时，，分类讨论如下：

①当时，的图象与直线在上无交点；

②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；

③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；

④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.

综上，当时，；当时，.