2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校高一下学期期中数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校高一下学期期中数学（文）试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若线段上、、三点满足，则这三点在线段上的位置关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性关系得到和 是共线同向的，且进而得到答案.
【详解】根据题意得到和是共线同向的，且.
故选：A.
2．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得出，结合向量数量积的坐标运算求得的值，进而利用向量的模长公式可求得的值.
【详解】，，解得，，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查向量模长的计算，涉及向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
3．已知不共线的两个向量与共线，则实数t等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量共线定理即可求解.
【详解】因为与共线，
所以有且仅有唯一的实数，满足，
则，解得.
故选：C.
4．设复数，是z的共轭复数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，由复数的乘法即可求解.
【详解】因为，所以，
则.
故选：C.
5．已知均为非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．B．可能成立
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】利用数量积的结果为数量可判断A；举例，可判断B；举例，，，可判断C；利用向量的模长与向量方向的关系，可判断D.
【详解】仍是向量，不是向量，A错误．
若，则，B正确．
若，，，则，但，C错误．
若，但是却无法保证向量的方向相同，则D错误．
故选：B
6．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理化角为边，可得，由余弦定理求得，即可得出.
【详解】因为，由正弦定理得，
又，所以可得，
由余弦定理可得，
所以.
故选：C.
7．定义运算，则符合条件（是虚数单位）的复数对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据定义运算及复数的四则运算及复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意可知，，得，
即，
复数对应的点为.
所以复数对应的点所在象限为第三象限.
故选：C.
8．的内角、、的对边分别为、、，，.如果有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，根据题意可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.
【详解】如下图所示：
因为有两解，所以，解得.
故选：D.
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理可转化为，结合均值不等式以及余弦定理可得解
【详解】因为，由正弦定理
所以．
因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以A的最大值为．
故选：D
10．已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据新几何体与原正方体的对比，观察新增哪些部分，减少哪些部分，然后在进行计算.
【详解】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，
∵截面为矩形，长为，宽为，∴面积为，
∴拼成的几何体表面积为，
故选：B.
11．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意分析可得，即可求解.
【详解】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，
所以.
故选：D.
12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.
【详解】如图，
取的中点，根据题意，是边长为2的正三角形，易得，
又
，
根据图形可知，
当点位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，
当点位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，
∴.
故选：B.
二、填空题
13．化简__________．
【答案】
【分析】利用向量的加法运算法则求解即可.
【详解】
14．若复数z满足，则_________．
【答案】
【分析】先通过复数的四则运算求出z，进而求出z的模.
【详解】由题意，.
故答案为：.
15．如图，在正方形中，为中心，且，则_________；_________；____________.

【答案】
【分析】由可确定点坐标，由此可得三点坐标，进而得到所求向量.
【详解】，，，，，
，，.
故答案为：；；.
16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.
【答案】
【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，
AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算
即可求出向量的数量积.
【详解】解析 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴.
三、解答题
17．已知向量，满足，，.
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，然后利用夹角公式求得向量与的夹角.
（2）利用平方的方法求得的值.
【详解】(1)设向量与的夹角为，
由于，所以.
所以，由于，所以.
(2).
18．已知复数（是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；
（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可.
【详解】(1)，
因为z为实数，
所以，解得.
(2)因为是z的共轭复数，所以，
所以
因为复数在复平面上对应的点位于第一象限，
所以，同时解得.
19．已知向量
(1)若，求实数λ，u的值；
(2)若，求与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由平面向量线性运算的坐标表示求解；
（2）由平面向量共线的坐标表示求出参数的值，然后由向量夹角的坐标表示计算．
【详解】(1)，所以，解得；
(2)，，则，解得，
，
．
20．如图，是正方体的棱的延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出：
(1)过点，，的平面与正方体表面的交线；
(2)过点，，的平面与正方体表面的交线.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）连接，交于点，连接，交于点，从而可得到过点，，的平面为平面；
（2）根据基本性质三：若两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出平面与正方体表面的交线；
【详解】(1)连接，交于点，连接，交于点，连接，则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，.
(2)延长，交的延长线于点Q，延长，交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，
则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，，.
21．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．
【答案】，.
【分析】根据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可得解.
【详解】
如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，
由，，
所以，
可得，
所以，
所以底下长方体的面积为，
上面三棱柱的面积为，
所以房子的表面积为，
体积.
22．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
(1)用向量，表示；
(2)假设，用向量，表示并求出的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据向量加法的三角形法则，即可求得答案；
（2）用，分别表示出，结合（1）的结论，再根据平面向量基本定理向量，得到相应的方程组，求得答案.
【详解】(1)由题意，，
∴.
(2)由（1）知，，而，
又，
∴，
因为，不共线，∴，，解得 ，
∴，.
图一
图二