【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-多次相遇问题-人教版

这是一份【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-多次相遇问题-人教版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-多次相遇问题-人教版
一、选择题
1．货车和客车分别由甲乙两地相对开出，在货车离甲地30公里处与客车相遇，相遇后两车继续前进，分别到达甲乙两地后立即返回，途中在离乙地21公里处，货车又与客车相遇。问甲乙两地的距离是多少公里？（       ）。
A．39 B．69 C．81 D．111
2．甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距（       ）千米。
A．120 B．100 C．80 D．60
二、填空题
3．红、黑两只蚂蚁在尺子上的A，B两点之间往返爬行，红蚂蚁从A点，黑蚂蚁从B点同时出发，黑蚂蚁的速度是红蚂蚁的1.25倍。它们第二次迎面相遇是在尺子上的124cm刻度处，第三次迎面相遇是在96cm刻度处，那么A点在( )cm刻度处。

4．甲乙丙三人，甲每分走50米，乙每分走60米，丙每分走70米。甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，两镇距离是( )米。
5．甲丙两人沿相同的路线从 A 地到 B 地, 乙沿相反的路线从 B 地到 A 地, 两地相距 9 公里. 已知甲的速度是乙的 2 倍. 三人同时出发, 1 小时后甲乙二人相遇. 甲到 B 地时，乙丙二人正好相遇, 然后甲立即沿原路返回, 问甲丙二人相遇时, 甲离开 B 地( )分钟.
6．小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为( )千米．
三、解答题
7．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22.5米，丙每分钟走25米。甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相向出发，丙遇乙后10分钟再遇甲，求两镇相距多少米？

8．甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？


9．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。


10．△ABC是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有AD：BD＝2：3，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米，那么，△ABC的周长是多少米。

11．A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发，甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？



12．汽车从A地出发，到B地去，一人骑自行车同时从B地出发到A地去，当汽车与骑自行车人第一次相遇时，距B地12.8千米，自行车与汽车继续以原速驶到各自的目的地后立即返回，第二次相遇时，距A地0.24千米，求AB两地间的路程是多少千米？
13．二人同时从AB两地出发相向而行，当他们第一次相遇时，离开A地1.62千米，然后他们以不变的速度不停地往前走，各自到达目的地后立即返回，第二次相遇时，距B地1.12千米，求AB两地间的路程是多少？


14．小王和小李同时从东、西两村出发，相向而行，当他们第一次相遇时，离开东村1.8千米，然后他们各以原速继续前进，小王到达西村后立即返回，小李到达东村后也立即返回，当他们第二次相遇时，相遇点离开西村1.2千米，那么东西二村相距多少千米？


15．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动。两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇。若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？


16．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B相距多少千米？


17．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半，甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇。若AB段长度为90km，则AE全长为多少km？





18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米？


19．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出（甲从A地，乙从B地），第一次相遇后两车继续前进，第二次相遇时乙车离A地120千米，已知甲、乙两车速度比为5∶4，求AB两地路程。



20．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。问甲、乙两地的距离。



21．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后都立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地的距离。

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
第一次相遇时，两车共行了甲乙两地的距离，其中甲地出发的货车行了30公里；即每行一个甲乙两地的距离，甲地出发的货车就行一个30公里，第二次相遇时，两车共行了甲乙两地距离的3倍，则甲地出发的货车行了30×3＝90公里；这时货车行了一个单程多21公里；故全程是90－21＝69公里。
【详解】
30×3－21
＝90－21
＝69（公里）
故答案为：B。
【点睛】
抓住每行一个甲乙两地的距离，甲地出发的货车就行一个30公里是解答本题的关键。
2．A
【解析】
【详解】
略
3．82
【解析】
【分析】
第二次相遇，二者和走3个全程，第三次相遇，二者和走5个全程，将0刻度与A之间的距离设为x，A、B之间的距离设为y，列方程组求解问题。
【详解】
红蚂蚁走过的路程与黑蚂蚁走过的路程之比为；

设0刻度与A之间的距离设为x，A、B之间的距离设为y；
第二次相遇，二者和走3个全程，其中黑蚂蚁走过的路程是


第三次相遇，二者和走5个全程，其中黑蚂蚁走过的路程是






解得：
所以A点在82cm刻度处。
【点睛】
本题考查的是多次相遇问题，注意相遇次数与和走的全程个数之间的关系。
4．3120
【解析】
【分析】
设丙和乙的相遇时间为未知数，表示出丙和甲的相遇时间，根据路程和都是全程列方程求解。
【详解】
解：设丙和乙经过x分钟后相遇，则丙和甲经过（x＋2）分钟后相遇；





（千米）

【点睛】
本题考查的是多人相遇问题，对于这类题目，列方程求解是比较方便的。
5．30
【解析】
【详解】
略
6．7.5或12
【解析】
【分析】
【详解】
由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在处相遇，第二次在处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了千米，由于、之间的距离也是3千米，所以与乙地的距离为千米，甲、乙两地的距离为千米；

②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在处追上小王．在这个过程中，小王走了千米，小李走了千米，两人的速度比为．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为千米．
所以甲、乙两地的距离为千米或12千米．
7．8550米
【解析】
【分析】
由题干可知，丙先与乙相遇，再过10分钟与甲相遇，所以丙与乙相遇时，丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和：（20＋25）×10＝450（米），而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里，甲、乙所行的路程之差。所以从出发到乙、丙相遇所用的时间为：450÷（22.5－20）＝180（分）。所以，东、西两镇的距离为：（25＋22.5）×180＝8550（米）。
【详解】
[（20＋25）×10] ÷（22.5－20）
＝[45×10]÷2.5
＝450÷2.5
＝180（分）
（25＋22.5）×180
＝47.5×180
＝8550（米）
答：两镇相距8550米。
【点睛】
要明确：丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和，而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里，甲、乙所行的路程之差；是解答此题的关键。
8．15次
【解析】
【分析】
10分钟两人共跑了：（3＋2）×60×10＝3000（米），（3000÷100＝30）个全程。我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7…29共15次。
【详解】
（3＋2）×60×10
＝5×60×10
＝3000（米）
3000÷100＝30（个）
30÷2＝15（次）
答：共相遇15次。
【点睛】
要明确：在奇数个全程时相遇（不包括追上），是解答此题的关键。
9．250千米
【解析】
【分析】
由题目可知快车每小时比慢车要多行（）千米，而两辆车第二次相遇时快车一共比慢车多行210千米，由此我们可以求出在第二次相遇时它们一共行了多少小时；由题目已知两车相对开出并往返行驶，因此根据它们行驶方式我们可知，它们第二次相遇时两车一共行驶了3个两地间的路程；可以利用第二次相遇时它们行驶的时间求出1个两地间的路程两车一共花费的时间，最后根据两车的速度求出甲、乙两地间的路程。
【详解】
两车的速度差： ＝35（千米）；
到第二次相遇行驶的时间：210÷35＝6（小时）；
1个两地间路程所用的时间：6÷3＝2（小时）；
两地间的路程：2×（）
＝2×125
＝250（千米）；
答：甲、乙两地间的路程是250千米。
【点睛】
这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量。而这类问题解题的关键及规律有：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间；
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间；
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差；
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间。
10．3772.5米
【解析】
【分析】
设AB长度为5k，根据相遇时时间相等列出关系式，解方程，即可求出AB的长度，因为△ABC是一个等边三角形，用AB的长度乘3就可以很容易算出周长。
【详解】
甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B：＝①；
当乙、丙第二次相遇是在D时，＝②；
甲走了2012米，则＝③；
由①得：V甲＝V乙 ④
由③得：2012V乙＝V甲×8k ⑤
由④⑤得8k＝2012，则：k＝251.5
所以AB＝5k＝5×251.5＝1257.5（米）
那么，△ABC的周长是：1257.5×3＝3772.5（米）
答：△ABC的周长是3772.5米。
【点睛】
此题解答的关键在于巧设未知数，求出三角形一条边的长度，进而得解。
11．千米/小时
【解析】
【分析】
根据题意，画简单线段图如下：

第一次甲乙两人在D处相遇，相遇时甲走的路程为AD，乙走的路程为BD；甲、丙在E处相遇，此时乙已走到F处；则乙走FC用的时间与丙走EC用的时间相同。据此解答即可。
【详解】
1小时45分钟＝1.75小时
乙原来的速度为：105÷1.75－40＝20（千米/小时）
甲、乙两人相遇时甲走的路程：AD＝40×1.75＝70（千米）
3分钟＝0.05小时
甲、丙相遇时甲离A地距离为：40×（1.75＋0.05）
＝40×1.8
＝72（千米）
甲、丙相遇时甲离乙的距离为：（40＋20）×0.05
＝60×0.05
＝3（千米/小时）
甲、丙相遇时乙离A地为：105－20×（1.75＋0.05）
＝105－20×1.8
＝69（千米）
C点离A点的距离为：20×[105÷（20＋20＋2）]
＝20×[105÷45]
＝20×2.5
＝50（千米）
乙从甲、丙相遇时到C地的时间为：（69－50）÷20
＝19÷20
＝0.95（小时）
0.95小时也就是丙追上乙的时间；
而丙追乙走的路程为＝甲、丙相遇时甲离A地距离－C地离A地的距离＝72－50＝22（千米）
丙的车速是：22÷0.95＝（千米/小时）
答：丙的车速是千米/小时。
【点睛】
乙从F到C和丙从E到C用的时间相同。
12．38.16千米
【解析】
【分析】
第一次相遇在距B地12.8千米处，此时两车共行了1个全程，自行车行了12.8千米，即每共行1个全程自行车就行12.8千米，第二次相遇时，两车共行3个全程，则自行车共行12.8×3＝38.4千米，此时自行车距离A地0.24千米，已知自行车行驶了1个全程多0.24千米，所以让自行车行驶的总路程减去0.24千米，即是AB之间的距离。
【详解】
3×12.8－0.24
＝38.4－0.24
＝38.16（千米）
答：AB两地间的路程是38.16千米
【点睛】
此题属于两次相遇问题，解题关键是找出第一次相遇和第二次相遇两人共同行驶的路程和各自行驶的路程分别是多少。
13．3.74千米
【解析】
【分析】
两个人第一次相遇时共行了1个全程，其中一人行了1.62千米，当他们第二次相遇时两人共行了3个全程，每个人所用时间是第一次相遇所用时间的3倍，则第一次相遇行了1.62千米的人，此时一共行驶了1.62×3＝4.86（千米），是1个全程加第二次相遇点到B地的距离，据此得出全程的距离。
【详解】
1.62×3－1.12
＝4.86－1.12
＝3.74（千米）
答：AB两地间的路程是3.74千米。
【点睛】
此题属于两次相遇问题，明确第一次相遇两人共行驶1个全程，第二次相遇行驶的是3个全程，通过画线段图能够清楚的看出两人行的路程，方便找出数量关系。
14．4.2千米
【解析】
【分析】
第一次相遇时小王和小李共走完了1个全程。第二次相遇时，小王和小李共走了3个全程。他们第二次相遇所花的时间是它们第一次相遇所花时间的3倍。小王第一次相遇时走了1.8千米，第二次相遇走了1.8×3＝5.4（千米），小王一共走的路程是1个全程加相遇点到西村的距离，所以两村相距 5.4－1.2＝4.2（千米）
【详解】
1.8×3－1.2
＝5.4－1.2
＝4.2（千米）
答：东西二村相距4.2千米。
【点睛】
解答此题的关键是能够明确第二次相遇时两人共行了3个路程，以及小王所行的路程包括哪些部分。
15．150千米
【解析】
【分析】
根据题意，两人第一次迎面相遇是在C处，甲速度提升一倍，当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，由此可知甲提速一倍走到D处所用的时间与提速前走到C处所用的时间相同，所以甲提速一倍后走到D处的路程是提速前走到C处的路程的2倍，因此AD＝2AC＝AC＋CD，所以AC＝CD＝60千米，即第一次相遇时，甲走了60千米；从第一次相遇到第二次相遇，甲走的路程是第一次相遇时走的路程的2倍，为60×2＝120千米，即CD＋2BD＝120千米，所以BD＝（120－60）÷2，进而可求出AB。

【详解】
如图，根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同，
所以路程也增加一倍，因此AC＝CD＝60千米，

第一次相遇，甲走了60千米，
第一次相遇到第二次相遇，甲走了60×2＝120（千米），
即CD＋2BD＝120，
BD＝（120－60）÷2
＝60÷2
＝30（千米）
所以AB＝AC＋CD＋BD＝60＋60＋30＝150（千米）
答：从A地到B地的全程为150千米。
【点睛】
本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键理解题意，分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同，因此所走路程也增加一倍。
16．105千米
【解析】
【分析】
将A、B两地的距离看作单位“1”，相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5，第一次相遇甲、乙共行一个全程，甲行了全程的；往后每相邻两次迎面相遇，甲、乙都共行2个全程，第n次相遇所走的路程和为（2n－1）个全程，甲所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍，据此可分别求出第10次相遇和第18次相遇甲所走的路程是几个全程又几分之几，若所走全程个数为奇数，则相遇地点距离B地几分之几；若所走全程个数为偶数，则相遇地点距离A地几分之几，据此分析计算，即可得解。
【详解】
相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5，
第一次相遇，甲行了全程的；
第10次迎面相遇，甲、乙共行了2×10－1＝19个全程，
甲行了全程的，此时甲距离B地占全程的；
第18次迎面相遇，甲、乙共行了2×18－1＝35个全程，
甲行了全程的，此时甲在A地；
第10次与第18次迎面相遇的距离占全程的，
A、B两地的距离为（千米）。
答：A、B相距105千米。
【点睛】
本题考查多次迎面相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点。
17．540km
【解析】
【分析】
根据题意，车速在AB段降为一半，如果不降速的话，那么汽车在AB段所花费的时间可以行驶2个AB的路程，因此，我们假设不降速行驶，延长BA到M（如图），使AM＝AB＝90km；两车在C点第一次相遇，此时两车共同行驶了一个ME，甲车行驶的路程为MC，乙车行驶的路程为CE，又因为C是AE的中点，所以AC＝CE，由此可知第一次相遇时甲车比乙车多行驶的路程为AM＝90km；从第一次相遇到第二次相遇，两车共同行驶了2个ME，甲车比乙车多行驶的路程为BC＝2AM＝2×90＝180km，AC＝AB＋BC＝90＋180＝270km，因此AE＝2AC＝270×2＝540km。

【详解】
假设在AB段不降速行驶，则同一时间行驶的路程是AB的2倍，延长BA至M，使AM＝AB＝90km，

因为C是AE的中点，所以AC＝AE，
第一次相遇于C点，甲车比乙车多行驶AM＝90（km），
第一次相遇到第二次相遇，甲车比乙车多行驶BC＝90×2＝180（km），
所以AC＝AB＋BC＝90＋180＝270km，
AE＝2AC＝270×2＝540km。
答：AE全长为540km。
【点睛】
本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键是将问题转化不降速处理，得出两车第一次相遇的路程差，第二次和第一次相遇点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。
18．90千米
【解析】
【分析】
将A、B两地的距离看作单位“1”，由甲、乙的速度，可知第一次相遇时，甲、乙的路程比为45∶36＝5∶4，甲行了全程的，乙行了全程的；第二次相遇于C点（如图），甲、乙共行了3个全程，甲行了全程的，乙行了全程的，于是AC为全程的；第三次相遇于D点，甲、乙共行了5个全程，甲行了全程的，即甲走了一个来回又从A地走到D点，易知AD为全程的；CD＝AD－AC，故CD 全程的，由题意知，CD＝40千米，用40千米除以对应分率，即可求出AB。

【详解】
在相同时间内甲、乙两车所行路程的比为
45∶36＝5∶4
第一次相遇甲行了全程的，乙行了全程的；
如图，第二次两车相遇于C点，

此时，乙行了全程的，AC为全程的；
第三次相遇于D点，甲、乙共行了2×3－1＝5个全程，
甲行了全程的，AD为全程的；
CD为全程的，
所以全程为40÷＝90（千米）
答：A、B相距90千米。
【点睛】
本题考查多次相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点：设全程为s，则第n次相遇所走的路程和为（2n－1）s，每个人所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍。
19．360千米
【解析】
【分析】
由于第二次相遇时，两车共行了3个全程，又甲、乙两车速度比为5∶4，所以第二次相遇时，乙车行了3个全程的，即，即行了一个全程又全程的，第二次相遇时乙车离A地120千米，所以这120千米占全程的，所以全程是千米。
【详解】


＝360（千米）
答：AB两地路程是360千米。
【点睛】
本题考查二次相遇问题，关键是理解第二次相遇两车行使的路程是第一次相遇的3倍，然后运用比进行求解。
20．540千米
【解析】
【分析】
根据题意，客车和货车的速度比为60∶48＝5∶4，那么，相同时间的路程比也为5∶4；设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份），则第一次相遇，客车和货车共行驶了1个全程，客车行驶了5份，货车行驶了4份；从出发到第二次相遇，客车和货车共行驶了3个全程，客车行驶路程是第一次相遇行驶路程的3倍，即5×3＝15（份），两次相遇相距15－9－4＝2（份），2份对应120千米，由此求出1份的路程是多少，进而求出甲、乙两地的距离。

【详解】
解法1：
客、货两车速度比：60∶48＝5∶4
设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份），
两相遇地的距离所对应份数为：
5×3－9－4
＝15－9－4
＝2（份）
甲、乙两地的距离为：
120÷2×9＝540（千米）
答：甲、乙两地的距离为540千米。
解法2：
如图，设第一次相遇，货车行驶的路程为a，客车比货车多行驶的路程为b，即客车行驶的路程为（a＋b），那么第一次相遇到第二次相遇，客车行驶的路程是第一次相遇路程的2倍，即为2（a＋b）＝2a＋2b，由图可知，两次相遇的距离为2b，即两次相遇地点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。

第一次相遇时间：
120÷2÷（60－48）
＝60÷12
＝5（小时）
甲、乙两地距离：
（60＋48）×5
＝108×5
＝540（千米）
答：甲、乙两地的距离为540千米。
【点睛】
本题考查二次相遇问题，关键是画线段图分析出数量关系，可根据比例求解或画图分析出两次相遇地的距离是第一次相遇路程差的2倍，进而根据公式求解：路程差÷速度差＝相遇时间，速度和×相遇时间＝路程。
21．30千米
【解析】
【分析】
由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以同一时间内，甲走的路程是乙走的路程的2倍。设A、B两地的距离为3份，第一次相遇，甲、乙共走了一个全程，甲走了2份，乙走了1份；从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走了两个全程，这期间乙走了1×2＝2份，正好到达A地，两次相遇地点相距2份为20千米，1份的路程为20÷2＝10（千米），进而可求出A、B两地的距离。
【详解】
如图，设A、B两地的距离为3份，根据题意，第一次相遇在C处，第二次相遇在A地。

A、B两地的距离：
20÷2×3＝30（千米）
答：A、B两地的距离是30千米。
【点睛】
本题考查二次相遇问题，关键是熟知时间相同，路程比等于速度比，根据题意设出份数，画图分析，找出20千米所对应的份数。