北师大版高考数学一轮复习第7章第4节直线平面平行的判定及其性质课时作业理含解析

第四节 直线、平面平行的判定及其性质

授课提示：对应学生用书第345页

[A组　基础保分练]

1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，一定在平面α内

D．有无数条，不一定在平面α内

解析：过直线外一点作该直线的平行直线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内．

答案：B

2．（2021·长沙模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．m∥α，n∥α，则m∥n

B．m∥n，m∥α，则n∥α

C．m⊥α，m⊥β，则α∥β

D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

解析：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；

对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确；

对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；

对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．

答案：C

3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

解析：由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行或相交，利用正方体可判断，故A不正确；若m，n平行于同一平面，则m与n可能平行、相交或异面，故B不正确；利用正方体中的侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以C不正确；D正确．

答案：D

4．（2021·绍兴一中模拟）对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中为真命题的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，nα，则m∥n

C．若m∥α，n⊥α，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

解析：对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，直线m，n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，m与n垂直而非平行，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．

答案：D

5．如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有（　　）

A．0条　　　　　　　 B．1条

C．2条  D．3条

解析：∵＝，∴EF∥AB．又EF平面EFGH，AB平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH．同理，由＝，可证CD∥平面EFGH．∴与平面EFGH平行的直线有2条．

答案：C

6．（2021·荆州中学模拟）如图，L，M，N分别为正方体棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（　　）

A．垂直  B．相交但不垂直

C．平行  D．重合

解析：如图，分别取正方体另三条棱的中点为A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，易知PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR．

答案：C

7．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：

①aα，bβ，a∥β，b∥α；

②α∥γ，β∥γ；

③α⊥γ，β⊥γ；

④a⊥α，b⊥β，a∥b．

其中能推出α∥β的条件是_________．（填上所有正确的序号）

解析：在条件①或条件③中，α还可能与β相交；

由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；

在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．

综上，能推出α∥β的条件是②④．

答案：②④

8．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件　　　　时，有平面D1BQ∥平面PAO．

解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．又QB平面PAO，PA平面PAO，所以QB∥平面PAO．连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，PO平面PAO，所以D1B∥平面PAO．又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO．故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO．

答案：Q为CC1的中点

9．（2021·唐山质检）如图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG．

证明：（1）设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，且O为AE的中点，连接MO（图略），

则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO．

因为BE平面DMF，MO平面DMF，

所以BE∥平面DMF．

（2）因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，

所以DE∥GN．

因为DE平面MNG，GN平面MNG，

所以DE∥平面MNG．

因为M为AB的中点，N为AD的中点，

所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN．

因为BD平面MNG，MN平面MNG，

所以BD∥平面MNG．

因为DE∩BD＝D，BD，DE平面BDE，

所以平面BDE∥平面MNG．

10．（2021·南昌模拟）如图所示，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1．设M，N分别为PD，AD的中点．

（1）求证：平面CMN∥平面PAB；

（2）求三棱锥P­ABM的体积．

解析：（1）证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，

所以MN∥PA．

又因为MN平面PAB，PA平面PAB，

所以MN∥平面PAB．

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN是Rt△ACD中斜边上的中线，所以CN＝AN，

所以∠ACN＝60°．

又因为∠BAC＝60°，所以CN∥AB．

因为CN平面PAB，AB平面PAB，

所以CN∥平面PAB．

又因为CN∩MN＝N，

所以平面CMN∥平面PAB．

（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，所以MC∥平面PAB，所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．

由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，得BC＝，

所以VP­ABM＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝××1××2＝．

[B组　能力提升练]

1．如图，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝AD＝AB＝2CD＝2，H为PB的中点．

（1）求证：CH∥平面PAD；

（2）求点C到平面PAB的距离．

解析：（1）证明：取PA的中点E，连接HE，DE（图略），

则EH綊AB．

∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD．

又AB＝2CD，

∴CD綊AB，

∴EH綊CD，四边形CDEH为平行四边形，

∴CH∥DE，

又DE平面PAD，CH平面PAD，

∴CH∥平面PAD．

（2）取AD的中点F，连接PF，FB，AH（图略），则∠PFB＝90°，PF＝，BF＝，PB＝，AH＝，

∴S△PAB＝××＝，连接AC，则V三棱锥C­PAB＝V三棱锥P­ABC，设点C到平面PAB的距离为h，

∴××h＝××2××，

∴h＝＝．

∴点C到平面PAB的距离为．

2．（2021·南通模拟）如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．

（1）当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？

（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

解析：（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1．连接A1B，交AB1于点O，连接OD1．

由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

∴OD1∥BC1．

又∵OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1．

∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1．

（2）由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，

∴＝，

又由题（1）可知＝，＝1，∴＝1，即＝1．

[C组　创新应用练]

1．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的最小值是_________．

解析：取A1D1的中点Q，过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于点E，易知平面C1QE∥平面CMN，在△C1QE中作C1P⊥QE（图略），此时C1P取得最小值．

答案：

2．在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′．

（1）要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

（2）所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．

解析：（1）过点P作B′C′的平行线，

交A′B′，C′D′于点E，F，

连接BE，CF．

作图如下：

（2）EF∥平面ABCD．理由如下：

因为BC∥平面A′B′C′D′，

又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，

所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，

又因为EF平面ABCD，BC平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD．