人教版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节充分条件必要条件与充要条件的概念学案理含解析

第二节 充分条件、必要条件与充要条件的概念

2．充分条件、必要条件与充要条件的概念

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(　　)

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(5)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

二、走进教材

2．(选修2－1P6练习引申)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)

A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝

答案：C

3．(选修2－1P8A2(1)改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为_______________________________________．

答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数

三、易错自纠

4．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的____________条件．

答案：必要不充分

5．“在△ABC中，若C＝90°，则A，B都是锐角”的否命题为____________________．

解析：原命题的条件：在△ABC中，C＝90°，结论：A，B都是锐角．

否命题是否定条件和结论，即“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角

|题组突破|

1．(2019届长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1<x<1，则x2<1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析：选D　逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.

2．(2019届广东中山一中统测)下列命题中为真命题的是(　　)

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

解析：选A　A的逆命题为“若x>|y|，则x>y”为真命题．

3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：选A　同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．

►名师点津

四种命题的关系及真假判断

(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．

(2)命题真假的判断方法

①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明一个命题为假，只需举一反例．

②间接判断法：转化成等价命题，再判断．

【例1】　(1)(2019年浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2019年全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

[解析]　(1)∵a>0，b>0，∴4≥a＋b≥2，

∴2≥，∴ab≤4，即a＋b≤4⇒ab≤4；

若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，但a＋b＝4＋>4，即ab≤4a＋b≤4，

∴“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．

(2)对于A，若α内有无数条直线与β平行，则α∩β或α∥β；

对于B，若α内有两条相交直线与β平行，则α∥β；

对于C，若α，β平行于同一条直线，则α∩β或α∥β；

对于D，若α，β垂直于同一平面，则α∩β或α∥β.故选B．

[答案]　(1)A　(2)B

►名师点津

充分必要条件的判断方法

|跟踪训练|

(2019年天津卷)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　∵|x－1|<1，∴0<x<2，

∵0<x<50<x<2，但0<x<2⇒0<x<5，

∴“0<x<5”是“0<x<2”的必要不充分条件，即“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．故选B．

——变式探究

【例2】　(2019届济南月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围．

[解]　P＝{x|x2－8x－20≤0}＝{x|－2≤x≤10}，

要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

即{x|－2≤x≤10}＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

∴此时m不存在，即不存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件．

|变式探究|

1．本例条件若改为“x∈P是x∈S的必要条件”问题不变．

解：∵x∈P是x∈S的必要条件，

即x∈S⇒x∈P，∴S⊆P.

∴1－m>1＋m或

∴m≤3.

2．本例条件若改为“﹁P是﹁S的必要不充分条件”问题不变．

解：∵﹁P是﹁S的必要不充分条件，

∴S是P的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件．

∴PS⇔

∴m≥9.

►名师点津

利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点

(1)关键点：合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．

(2)注意点：注意区间端点值的检验．

【例】　(1)(2019届合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2019年北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题，故p是q的充分条件；设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A．

(2)∵点A，B，C不共线，

∴“与的夹角为锐角”⇒“|＋|>||”，

且“|＋|>||”⇒“与的夹角为锐角”，

∴“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充要条件．故选C．

[答案]　(1)A　(2)C

►名师点津

解决与充要条件有关的应用交汇问题的关键是根据交汇知识，弄清充要关系进行判断，判断时注意方法灵活，可直接或验证判断．

|跟踪训练|

(2020届贵阳摸底)“m＝”是“直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A　根据直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切知，圆心到直线的距离等于半径，则＝2，即(2m－1)2＝1＋m2，解得m＝0或m＝，所以“m＝”是“直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切”的充分不必要条件．故选A．