人教版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理含解析

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

‖知识梳理‖

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

►常用结论

(1)真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假．

(2)“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”．

2．全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．

►常用结论

(1)判定全称命题为真，需证明对任意x∈M，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到一个x∈M，使p(x)不成立即可．

(2)判定特称命题为真，只需找到一个x∈M，使p(x)成立即可；判定特称命题为假，需证明对任意x∈M，p(x)均不成立．

3．含有一个量词的命题的否定

►常用结论

对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)

(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．(　　)

(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)

(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)

(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√

二、走进教材

2．(选修2－1P26A3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0

答案：B

3．(选修2－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案：B

三、易错自纠

4．命题“∃x0≤0，x≥0”的否定是(　　)

A．∀x≤0，x2<0 B．∀x≤0，x2≥0

C．∃x0>0，x>0 D．∃x0<0，x≤0

答案：A

5．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________．

解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0，综上所述，实数k的取值范围是(－4，0]．

答案：(－4，0]

|题组突破|

1．(2019届福建质检)若命题p：∃x0∈R，x>1－x，则命题p的否定为(　　)

A．∀x∈R，x3<1－x2

B．∀x∈R，x3≤1－x2

C．∃x0∈R，x<1－x

D．∃x0∈R，x≤1－x

解析：选B　该命题是特称命题，则命题的否定是“∀x∈R，x3≤1－x2”，故选B．

2．(2019届西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B．

3．下列四个命题：

p1：对任意x∈R，都有2x>0；

p2：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0；

p3：对任意x∈R，都有sin x<2x；

p4：存在x0∈R，使得cos x0>x＋x0＋1.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p2 B．p2，p3

C．p3，p4 D．p1，p4

解析：选D　由指数函数的性质可知，p1为真命题；

∵x2＋x＋1＝＋>0恒成立，∴p2为假命题；

∵sin＝1>2－，∴p3为假命题；∵当x＝－时，cos x>cos ＝>＋＋1，∴p4为真命题．故选D．

►名师点津

全(特)称命题真假的判断方法

【例1】　(2019届山西八校联考)已知命题p：存在n0∈R，使得f(x)＝n0x是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．(﹁p)∧q

C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)

[解析]　当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则﹁p是假命题；“∃x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，﹁q是真命题．所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∧(﹁q)均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选C．

[答案]　C

►名师点津

判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤

(1)定结构：确定复合命题的构成形式．

(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性．

(3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．

|跟踪训练|

已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．p∧(﹁q)

C．(﹁p)∧q D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选C　因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，﹁p为真命题；由x2－x－6>0，得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(﹁p)∧q为真命题，故选C．

——变式探究

【例2】　给定命题p：对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，若p∧q为真，则a的取值范围是________．

[解析]　当p为真命题时，对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0成立⇔a＝0或∴0≤a<4.

当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

所以当p∧q为真时，0≤a≤.

[答案]　

|变式探究|

1．若p∨q为真，问题不变．

解：由本例中知p∨q为真，分三种情况：

①p真q假；②p假q真；③p，q均为真，

即或或

∴a<4.

∴a的取值范围是(－∞，4)．

2．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，问题不变．

解：∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，

∴p，q一真一假．

∴若p真q假，则有0≤a<4，且a>，

∴<a<4；

若p假q真，则有

∴a<0.

故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.

►名师点津

根据复合命题的真假求参数范围的步骤

(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；

(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)；

(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．

【例】　(2019年全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃(x0，y0)∈D，2x0＋y0≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题：①p∨q；②(﹁p)∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∧(﹁q)．

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A．①③ B．①②

C．②③ D．③④

[解析]　作出不等式组表示的平面区域D如图所示，由图形可知，

命题p：∃(x0，y0)∈D，2x0＋y0≥9，是真命题，则﹁p是假命题；

命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12，是假命题，则﹁q是真命题；

所以由逻辑联结词构成的复合命题真假为：

①p∨q真；②(﹁p)∨q假；③p∧(﹁q)真；④(﹁p)∧(﹁q)假．

故①③为真命题．故选A．

[答案]　A

►名师点津

与复合命题有关的创新交汇问题的求解关键是准确判断交汇知识命题的真假．

|跟踪训练|

已知命题p：“a＝2”是“直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充要条件，命题q：“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)>2n”的否定是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)≤2n0”，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．(﹁p)∧q

C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选D　由l1∥l2得，a(a－1)＝2且2(a2－1)≠－6(a－1)，解得a＝2或a＝－1，故“a＝2”是“直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充分不必要条件，则p是假命题，﹁p是真命题；“∀n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)>2n”的否定是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)≤2n0”，故q是假命题，﹁q是真命题．所以p∧q，(﹁p)∧q，p∧(﹁q)均为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为真命题，故选D．