人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第1节函数及其表示学案理含解析

第一节　函数及其表示

‖知识梳理‖

函数的基本概念

(1)函数的定义

一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．

(4)表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．

(5)分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

►常用结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　)

(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

二、走进教材

2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案：B

3．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2  B．y＝＋1

C．y＝＋1 D．y＝＋1

答案：B

三、易错自纠

4．(2019届深圳模拟)函数y＝的定义域为(　　)

A．(－2，1) B．[－2，1]

C．(0，1) D．(0，1]

解析：选C　由题意得解得0<x<1，故选C．

5．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________．

解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；

若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.

答案：±1

6．(2019届江南十校联考)已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________．

解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.

∴f(x)＝.

答案：

|题组突破|

1．(2019届河南豫北名校联盟联考)函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(－1，0)∪(0，1] B．(－1，1]

C．(－4，－1] D．(－4，0)∪(0，1]

解析：选A　要使函数f(x)有意义，则解得－1<x≤1且x≠0，

所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A．

2．(2019届贵州遵义航天高级中学月考)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________．

解析：令t＝2x，则由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，可知f(t)中0≤t≤2.故要使函数f(2x)有意义，则0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域为[0，1]．

所以函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1.

故函数g(x)的定义域是[0，1)．

答案：[0，1)

3．已知函数f(x)＝log2(ax2＋x＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________．

解析：由条件知，ax2＋x＋1>0在R上恒成立，当a＝0时，x＋1>0不满足，故即a>.

答案：

►名师点津

1．根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．

2．求抽象函数的定义域的策略

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

【例1】　(1)若f＝－1，则f(x)＝________.

(2)若f(x)为有理函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则f(x)＝________．

(3)已知f(x)＋2f＝x＋1，则f(x)＝________．

[解析]　(1)解法一(配凑法)：

∵f＝－1＝

＝，

∴f(x)＝x(x－2)，即f(x)＝x2－2x(x≠1)．

解法二(换元法)：设＋1＝t，则x＝(t≠1)，

∴f(t)＝－1＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，

∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．

(2)(待定系数法)∵f(x＋1)，f(x－1)与f(x)有相同的次数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，f(x)为有理函数，∴f(x)为二次函数．

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，

f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，

∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2ax2＋2bx＋2(a＋c)＝2x2－4x，

∴解得

∴f(x)＝x2－2x－1.

(3)(方程组法)用代替x，得到f＋2f(x)＝＋1. ①

又f(x)＋2f＝x＋1， ②

2×①－②得，3f(x)＝－x＋1，

∴f(x)＝－＋.

[答案]　(1)x2－2x(x≠1)　(2)x2－2x－1

(3)－＋

►名师点津

|跟踪训练|

1．(2019届定州模拟)下列函数中，满足f(x2)＝[f(x)]2的是(　　)

A．f(x)＝ln x B．f(x)＝|x＋1|

C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ex

解析：选C　对于函数f(x)＝x3，有f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以f(x2)＝[f(x)]2，故选C．

2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.

解析：若－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，

故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)．

因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝－.

答案：－

高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．

常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．

●命题角度一　分段函数求值问题

【例2】　(2020届成都摸底)已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(1)＝(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意得f(－2)＋f(1)＝sin－2π＋＋(21＋1)＝sin＋3＝＋3＝，故选C．

[答案]　C

►名师点津

分段函数的求值问题的解题思路

(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

●命题角度二　分段函数的自变量求值问题

【例3】　(2019届山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)

A．－2 B．8

C．1 D．2

[解析]　讨论m的范围，分段代入求值．

当m≥2时，m2－1＝3，∴m＝2或m＝－2(舍)；

当0<m<2时，log2m＝3，∴m＝8(舍)．

∴m＝2.故选D．

[答案]　D

►名师点津

分段函数的自变量求值问题常用分类讨论思想，讨论自变量与分段函数各段的定义区间的关系．

●命题角度三　分段函数与不等式问题

【例4】　(2019届湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪[0，1) B．(－3，0)

C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

[解析]　因为f(a)<1，所以或得－3<a<0或0≤a<1.所以实数a的取值范围是(－3，1)，故选C．

[答案]　C

►名师点津

解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．

|跟踪训练|

3．若f(x)＝是奇函数，则f[g(－2)]的值为(　　)

A． B．－

C．1 D．－1

解析：选C　∵f(x)＝是奇函数，

∴当x<0时，g(x)＝－＋3，∴g(－2)＝－＋3＝－1，f[g(－2)]＝f(－1)＝g(－1)＝－＋3＝1.故选C．

4．已知函数f(x)＝若f[f(1)]>3a2，则a的取值范围是________．

解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f[f(1)]＝f(3)＝32＋6a，若f[f(1)]>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，

解得－1<a<3.

答案：(－1，3)

【例】　(2019届滨州月考)对于具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①② B．②③

C．①③ D．只有①

[解析]　(逐项验证法)对于①，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；

对于②，f＝＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；

对于③，f＝

满足f＝－f(x)，故③满足“倒负”变换，故选C．

[答案]　C

►名师点津

求解函数新定义问题的思路

(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．

(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．

(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．

|跟踪训练|

已知定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对∀ε>0，∃x0∈D，使得0<|f(x0)－c|<ε，则称函数y＝f(x)为“c敛函数”．给出下列函数：①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝2－x＋1(x∈Z)；③f(x)＝log2x；④f(x)＝1－x－1.

则其中是“1敛函数”的序号是(　　)

A．①② B．③④

C．①②③ D．②③④

解析：选D　对于f(x)＝x(x∈Z)，对∀ε>0，不会存在x∈Z，满足0<|x－1|<ε；

对于f(x)＝2－x＋1(x∈Z)，|f(x)－1|＝2－x，那么0<2－x<ε，存在x>logε满足题意；

对于f(x)＝log2x，|f(x)－1|＝|log2|，存在x＝21－满足题意；

对于f(x)＝1－x－1，|f(x)－1|＝x－1，存在x＝满足题意．

综上可知，②③④是“1敛函数”．故选D．