人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第2节函数的单调性与最值学案理含解析

第二节　函数的单调性与最值

‖知识梳理‖

1．函数的单调性

单调函数的定义

►常用结论

(1)函数单调性的两种等价形式

设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么

①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

(3)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．

(4)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．

(5)函数f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

2．函数的最值

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(　　)

(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

二、走进教材

2．(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)

A．y＝－x B．y＝x2－x

C．y＝ln x－x D．y＝ex

答案：A

3．(必修1P31例4改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________．

答案：2

三、易错自纠

4．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，1] B．[3，＋∞)

C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)

解析：选B　设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B．

5．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为____________．

答案：[－1，1]，[5，7]

6．函数f(x)＝－x3在[－2，0]上的最大值与最小值之差为________．

解析：易知f(x)在[－2，0]上是减函数，

∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝＋2＝.

答案：

|题组突破|

1．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

解析：选D　(复合法)由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D．

2．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A． B．和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)

解析：选B　(图象法)y＝|x2－3x＋2|＝

如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．故选B．

3．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性．

解：解法一(定义法)：函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1，2]上单调递增．

证明如下：设x1，x2是[1，2]上任意两个实数，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)，

由1≤x1<x2≤2，

得x2－x1>0，2<x1＋x2<4，1<x1x2<4，－1<－<－.

又因为1<a<3，

所以2<a(x1＋x2)<12，

得a(x1＋x2)－>0，

从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．

解法二(导数法)：因为f′(x)＝2ax－＝，

又因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8.

又1<a<3，所以2ax3－1>0，

所以f′(x)>0，

所以函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上是增函数．

►名师点津

1．判断函数单调性的常用方法

2．确定函数的单调区间的方法

高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．

常见的命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围．

●命题角度一　比较两个函数值或两个自变量的大小

【例1】　(2019届哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b B．c>b>a

C．a>c>b D．b>a>c

[解析]　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∵1<2<<e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.

[答案]　D

►名师点津

比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

●命题角度二　解函数不等式

【例2】　已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为______________．

[解析]　由已知，可得解得－3<a<－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

[答案]　(－3，－1)∪(3，＋∞)

►名师点津

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．

●命题角度三　利用单调性求参数的取值范围

【例3】　(2019届山东济宁模拟)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．

[解析]　因为函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，所以⇒≤a<1，即实数a的取值范围是.

[答案]　

►名师点津

利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

需注意：①若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；

②对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

|跟踪训练|

1．(2019届河北衡水中学第二次调研)已知函数y＝f(x)在区间(－∞，0)内单调递增，且f(－x)＝f(x)，若a＝f(log3)，b＝f(2－1.2)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>c>b B．b>c>a

C．b>a>c D．a>b>c

解析：选B　易知f(x)为偶函数，因为a＝f(log3)＝f(－log23)＝f(log23)，且log23>，0<2－1.2<2－1＝，所以log23>>2－1.2>0.又f(x)在区间(－∞，0)内单调递增，且f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，所以f(log3)<f<f(2－1.2)，所以b>c>a.故选B．

2．(2019届河北武邑期中)若函数y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4，4]

C．[－4，4) D．[－4，4]

解析：选D　令t＝x2－ax＋3a，则y＝logt，

易知t＝x2－ax＋3a在上单调递减，在上单调递增．

∵y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，

∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上满足t>0，∴2≥，且4－2a＋3a≥0，

∴a∈[－4，4]．故选D．

【例4】　求下列函数的值域：

(1)y＝，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋；

(3)y＝x＋4＋；(4)y＝；

(5)y＝log3x＋logx3－1.

[解]　(1)由y＝，可得y＝－.

∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，

∴≤y≤3，即y∈.

(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，

则x＝.

∴y＝－t2＋t＋1＝－＋(t≥0)．

∴当t＝，即x＝时，y取最大值，ymax＝，又∵此抛物线开口向下，

∴函数的值域为.

(3)(三角换元法)令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，

则y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3sin＋4.

∵0≤θ≤π，

∴≤θ＋≤，

∴－≤sin≤1.

∴1≤y≤3＋4，

∴函数的值域为[1，3＋4]．

(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，

整理，得(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0.

显然y≠2(运用判别式法之前，应先讨论x2的系数)．

将上式看作关于x的一元二次方程．

易知原函数的定义域为R，则上述关于x的一元二次方程有实根，∴Δ＝[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0.

解不等式得－≤y≤2.

又y≠2，∴原函数的值域为.

(5)将y＝log3x＋logx3－1变形，得y＝log3x＋－1.

①当log3x>0，即x>1时，y＝log3x＋－1≥2－1＝1，当且仅当log3x＝1，即x＝3时取“＝”．

②当log3x<0，即0<x<1时，y≤－2－1＝－3，

当且仅当log3x＝－1，即x＝时取“＝”．

综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

►名师点津

求函数最值的5种常用方法

|跟踪训练|

3．(2019届福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)

C．(－∞，4] D．(－∞，4)

解析：选B　由题意知，当x>0时，f(x)＝x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4，故选B．

4．函数y＝x＋的最小值为________．

解析：解法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.

配方，得y＝＋，

又因为t≥0，所以y≥＋＝1，

故函数y＝x＋的最小值为1.

解法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.

答案：1

【例】　(2019届武汉市模拟)若存在正实数a，b，使得∀x∈R，有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数”．给出以下三个函数：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝sin x2，其中是“限增函数”的是(　　)

A．①② B．②③

C．①③ D．③

[解析]　对于①，若f(x＋a)≤f(x)＋b，即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，整理得2ax≤－a2－a＋b，即x≤对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于②，f(x)＝，即≤＋b，整理得|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，∴由|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，则≥，显然，当a≤b2时式子恒成立，故原不等式|x＋a|≤|x|＋b2＋2b恒成立，∴f(x)＝是“限增函数”．对于③，f(x)＝sin x2，－1≤f(x)＝sin x2≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，∴f(x)＝sin x2是“限增函数”，故选B．

[答案]　B

►名师点津

求解此类问题的思路

(1)明确单调性的新定义．

(2)结合题目条件把要求问题转化为易处理的问题．

(3)求解问题，得出结论．

|跟踪训练|

设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是________．

解析：(图象法)由题意得，当x>0时，f(x)＝

①当a≥0时，函数f(x)的图象如图①所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a.

所以只需满足5a－(－a)＝6a<2 014，即0≤a<.

②当a<0时，函数f(x)的图象如图②所示，且f(x)为增函数．

因为x＋2 014>x，所以满足f(x＋2 014)>f(x)．

综上可知，实数a的取值范围是a<.

答案：