北师大版高考数学一轮复习第1章第2节命题及其关系充分条件与必要条件课时作业理含解析

命题及其关系、充分条件与必要条件

授课提示：对应学生用书第267页

[A组　基础保分练]

1.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A.逆命题　　　　　 B.否命题

C.逆否命题  D.否定

解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.

答案：B

2.如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（　　）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

解析：设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件.

答案：C

3.（2021·九江模拟）原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A.0  B.1

C.2  D.4

解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题.综上所述，真命题有2个.

答案：C

4.（2021·西安模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（　　）

A.a＝b＝1  B.a，b至少有一个为1

C.a＝b＝2  D.a＞1且b＞1

解析：因为a＋b＞ab，所以（a－1）（b－1）＜1.因为a，b∈N＋，所以（a－1）（b－1）∈N，所以（a－1）（b－1）＝0，所以a＝1或b＝1.

答案：B

5.a，b是单位向量，“（a＋b）2＜2”是“a，b的夹角为钝角”的（　　）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

解析：（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＜2⇒a·b＜0，当a·b＜0时，a，b的夹角为钝角或平角；当a，b的夹角为钝角时，a·b＜0成立.所以“（a＋b）2＜2”是“a，b的夹角为钝角”的必要而不充分条件.

答案：C

6.命题“任意x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A.a≥9  B.a≤9

C.a≥10  D.a≤10

解析：命题“任意x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“任意x∈[1，3]，x2≤a”⇔a≥9.则a≥10是命题“任意x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.

答案：C

7.下列命题：

①“若a≤b，则a＜b”的否命题；

②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；

③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；

④“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题.

其中真命题的序号为（　　）

A.②④  B.①②③

C.②③④  D.①③④

解析：对于①，逆命题为真，故否命题为真；

对于②，原命题为真，故逆否命题为真；

对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；

对于④，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假.

答案：B

8.（2021·玉溪模拟）不等式x－＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）

A.－1＜x＜0或x＞1  B.x＜－1或0＜x＜1

C.x＞－1  D.x＞1

解析：由x－＞0可知＞0，即或解得x＞1或－1＜x＜0，不等式x－＞0的解集为{x|x＞1或－1＜x＜0}，故不等式x－＞0成立的一个充分不必要条件是x＞1.

答案：D

9.在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的　　　　条件.

解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件.

答案：充要

10.若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为__________.

解析：由x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.

因为“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，

所以{x|x＞a}是{x|x＜－2或x＞3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.

答案：3

[B组　能力提升练]

1.（2021·咸阳模拟）已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件.

答案：A

2.使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（　　）

A.a＋b＞0  B.a－b＞0

C.ab＞1  D.＞1

解析：因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，＞1.

答案：A

3.（2021·贵阳模拟）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以（a－3b）2＝（3a＋b）2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立.

答案：C

4.已知圆C：（x－1）2＋y2＝r2（r＞0），设p：0＜r≤3，q：圆上至多有两个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：对于q，圆（x－1）2＋y2＝r2（r＞0）上至多有两个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，又圆心（1，0）到直线的距离d＝＝2，则r＜2＋1＝3，所以0＜r＜3，又p：0＜r≤3，所以p是q的必要不充分条件.

答案：B

5.（2021·唐山模拟）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为__________.

解析：由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4，若由x＜m能得出x＜－2或x＞4，则m≤－2，即m的最大值为－2.

答案：－2

6.集合A＝，B＝{x||x－b|＜a}.若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是__________.

解析：由“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，知当a＝1时，A∩B≠∅.当a＝1时，由题意得A＝（－1，1），B＝（b－1，b＋1），由A∩B≠∅得－1≤b－1＜1或－1＜b＋1≤1，即－2＜b＜2，所以b的取值范围是（－2，2）.

答案：（－2，2）

[C组　创新应用练]

1.（2021·武汉模拟）若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（　　）

A.[－3，3]

B.（－∞，－3]∪[3，＋∞）

C.（－∞，－1]∪[1，＋∞）

D.[－1，1]

解析：x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，∴（－1，4）（2m2－3，＋∞），∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.

答案：D

2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即非q是非p的充分不必要条件，故p是q的充分不必要条件.

答案：A

3.A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是（　　）

A.若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B.若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分.

答案：C