人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第7节函数的图象学案理含解析

第七节　函数的图象

‖知识梳理‖

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

首先：①确定函数的定义域；

②化简函数解析式；

③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)；

最后：描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

y＝f(x)y＝f(x－a)；

y＝f(x)y＝f(x)＋b．

(2)伸缩变换

y＝f(x) y＝f(ωx)；

y＝f(x) y＝Af(x)．

(3)对称变换

y＝f(x)y＝－f(x)；

y＝f(x)y＝f(－x)；

y＝f(x)y＝－f(－x)．

(4)翻折变换

y＝f(x)y＝f(|x|)；

y＝f(x)y＝|f(x)|.

►常用结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．

(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、走进教材

2．(必修1P23T2改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

答案：C

3．(必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

答案：C

三、易错自纠

4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．ex＋1 B．ex－1

C．e－x＋1 D．e－x－1

解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D．

5．(2019年浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

解析：选D　可分别取a＝和a＝2，在同一直角坐标系内画出相应图象(图略)，对比可知，D正确，故选D．

6．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．

解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8]．

答案：(2，8]

|题组突破|

1．(2019年全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

解析：选D　∵f(x)＝，x∈[－π，π]，

∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)为[－π，π]上的奇函数，因此排除A；

又f(π)＝＝>0，因此排除B、C，故选D．

2．(2020届合肥调研)函数f(x)＝ln的图象大致为(　　)

解析：选B　解法一：易知f(x)定义域为{x|x≠0}．又因为f(－x)＝ln＝ln＝ln＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A、D；又f(1)＝ln<0，f(2)＝ln＝ln2－>0，所以f(2)>f(1)，故排除C．故选B．

解法二：因为f(x)＝ln＝ln，所以当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除A、C；当x→－∞时，1－→－1，x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除D，故选B．

3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝x2－2ln|x|

B．f(x)＝x2－ln|x|

C．f(x)＝|x|－2ln|x|

D．f(x)＝|x|－ln|x|

解析：选B　由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2，1，由此可得，仅函数f(x)＝x2－ln|x|符合条件，故选B．

►名师点津

识图的3种常用方法

函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．

常见的命题角度有：(1)利用图象确定方程根的个数；(2)利用图象求参数的取值范围；(3)利用图象求解不等式；(4)利用图象研究函数的性质．

●命题角度一　利用图象确定方程根的个数

【例1】　(2019届文登一中模拟)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　)

A．10个　　  B．9个

C．8个 D．7个

[解析]　根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：

可验证，当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；当x>10时，|lg x|>1，因此结合图象及数据特点知，y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．

[答案]　A

►名师点津

利用函数图象研究方程根的策略

构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．

●命题角度二　利用图象求参数的取值范围

【例2】　已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)

C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)

[解析]　当0<m≤1时，需满足1＋m≥(m－1)2，解得0≤m≤3，故0<m≤1；当m>1时，需满足(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0，故m≥3.综上可知，正实数m的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)．

[答案]　B

●命题角度三　利用图象求解不等式

【例3】　(2019届成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，解不等式<0的解集为____________．

[解析]　因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．

[答案]　(－1，0)∪(0，1)

►名师点津

利用函数图象研究不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

●命题角度四　利用图象研究函数的性质

【例4】　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．

[答案]　C

►名师点津

利用函数图象研究性质的方法

(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．

(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．

(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

(4)从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

|跟踪训练|

1．(2019年全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)

解析：选B　由y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，知f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是[－6，6]上的奇函数，因此排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A，故选B．

2．(2019届沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C　因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[(x＋2)－2]＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数，作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2，6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根，故选C．

【例】　(2019届河北邯郸一模)如图，在直角坐标系xOy中，边长为1的正方形OMNP的两个顶点在坐标轴上，点A，B分别在线段MN，NP上运动．设PB＝MA＝x，函数f(x)＝·，g(x)＝·，则f(x)与g(x)的图象为(　　)

[解析]　由已知可得，A(1，x)，B(x，1)，x∈[0，1]，则＝(1－x，x－1)，＝(1，x)，＝(x，1)，所以f(x)＝·＝1－x＋x(x－1)＝(x－1)2，g(x)＝·＝2x，故选A．

[答案]　A

►名师点津

利用条件建立f(x)与g(x)的表达式后，再结合选项进行判断．

|跟踪训练|

(2019届广东广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)

解析：选B　函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D；一开始，h＝H，随着时间的变化减少程度逐渐变慢，超过一半时，h随着时间的变化减少程度逐渐变快，故选B．