人教版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算学案理含解析

第一节　导数的概念及运算

‖知识梳理‖

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ .

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

►常用结论

(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

(2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

5．定积分的概念

在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

6．定积分的性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．

7．微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．

8．定积分的几何意义

定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.

①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；

③S＝f(x)dx－f(x)dx；

④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.

►常用结论

常见被积函数的原函数

(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；

(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；

(5)dx＝ln x；(6)exdx＝ex.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)

(6)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)

(7)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)

(8)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.(　　)

(9)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的区域面积是.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√　(8)√　(9)×

二、走进教材

2．(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A．－9 B．－3

C．9 D．15

答案：C

3．(选修2－2P50A5改编)定积分|x|dx＝(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案：A

4．(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)

A．10t B．5t

C．t D．t

答案：B

5．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝__________m/s，加速度a＝________m/s2.

答案：－9.8t＋6.5　－9.8

三、易错自纠

6．下列求导运算正确的是(　　)

A．′＝1＋ B．(log2x)′＝

C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x

解析：选B　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B．

7．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)

A．1 B．－2

C．－2或4 D．4

解析：选D　由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．故选D．

8．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为______________．

解析：∵y′＝，∴k＝y′＝2.

故所求切线方程为2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

|题组突破|

1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝(　　)

A．e2 B．1

C．ln 2 D．e

解析：选B　因为f(x)＝x(2 017＋ln x)，

所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x.

又f′(x0)＝2 018，

所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.故选B．

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)

A．－e B．－1

C．1 D．e

解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，所以f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1，故选B．

3．求y＝x2sin x的导数．

解：y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′

＝2xsin x＋x2cos x.

4．求y＝－sin 的导数．

解：∵y＝－sin ＝－sin ＝sin x，

∴y′＝′＝(sin x)′＝cos x.

►名师点津

导数的计算技巧

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．

常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)根据切线的性质求参数或参数的取值范围．

●命题角度一　求切线方程

【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0

(2)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为_________________．

[解析]　(1)依题意得，y′＝2cos x－sin x，k＝y′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．

(2)由题意得，f′(x)＝3x2＋6x.当(0，0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0；当(0，0)不为切点时，设切点为P(x0，x＋3x)(x0≠0)，则切线方程为y－(x＋3x)＝(3x＋6x0)·(x－x0)，因为切线过原点，所以x＋3x＝3x＋6x，所以x0＝－，此时切线方程为9x＋4y＝0.

[答案]　(1)C　(2)9x＋4y＝0或y＝0

►名师点津

与切线有关问题的处理策略

(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.

●命题角度二　求切点坐标

【例2】　(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．

[解析]　设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入，得－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．

[答案]　(e，1)

►名师点津

求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．

●命题角度三　根据切线的性质求参数或参数的取值范围

【例3】　(1)(2019年全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1

(2)(2019届巴蜀中学期中测试)曲线f(x)＝ln x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．

[解析]　(1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以

解得

(2)由题意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.

[答案]　(1)D　(2)(－∞，1]

►名师点津

一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角度α或有关参数的取值范围．

|跟踪训练|

1．若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　由导数的几何意义，知k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤tan α<0，α∈[0，π)．又－≤x≤，tan α＝ex＋e－x－3≤＋－3<0，所以α的最小值是，故选B．

2．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

解析：设P(x0，y0)，因为y′＝－e－x，

所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，

所以x0＝－ln 2，

则y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．

答案：(－ln 2，2)

3．(2018年全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．

解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝.当x＝0时，k＝y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.

答案：y＝2x

【例4】　(1)dx＋dx＝________．

(2)由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为________．

(3)一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.

[解析]　(1)因为dx＝ln x＝1－0＝1，且表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.

(2)解法一：画出草图，如图所示．

解方程组及得交点分别为B(1，1)，O(0，0)，A(3，－1)，

所以所求图形的面积

S＝dx＋(2－x)－－xdx

＝dx＋dx

＝＋

＝＋6－×9－2＋＝.

解法二：如图所求阴影的面积就是△OAC的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即

S＝×2×3－(2－x－)dx

＝3－

＝3－＝.

(3)由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝

5dx＋(3x＋4)dx＝5x＋＝

10＋＝36(J)．

[答案]　(1)2π＋1　(2)　(3)36

►名师点津

利用定积分求平面图形面积的4个步骤

|跟踪训练|

4．(2019届厦门模拟)定积分|x2－2x|dx＝(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：选D　|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝8.

5．(2019届衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是(　　)

A．32 B．16

C． D．

解析：选C　由题意得，阴影部分的面积S＝(3－x2－2x)dx＝＝.

6．汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以匀减速a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.

解析：先求从刹车到停车所用的时间t，

当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，

刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.

令v(t)＝0，可得t＝5 s，

所以汽车从刹车到停车所走过的路程为

(20－4t)dx＝(20t－2t2)＝50(m)，

即汽车从开始刹车到停止走的距离为50 m.

答案：50

【例】　(2019届河南洛阳二模)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2ln x－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为(　　)

A．0 B．－

C．－ D．－

[解析]　设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点P(x0，y0)处的切线相同，因为f′(x)＝6x－4a，g′(x)＝，由题意得，f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，所以3x－4ax0＝2a2ln x0－b，6x0－4a＝，解得x0＝a或x0＝－a(舍去)，即有b＝a2＋2a2ln a．令h(t)＝t2＋2t2ln t(t>0)，则h′(t)＝4t(1＋ln t)，当4t(1＋ln t)>0，即t>时，h′(t)>0，当4t(1＋ln t)<0，即0<t<时，h′(t)<0，故h(t)在上为减函数，在上为增函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最小值为h＝－，故b的最小值为－.故选B．

[答案]　B

►名师点津

(1)设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x0，f(x0))，(x1，g(x1))，并分别求出两曲线的切线方程；

(2)建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值；

(3)求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可．

|跟踪训练|

(2020届广州四校联考)已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是(　　)

A．[0，e] B．[1，e]

C．[1，＋∞) D．(－∞，e]

解析：选B　∵[f(x)－g(x)](x－x0)>0，x∈[0，1]，∴当x∈[0，x0]时，f(x)<g(x)，即f(x)的图象在其切线下方；当x∈[x0，1]时，f(x)>g(x)，即f(x)的图象在其切线上方．∴f(x)非凸凹函数，满足f″(x)＝0.由题意得f′(x)＝ex－ax－2.令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x∈[0，1]，则1≤a≤e，故选B．