人教版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第5课时利用导数解决函数的零点问题学案理含解析

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第五课时　利用导数解决函数的零点问题【例1】　已知函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln x(a∈R)．(1)当a>0时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a＝0时，设函数g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数g(x)在区间上有两个零点，求实数k的取值范围．[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－＝－(a>0)，①当a∈(0，1)时，>1.由f′(x)<0，得x>或0<x<1.所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，；②当a＝1时，恒有f′(x)≤0，所以f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；③当a∈(1，＋∞)时，<1.由f′(x)<0，得x>1或0<x<.所以f(x)的单调递减区间为，(1，＋∞)．综上，当a∈(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，；当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为，(1，＋∞)．(2)g(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在x∈上有两个零点，即关于x的方程k＝在x∈上有两个不相等的实数根．令函数h(x)＝，x∈，则h′(x)＝，令函数p(x)＝x2＋3x－2ln x－4，x∈，则p′(x)＝在上恒有p′(x)≥0，故p(x)在上单调递增．因为p(1)＝0，所以当x∈时，有p(x)<0，即h′(x)<0，所以h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，有p(x)>0，即h′(x)>0，所以h(x)单调递增．因为h＝＋，h(1)＝1，且当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以k的取值范围为.►名师点津利用函数的极值(最值)判断函数零点的个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．【例2】　已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．[解]　(1)∵F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，∴F′(x)＝2ax－＝(x>0)．①当a>0时，由ax2－1>0，得x>；由ax2－1<0，得0<x<，故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．②当a≤0时，F′(x)<0恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不相等的解．令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝.而φ(e)＝，φ()＝.由φ(e)－φ()＝－＝＝<<0，所以φ(e)<φ()．所以φ(x)min＝φ(e)，由图可知，当φ(x)＝a有两个不相等的解时，需≤a<.即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不相等的解时，a的取值范围为.►名师点津对于方程解的个数(或函数的零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画草图确定其中参数的范围．【例3】　(2019届郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x＋－(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数．[解]　(1)f′(x)＝(x>0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>，由f′(x)＝<0，得0<x<，∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)当x∈时，函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数，等价于方程(ln x－1)ex＋x＝m的根的个数．令h(x)＝(ln x－1)ex＋x，则h′(x)＝ex＋1.由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln x＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.∴＋ln x－1≥0在x∈上恒成立．∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1>0，∴h(x)＝(ln x－1)ex＋x在x∈上单调递增，∴h(x)min＝h＝－2e＋，h(x)max＝h(e)＝e.∴当m<－2e＋或m>e时，函数g(x)没有零点；当－2e＋≤m≤e时，函数g(x)有一个零点．►名师点津(1)涉及函数的零点(方程的根)个数时，主要利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．|跟踪训练|已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，所以所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.(2)由g(x)＝2exf(x)，得2xln x＝－x2＋ax－3，即a＝x＋2ln x＋.令h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，所以h′(x)＝1＋－＝，所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：x1(1，e)h′(x)－0＋h(x)单调递减极小值单调递增又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2，且h(e)－h＝4－2e＋<0.所以实数a的取值范围为4<a≤e＋2＋，即a的取值范围为.